Какого хуя бумерков на двоще называют ГРЕЧЕЙ? Пердун - погоняло бумерков
Этот тред вайпает пердун. Приходится создавать новый.
Порридж, плиз, борда 18+.
Я тоже. Я, являясь, тупорылым пердуном, ощущаю себя лет на 15!
пердун, спок.
МОЁ ОБЪЕКТИВНОЕ ПЕРДУНСКОЕ МНЕНИЕ!!!!!!
d d t ( ∑ i ∂ L ∂ r i ˙ ) = 0 {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {r_{i}} }}}}\right)=0} {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {r_{i}} }}}}\right)=0}
Следовательно, выражение в скобках
P = ∑ i ∂ L ∂ v i = ∑ i m i v i {\displaystyle P=\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {v} _{i}}}=\sum _{i}m_{i}\mathbf {v} _{i}} P=\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\mathbf {v}}_{i}}}=\sum _{i}m_{i}{\mathbf {v}}_{i}
являющееся векторной величиной, называемой импульсом, сохраняется во времени. Это закон сохранения импульса.
Закон сохранения импульса системы частиц может быть сформулирован как равномерность и прямолинейность движения центра тяжести системы.
Закон сохранения момента импульса
Изотропность пространства означает инвариантность лагранжиана замкнутой механической системы относительно поворотов. Если определить по правилу винта вектор бесконечно малого поворота δ ϕ {\displaystyle \delta \mathbf {\phi } } \delta {\mathbf {\phi }}, то изменения радиус-вектора и вектора скорости будут равны векторным произведения вектора поворота на радиус вектор или вектор скорости соответственно:
δ r = [ δ ϕ , r ] {\displaystyle \delta \mathbf {r} =[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {r} ]} \delta {\mathbf {r}}=[\delta {\mathbf {\phi }},{\mathbf {r}}], δ v = [ δ ϕ , v ] {\displaystyle \delta \mathbf {v} =[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {v} ]} \delta {\mathbf {v}}=[\delta {\mathbf {\phi }},{\mathbf {v}}]
Неизменность лагранжиана означает, что
δ L = ∑ i ( ∂ L ∂ r i δ r i + ∂ L ∂ v i δ v i ) = ∑ i ( p ˙ i δ r i + p i δ v i ) = 0 {\displaystyle \delta L=\sum _{i}\left({\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i}}}\delta \mathbf {r} _{i}+{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {v} _{i}}}\delta \mathbf {v} _{i}\right)=\sum _{i}\left(\mathbf {\dot {p}} _{i}\delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {p} _{i}\delta \mathbf {v} _{i}\right)=0} {\displaystyle \delta L=\sum _{i}\left({\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i}}}\delta \mathbf {r} _{i}+{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {v} _{i}}}\delta \mathbf {v} _{i}\right)=\sum _{i}\left(\mathbf {\dot {p}} _{i}\delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {p} _{i}\delta \mathbf {v} _{i}\right)=0}
Подставляя сюда выражения для изменений радиус-вектора и вектора скорости получаем:
∑ i ( p ˙ i [ δ ϕ , r i ] + p i [ δ ϕ , v i ] ) = δ ϕ ∑ i ( [ r i , p ˙ i ] + [ v i , p i ] ) = δ ϕ ∑ i d [ r i , p i ] d t = 0 {\displaystyle \sum _{i}\left({\dot {\mathbf {p} }}_{i}[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {r} _{i}]+\mathbf {p} _{i}[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {v} _{i}]\right)=\delta \phi \sum _{i}\left([\mathbf {r} _{i},{\dot {\mathbf {p} }}_{i}]+[\mathbf {v} _{i},\mathbf {p} _{i}]\right)=\delta \phi \sum _{i}{\frac {d[\mathbf {r} _{i},\mathbf {p} _{i}]}{dt}}=0} {\displaystyle \sum _{i}\left({\dot {\mathbf {p} }}_{i}[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {r} _{i}]+\mathbf {p} _{i}[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {v} _{i}]\right)=\delta \phi \sum _{i}\left([\mathbf {r} _{i},{\dot {\mathbf {p} }}_{i}]+[\mathbf {v} _{i},\mathbf {p} _{i}]\right)=\delta \phi \sum _{i}{\frac {d[\mathbf {r} _{i},\mathbf {p} _{i}]}{dt}}=0}
Учитывая произвольность вектора поворота окончательно можно записать
d d t ∑ i [ r i , p i ] = 0 {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\sum _{i}[\mathbf {r} _{i},\mathbf {p} _{i}]=0} {\frac {d}{dt}}\sum _{i}[{\mathbf {r}}_{i},{\mathbf {p}}_{i}]=0
Это означает, что векторная величина
M = ∑ i [ r i , p i ] {\displaystyle \mathbf {M} =\sum _{i}[\mathbf {r} _{i},\mathbf {p} _{i}]} {\mathbf {M}}=\sum _{i}[{\mathbf {r}}_{i},{\mathbf {p}}_{i}]
сохраняется. Эта величина и называется моментом импульса или просто моментом.
Вывод уравнений Лагранжа из Ньютоновской механики
Рассмотрим единственную частицу с массой m {\displaystyle m} m и радиус-вектором r {\displaystyle \mathbf {r} } \mathbf {r} . Предполагаем, что силовое поле F {\displaystyle \mathbf {F} } \mathbf {F} , в котором и под действием которого она совершает своё движение, может быть выражено как градиент скалярной функции — потенциальной энергии V ( r , t ) {\displaystyle V(\mathbf {r} ,\;t)} V({\mathbf {r}},\;t) (этому условию удовлетворяют, например, гравитационное и электрическое поле, и не удовлетворяют магнитные поля):
F = − ∇ V . {\displaystyle \mathbf {F} =-\nabla V.} {\mathbf {F}}=-\nabla V.
Такая сила не зависит от производных r {\displaystyle \mathbf {r} } \mathbf {r} , поэтому второй закон Ньютона формирует 3 обыкновенных дифференциальных уравнения второго порядка. Движение частицы может быть полностью описано тремя независимыми переменными, называемых степенями свободы. Очевидный набор переменных — { r j , r j ′ ∣ j = 1 , 2 , 3 } {\displaystyle \{r_{j},\;r'_{j}\mid j=1,\;2,\;3\}} \{r_{j},\;r'_{j}\mid j=1,\;2,\;3\} (декартовы компоненты r {\displaystyle \mathbf {r} } \mathbf {r} в данный момент времени).
Обобщая, мы можем работать с обобщёнными координатами, q j {\displaystyle q_{j}} q_{j}, и их производными, обобщёнными скоростями q j ′ {\displaystyle q'_{j}} q'_{j}. Радиус-вектор r {\displaystyle \mathbf {r} } \mathbf {r} связан с обобщёнными координатами некоторым уравнением преобразования:
r = r ( q i , t ) , i = 1 , … , N , {\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} (q_{i},\;t),\quad i=1,\;\ldots ,\;N,} {\mathbf {r}}={\mathbf {r}}(q_{i},\;t),\quad i=1,\;\ldots ,\;N,
где N {\displaystyle N} N — число степеней свободы системы.
Например, для плоского движения математического маятника длиной l {\displaystyle l} l логичным выбором обобщённой координаты будет угол отклонения θ {\displaystyle \theta } \theta от вертикали подвеса, для которого уравнения преобразования имеют вид
r ( θ , θ ′ , t ) = ( l sin θ , l cos θ ) . {\displaystyle \mathbf {r} (\theta ,\;\theta ',\;t)=(l\sin \theta ,\;l\cos \theta ).} {\mathbf {r}}(\theta ,\;\theta ',\;t)=(l\sin \theta ,\;l\cos \theta ).
Термин обобщённые координаты остался от того периода, когда Декартовы координаты были системой координат по умолчанию.
Рассмотрим произвольное смещение δ r {\displaystyle \delta \mathbf {r} } \delta {\mathbf {r}} частицы. Работа, совершаемая приложенной силой F {\displaystyle \mathbf {F} } \mathbf {F} , равна δ W = F ⋅ δ r {\displaystyle \delta W=\mathbf {F} \cdot \delta \mathbf {r} } \delta W={\mathbf {F}}\cdot \delta {\mathbf {r}}. Используя второй закон Ньютона, запишем:
m r ¨ ⋅ δ r = F ⋅ δ r . {\displaystyle m\mathbf {\ddot {r}} \cdot \delta \mathbf {r} =\mathbf {F} \cdot \delta \mathbf {r} .} m{\mathbf {{\ddot r}}}\cdot \delta {\mathbf {r}}={\mathbf {F}}\cdot \delta {\mathbf {r}}.
Перепишем это уравнение в терминах обобщённых координат и скоростей. С правой стороны равенства,
F ⋅ δ r = − g r a d V ⋅ ∑ i ∂ r ∂ q i δ q i = − ∑ i , j ∂ V ∂ r j ∂ r j ∂ q i δ q i = − ∑ i ∂ V ∂ q i δ q i . {\displaystyle {\begin{matrix}\mathbf {F} \cdot \delta \mathbf {r} &=&-\mathrm {grad} \,V\cdot \sum \limits _{i}\displaystyle {\partial \mathbf {r} \over \partial q_{i}}\delta q_{i}\\\\&=&-\sum \limits _{i,\;j}\displaystyle {\partial V \over \partial r_{j}}\displaystyle {\partial r_{j} \over \partial q_{i}}\delta q_{i}\\\\&=&-\sum \limits _{i}\displaystyle {\partial V \over \partial q_{i}}\delta q_{i}.\\\end{matrix}}} {\begin{matrix}{\mathbf {F}}\cdot \delta {\mathbf {r}}&=&-{\mathrm {grad}}\,V\cdot \sum \limits _{i}\displaystyle {\partial {\mathbf {r}} \over \partial q_{i}}\delta q_{i}\\\\&=&-\sum \limits _{{i,\;j}}\displaystyle {\partial V \over \partial r_{j}}\displaystyle {\partial r_{j} \over \partial q_{i}}\delt E=\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot q}_{i}}}{\dot {q_{i}}}-L=\sum _{i}p_{i}{\dot {q_{i}}}-L
называемая энергией системы не изменяется со временем. Это закон сохранения энергии.
Учитывая вид лагранжиана для замкнутой или находящейся во внешнем поле системы равна
L = T ( q , q ˙ ) − U ( q ) {\displaystyle L=T(q,{\dot {q}})-U(q)} L=T(q,{\dot q})-U(q)
где T ( q , q ˙ ) {\displaystyle T(q,{\dot {q}})} T(q,{\dot q}) — однородная квадратическая функция скоростей, то, исходя из теоремы Эйлера об однородных функциях, получаем
E = 2 T − ( T − U ) = T + U {\displaystyle E=2T-(T-U)=T+U} E=2T-(T-U)=T+U
Таким образом, энергия системы складывается из двух компонент — кинетической энергии и потенциальной.
Закон сохранения импульса
Однородность пространства означает инвариантность лагранжиана относительно параллельных переносов. Имеем для вариации лагранжиана
δ L = ∑ i ∂ L ∂ r i δ r i = ( ∑ i ∂ L ∂ r i ) δ r = 0 {\displaystyle \delta L=\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i}}}\delta \mathbf {r} _{i}=\left(\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i}}}\right)\delta \mathbf {r} =0} {\displaystyle \delta L=\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i}}}\delta \mathbf {r} _{i}=\left(\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i}}}\right)\delta \mathbf {r} =0}
Поскольку δ r {\displaystyle \delta \mathbf {r} } \delta {\mathbf {r}} — произвольна, то имеем
∑ i ∂ L ∂ r i = 0 {\displaystyle \sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i}}}=0} {\displaystyle \sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i}}}=0}
Левая сторона равенства более сложна, но после некоторых перестановок мы получим:
Аноним 11/08/21 Срд 16:29:52 №252477876 32
E=\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot q}_{i}}}{\dot {q_{i}}}-L=\sum _{i}p_{i}{\dot {q_{i}}}-L
называемая энергией системы не изменяется со временем. Это закон сохранения энергии.
Учитывая вид лагранжиана для замкнутой или находящейся во внешнем поле системы равна
L = T ( q , q ˙ ) − U ( q ) {\displaystyle L=T(q,{\dot {q}})-U(q)} L=T(q,{\dot q})-U(q)
где T ( q , q ˙ ) {\displaystyle T(q,{\dot {q}})} T(q,{\dot q}) — однородная квадратическая функция скоростей, то, исходя из теоремы Эйлера об однородных функциях, получаем
E = 2 T − ( T − U ) = T + U {\displaystyle E=2T-(T-U)=T+U} E=2T-(T-U)=T+U
Таким образом, энергия системы складывается из двух компонент — кинетической энергии и потенциальной.
Закон сохранения импульса
Однородность пространства означает инвариантность лагранжиана относительно параллельных переносов. Имеем для вариации лагранжиана
δ L = ∑ i ∂ L ∂ r i δ r i = ( ∑ i ∂ L ∂ r i ) δ r = 0 {\displaystyle \delta L=\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i}}}\delta \mathbf {r} _{i}=\left(\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i}}}\right)\delta \mathbf {r} =0} {\displaystyle \delta L=\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i}}}\delta \mathbf {r} _{i}=\left(\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i}}}\right)\delta \mathbf {r} =0}
Поскольку δ r {\displaystyle \delta \mathbf {r} } \delta {\mathbf {r}} — произвольна, то имеем
∑ i ∂ L ∂ r i = 0 {\displaystyle \sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i}}}=0} {\displaystyle \sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i}}}=0}
>видеорил
>смешали нулевые и 90е - бумеров и думеров
мимо 27 лвл пердун
d d t ( ∑ i ∂ L ∂ r i ˙ ) = 0 {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {r_{i}} }}}}\right)=0} {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {r_{i}} }}}}\right)=0}
Следовательно, выражение в скобках
P = ∑ i ∂ L ∂ v i = ∑ i m i v i {\displaystyle P=\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {v} _{i}}}=\sum _{i}m_{i}\mathbf {v} _{i}} P=\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\mathbf {v}}_{i}}}=\sum _{i}m_{i}{\mathbf {v}}_{i}
являющееся векторной величиной, называемой импульсом, сохраняется во времени. Это закон сохранения импульса.
Закон сохранения импульса системы частиц может быть сформулирован как равномерность и прямолинейность движения центра тяжести системы.
Закон сохранения момента импульса
Изотропность пространства означает инвариантность лагранжиана замкнутой механической системы относительно поворотов. Если определить по правилу винта вектор бесконечно малого поворота δ ϕ {\displaystyle \delta \mathbf {\phi } } \delta {\mathbf {\phi }}, то изменения радиус-вектора и вектора скорости будут равны векторным произведения вектора поворота на радиус вектор или вектор скорости соответственно:
δ r = [ δ ϕ , r ] {\displaystyle \delta \mathbf {r} =[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {r} ]} \delta {\mathbf {r}}=[\delta {\mathbf {\phi }},{\mathbf {r}}], δ v = [ δ ϕ , v ] {\displaystyle \delta \mathbf {v} =[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {v} ]} \delta {\mathbf {v}}=[\delta {\mathbf {\phi }},{\mathbf {v}}]
Неизменность лагранжиана означает, что
δ L = ∑ i ( ∂ L ∂ r i δ r i + ∂ L ∂ v i δ v i ) = ∑ i ( p ˙ i δ r i + p i δ v i ) = 0 {\displaystyle \delta L=\sum _{i}\left({\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i}}}\delta \mathbf {r} _{i}+{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {v} _{i}}}\delta \mathbf {v} _{i}\right)=\sum _{i}\left(\mathbf {\dot {p}} _{i}\delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {p} _{i}\delta \mathbf {v} _{i}\right)=0} {\displaystyle \delta L=\sum _{i}\left({\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i}}}\delta \mathbf {r} _{i}+{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {v} _{i}}}\delta \mathbf {v} _{i}\right)=\sum _{i}\left(\mathbf {\dot {p}} _{i}\delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {p} _{i}\delta \mathbf {v} _{i}\right)=0}
Подставляя сюда выражения для изменений радиус-вектора и вектора скорости получаем:
∑ i ( p ˙ i [ δ ϕ , r i ] + p i [ δ ϕ , v i ] ) = δ ϕ ∑ i ( [ r i , p ˙ i ] + [ v i , p i ] ) = δ ϕ ∑ i d [ r i , p i ] d t = 0 {\displaystyle \sum _{i}\left({\dot {\mathbf {p} }}_{i}[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {r} _{i}]+\mathbf {p} _{i}[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {v} _{i}]\right)=\delta \phi \sum _{i}\left([\mathbf {r} _{i},{\dot {\mathbf {p} }}_{i}]+[\mathbf {v} _{i},\mathbf {p} _{i}]\right)=\delta \phi \sum _{i}{\frac {d[\mathbf {r} _{i},\mathbf {p} _{i}]}{dt}}=0} {\displaystyle \sum _{i}\left({\dot {\mathbf {p} }}_{i}[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {r} _{i}]+\mathbf {p} _{i}[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {v} _{i}]\right)=\delta \phi \sum _{i}\left([\mathbf {r} _{i},{\dot {\mathbf {p} }}_{i}]+[\mathbf {v} _{i},\mathbf {p} _{i}]\right)=\delta \phi \sum _{i}{\frac {d[\mathbf {r} _{i},\mathbf {p} _{i}]}{dt}}=0}
Учитывая произвольность вектора поворота окончательно можно записать
d d t ∑ i [ r i , p i ] = 0 {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\sum _{i}[\mathbf {r} _{i},\mathbf {p} _{i}]=0} {\frac {d}{dt}}\sum _{i}[{\mathbf {r}}_{i},{\mathbf {p}}_{i}]=0
Это означает, что векторная величина
M = ∑ i [ r i , p i ] {\displaystyle \mathbf {M} =\sum _{i}[\mathbf {r} _{i},\mathbf {p} _{i}]} {\mathbf {M}}=\sum _{i}[{\mathbf {r}}_{i},{\mathbf {p}}_{i}]
сохраняется. Эта величина и называется моментом импульса или просто моментом.
Вывод уравнений Лагранжа из Ньютоновской механики
Рассмотрим единственную частицу с массой m {\displaystyle m} m и радиус-вектором r {\displaystyle \mathbf {r} } \mathbf {r} . Предполагаем, что силовое поле F {\displaystyle \mathbf {F} } \mathbf {F} , в котором и под действием которого она совершает своё движение, может быть выражено как градиент скалярной функции — потенциальной энергии V ( r , t ) {\displaystyle V(\mathbf {r} ,\;t)} V({\mathbf {r}},\;t) (этому условию удовлетворяют, например, гравитационное и электрическое поле, и не удовлетворяют магнитные поля):
F = − ∇ V . {\displaystyle \mathbf {F} =-\nabla V.} {\mathbf {F}}=-\nabla V.
Такая сила не зависит от производных r {\displaystyle \mathbf {r} } \mathbf {r} , поэтому второй закон Ньютона формирует 3 обыкновенных дифференциальных уравнения второго порядка. Движение частицы может быть полностью описано тремя независимыми переменными, называемых степенями свободы. Очевидный набор переменных — { r j , r j ′ ∣ j = 1 , 2 , 3 } {\displaystyle \{r_{j},\;r'_{j}\mid j=1,\;2,\;3\}} \{r_{j},\;r'_{j}\mid j=1,\;2,\;3\} (декартовы компоненты r {\displaystyle \mathbf {r} } \mathbf {r} в данный момент времени).
Обобщая, мы можем работать с обобщёнными координатами, q j {\displaystyle q_{j}} q_{j}, и их производными, обобщёнными скоростями q j ′ {\displaystyle q'_{j}} q'_{j}. Радиус-вектор r {\displaystyle \mathbf {r} } \mathbf {r} связан с обобщёнными координатами некоторым уравнением преобразования:
r = r ( q i , t ) , i = 1 , … , N , {\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} (q_{i},\;t),\quad i=1,\;\ldots ,\;N,} {\mathbf {r}}={\mathbf {r}}(q_{i},\;t),\quad i=1,\;\ldots ,\;N,
где N {\displaystyle N} N — число степеней свободы системы.
Например, для плоского движения математического маятника длиной l {\displaystyle l} l логичным выбором обобщённой координаты будет угол отклонения θ {\displaystyle \theta } \theta от вертикали подвеса, для которого уравнения преобразования имеют вид
r ( θ , θ ′ , t ) = ( l sin θ , l cos θ ) . {\displaystyle \mathbf {r} (\theta ,\;\theta ',\;t)=(l\sin \theta ,\;l\cos \theta ).} {\mathbf {r}}(\theta ,\;\theta ',\;t)=(l\sin \theta ,\;l\cos \theta ).
Термин обобщённые координаты остался от того периода, когда Декартовы координаты были системой координат по умолчанию.
Рассмотрим произвольное смещение δ r {\displaystyle \delta \mathbf {r} } \delta {\mathbf {r}} частицы. Работа, совершаемая приложенной силой F {\displaystyle \mathbf {F} } \mathbf {F} , равна δ W = F ⋅ δ r {\displaystyle \delta W=\mathbf {F} \cdot \delta \mathbf {r} } \delta W={\mathbf {F}}\cdot \delta {\mathbf {r}}. Используя второй закон Ньютона, запишем:
m r ¨ ⋅ δ r = F ⋅ δ r . {\displaystyle m\mathbf {\ddot {r}} \cdot \delta \mathbf {r} =\mathbf {F} \cdot \delta \mathbf {r} .} m{\mathbf {{\ddot r}}}\cdot \delta {\mathbf {r}}={\mathbf {F}}\cdot \delta {\mathbf {r}}.
Перепишем это уравнение в терминах обобщённых координат и скоростей. С правой стороны равенства,
F ⋅ δ r = − g r a d V ⋅ ∑ i ∂ r ∂ q i δ q i = − ∑ i , j ∂ V ∂ r j ∂ r j ∂ q i δ q i = − ∑ i ∂ V ∂ q i δ q i . {\displaystyle {\begin{matrix}\mathbf {F} \cdot \delta \mathbf {r} &=&-\mathrm {grad} \,V\cdot \sum \limits _{i}\displaystyle {\partial \mathbf {r} \over \partial q_{i}}\delta q_{i}\\\\&=&-\sum \limits _{i,\;j}\displaystyle {\partial V \over \partial r_{j}}\displaystyle {\partial r_{j} \over \partial q_{i}}\delta q_{i}\\\\&=&-\sum \limits _{i}\displaystyle {\partial V \over \partial q_{i}}\delta q_{i}.\\\end{matrix}}} {\begin{matrix}{\mathbf {F}}\cdot \delta {\mathbf {r}}&=&-{\mathrm {grad}}\,V\cdot \sum \limits _{i}\displaystyle {\partial {\mathbf {r}} \over \partial q_{i}}\delta q_{i}\\\\&=&-\sum \limits _{{i,\;j}}\displaystyle {\partial V \over \partial r_{j}}\displaystyle {\partial r_{j} \over \partial q_{i}}\delt E=\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot q}_{i}}}{\dot {q_{i}}}-L=\sum _{i}p_{i}{\dot {q_{i}}}-L
называемая энергией системы не изменяется со временем. Это закон сохранения энергии.
Учитывая вид лагранжиана для замкнутой или находящейся во внешнем поле системы равна
L = T ( q , q ˙ ) − U ( q ) {\displaystyle L=T(q,{\dot {q}})-U(q)} L=T(q,{\dot q})-U(q)
где T ( q , q ˙ ) {\displaystyle T(q,{\dot {q}})} T(q,{\dot q}) — однородная квадратическая функция скоростей, то, исходя из теоремы Эйлера об однородных функциях, получаем
E = 2 T − ( T − U ) = T + U {\displaystyle E=2T-(T-U)=T+U} E=2T-(T-U)=T+U
Таким образом, энергия системы складывается из двух компонент — кинетической энергии и потенциальной.
Закон сохранения импульса
Однородность пространства означает инвариантность лагранжиана относительно параллельных переносов. Имеем для вариации лагранжиана
δ L = ∑ i ∂ L ∂ r i δ r i = ( ∑ i ∂ L ∂ r i ) δ r = 0 {\displaystyle \delta L=\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i}}}\delta \mathbf {r} _{i}=\left(\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i}}}\right)\delta \mathbf {r} =0} {\displaystyle \delta L=\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i}}}\delta \mathbf {r} _{i}=\left(\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i}}}\right)\delta \mathbf {r} =0}
Поскольку δ r {\displaystyle \delta \mathbf {r} } \delta {\mathbf {r}} — произвольна, то имеем
∑ i ∂ L ∂ r i = 0 {\displaystyle \sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i}}}=0} {\displaystyle \sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i}}}=0}
Левая сторона равенства более сложна, но после некоторых перестановок мы получим:
Аноним 11/08/21 Срд 16:29:52 №252477876 32
E=\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot q}_{i}}}{\dot {q_{i}}}-L=\sum _{i}p_{i}{\dot {q_{i}}}-L
называемая энергией системы не изменяется со временем. Это закон сохранения энергии.
Учитывая вид лагранжиана для замкнутой или находящейся во внешнем поле системы равна
L = T ( q , q ˙ ) − U ( q ) {\displaystyle L=T(q,{\dot {q}})-U(q)} L=T(q,{\dot q})-U(q)
где T ( q , q ˙ ) {\displaystyle T(q,{\dot {q}})} T(q,{\dot q}) — однородная квадратическая функция скоростей, то, исходя из теоремы Эйлера об однородных функциях, получаем
E = 2 T − ( T − U ) = T + U {\displaystyle E=2T-(T-U)=T+U} E=2T-(T-U)=T+U
Таким образом, энер гия системы складывается из двух компонент — кинетической энергии и потенциальной.
Закон сохранения импульса
Однородность пространства означает инвариантность лагранжиана относительно параллельных переносов. Имеем для вариации лагранжиана
δ L = ∑ i ∂ L ∂ r i δ r i = ( ∑ i ∂ L ∂ r i ) δ r = 0 {\displaystyle \delta L=\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i}}}\delta \mathbf {r} _{i}=\left(\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i}}}\right)\delta \mathbf {r} =0} {\displaystyle \delta L=\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i}}}\delta \mathbf {r} _{i}=\left(\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i}}}\right)\delta \mathbf {r} =0}
Поскольку δ r {\displaystyle \delta \mathbf {r} } \delta {\mathbf {r}} — произвольна, то имеем
∑ i ∂ L ∂ r i = 0 {\displaystyle \sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i}}}=0} {\displaystyle \sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i}}}=0}
>спок
Я твой уебанский новояз не понимаю, пиши по-русски.
d d t ( ∑ i ∂ L ∂ r i ˙ ) = 0 {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {r_{i}} }}}}\right)=0} {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {r_{i}} }}}}\right)=0}
Следовательно, выражение в скобках
P = ∑ i ∂ L ∂ v i = ∑ i m i v i {\displaystyle P=\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {v} _{i}}}=\sum _{i}m_{i}\mathbf {v} _{i}} P=\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\mathbf {v}}_{i}}}=\sum _{i}m_{i}{\mathbf {v}}_{i}
являющееся векторной величиной, называемой импульсом, сохраняется во времени. Это закон сохранения импульса.
Закон сохранения импульса системы частиц может быть сформулирован как равномерность и прямолинейность движения центра тяжести системы.
Закон сохранения момента импульса
Изотропность пространства означает инвариантность лагранжиана замкнутой механической системы относительно поворотов. Если определить по правилу винта вектор бесконечно малого поворота δ ϕ {\displaystyle \delta \mathbf {\phi } } \delta {\mathbf {\phi }}, то изменения радиус-вектора и вектора скорости будут равны векторным произведения вектора поворота на радиус вектор или вектор скорости соответственно:
δ r = [ δ ϕ , r ] {\displaystyle \delta \mathbf {r} =[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {r} ]} \delta {\mathbf {r}}=[\delta {\mathbf {\phi }},{\mathbf {r}}], δ v = [ δ ϕ , v ] {\displaystyle \delta \mathbf {v} =[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {v} ]} \delta {\mathbf {v}}=[\delta {\mathbf {\phi }},{\mathbf {v}}]
Неизменность лагранжиана означает, что
δ L = ∑ i ( ∂ L ∂ r i δ r i + ∂ L ∂ v i δ v i ) = ∑ i ( p ˙ i δ r i + p i δ v i ) = 0 {\displaystyle \delta L=\sum _{i}\left({\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i}}}\delta \mathbf {r} _{i}+{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {v} _{i}}}\delta \mathbf {v} _{i}\right)=\sum _{i}\left(\mathbf {\dot {p}} _{i}\delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {p} _{i}\delta \mathbf {v} _{i}\right)=0} {\displaystyle \delta L=\sum _{i}\left({\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i}}}\delta \mathbf {r} _{i}+{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {v} _{i}}}\delta \mathbf {v} _{i}\right)=\sum _{i}\left(\mathbf {\dot {p}} _{i}\delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {p} _{i}\delta \mathbf {v} _{i}\right)=0}
Подставляя сюда выражения для изменений радиус-вектора и вектора скорости получаем:
∑ i ( p ˙ i [ δ ϕ , r i ] + p i [ δ ϕ , v i ] ) = δ ϕ ∑ i ( [ r i , p ˙ i ] + [ v i , p i ] ) = δ ϕ ∑ i d [ r i , p i ] d t = 0 {\displaystyle \sum _{i}\left({\dot {\mathbf {p} }}_{i}[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {r} _{i}]+\mathbf {p} _{i}[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {v} _{i}]\right)=\delta \phi \sum _{i}\left([\mathbf {r} _{i},{\dot {\mathbf {p} }}_{i}]+[\mathbf {v} _{i},\mathbf {p} _{i}]\right)=\delta \phi \sum _{i}{\frac {d[\mathbf {r} _{i},\mathbf {p} _{i}]}{dt}}=0} {\displaystyle \sum _{i}\left({\dot {\mathbf {p} }}_{i}[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {r} _{i}]+\mathbf {p} _{i}[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {v} _{i}]\right)=\delta \phi \sum _{i}\left([\mathbf {r} _{i},{\dot {\mathbf {p} }}_{i}]+[\mathbf {v} _{i},\mathbf {p} _{i}]\right)=\delta \phi \sum _{i}{\frac {d[\mathbf {r} _{i},\mathbf {p} _{i}]}{dt}}=0}
Учитывая произвольность вектора поворота окончательно можно записать
d d t ∑ i [ r i , p i ] = 0 {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\sum _{i}[\mathbf {r} _{i},\mathbf {p} _{i}]=0} {\frac {d}{dt}}\sum _{i}[{\mathbf {r}}_{i},{\mathbf {p}}_{i}]=0
Это означает, что векторная величина
M = ∑ i [ r i , p i ] {\displaystyle \mathbf {M} =\sum _{i}[\mathbf {r} _{i},\mathbf {p} _{i}]} {\mathbf {M}}=\sum _{i}[{\mathbf {r}}_{i},{\mathbf {p}}_{i}]
сохраняется. Эта величина и называется моментом импульса или просто моментом.
Вывод уравнений Лагранжа из Ньютоновской механики
Рассмотрим единственную частицу с массой m {\displaystyle m} m и радиус-вектором r {\displaystyle \mathbf {r} } \mathbf {r} . Предполагаем, что силовое поле F {\displaystyle \mathbf {F} } \mathbf {F} , в котором и под действием которого она совершает своё движение, может быть выражено как градиент скалярной функции — потенциальной энергии V ( r , t ) {\displaystyle V(\mathbf {r} ,\;t)} V({\mathbf {r}},\;t) (этому условию удовлетворяют, например, гравитационное и электрическое поле, и не удовлетворяют магнитные поля):
F = − ∇ V . {\displaystyle \mathbf {F} =-\nabla V.} {\mathbf {F}}=-\nabla V.
Такая сила не зависит от производных r {\displaystyle \mathbf {r} } \mathbf {r} , поэтому второй закон Ньютона формирует 3 обыкновенных дифференциальных уравнения второго порядка. Движение частицы может быть полностью описано тремя независимыми переменными, называемых степенями свободы. Очевидный набор переменных — { r j , r j ′ ∣ j = 1 , 2 , 3 } {\displaystyle \{r_{j},\;r'_{j}\mid j=1,\;2,\;3\}} \{r_{j},\;r'_{j}\mid j=1,\;2,\;3\} (декартовы компоненты r {\displaystyle \mathbf {r} } \mathbf {r} в данный момент времени).
Обобщая, мы можем работать с обобщёнными координатами, q j {\displaystyle q_{j}} q_{j}, и их производными, обобщёнными скоростями q j ′ {\displaystyle q'_{j}} q'_{j}. Радиус-вектор r {\displaystyle \mathbf {r} } \mathbf {r} связан с обобщёнными координатами некоторым уравнением преобразования:
r = r ( q i , t ) , i = 1 , … , N , {\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} (q_{i},\;t),\quad i=1,\;\ldots ,\;N,} {\mathbf {r}}={\mathbf {r}}(q_{i},\;t),\quad i=1,\;\ldots ,\;N,
где N {\displaystyle N} N — число степеней свободы системы.
Например, для плоского движения математического маятника длиной l {\displaystyle l} l логичным выбором обобщённой координаты будет угол отклонения θ {\displaystyle \theta } \theta от вертикали подвеса, для которого уравнения преобразования имеют вид
r ( θ , θ ′ , t ) = ( l sin θ , l cos θ ) . {\displaystyle \mathbf {r} (\theta ,\;\theta ',\;t)=(l\sin \theta ,\;l\cos \theta ).} {\mathbf {r}}(\theta ,\;\theta ',\;t)=(l\sin \theta ,\;l\cos \theta ).
Термин обобщённые координаты остался от того периода, когда Декартовы координаты были системой координат по умолчанию.
Рассмотрим произвольное смещение δ r {\displaystyle \delta \mathbf {r} } \delta {\mathbf {r}} частицы. Работа, совершаемая приложенной силой F {\displaystyle \mathbf {F} } \mathbf {F} , равна δ W = F ⋅ δ r {\displaystyle \delta W=\mathbf {F} \cdot \delta \mathbf {r} } \delta W={\mathbf {F}}\cdot \delta {\mathbf {r}}. Используя второй закон Ньютона, запишем:
m r ¨ ⋅ δ r = F ⋅ δ r . {\displaystyle m\mathbf {\ddot {r}} \cdot \delta \mathbf {r} =\mathbf {F} \cdot \delta \mathbf {r} .} m{\mathbf {{\ddot r}}}\cdot \delta {\mathbf {r}}={\mathbf {F}}\cdot \delta {\mathbf {r}}.
Перепишем это уравнение в терминах обобщённых координат и скоростей. С правой стороны равенства,
F ⋅ δ r = − g r a d V ⋅ ∑ i ∂ r ∂ q i δ q i = − ∑ i , j ∂ V ∂ r j ∂ r j ∂ q i δ q i = − ∑ i ∂ V ∂ q i δ q i . {\displaystyle {\begin{matrix}\mathbf {F} \cdot \delta \mathbf {r} &=&-\mathrm {grad} \,V\cdot \sum \limits _{i}\displaystyle {\partial \mathbf {r} \over \partial q_{i}}\delta q_{i}\\\\&=&-\sum \limits _{i,\;j}\displaystyle {\partial V \over \partial r_{j}}\displaystyle {\partial r_{j} \over \partial q_{i}}\delta q_{i}\\\\&=&-\sum \limits _{i}\displaystyle {\partial V \over \partial q_{i}}\delta q_{i}.\\\end{matrix}}} {\begin{matrix}{\mathbf {F}}\cdot \delta {\mathbf {r}}&=&-{\mathrm {grad}}\,V\cdot \sum \limits _{i}\displaystyle {\partial {\mathbf {r}} \over \partial q_{i}}\delta q_{i}\\\\&=&-\sum \limits _{{i,\;j}}\displaystyle {\partial V \over \partial r_{j}}\displaystyle {\partial r_{j} \over \partial q_{i}}\delt E=\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot q}_{i}}}{\dot {q_{i}}}-L=\sum _{i}p_{i}{\dot {q_{i}}}-L
называемая энерг ией системы не изменяется со временем. Это закон сохранения энергии.
Учитывая вид лагранжиана для замкнутой или находящейся во внешнем поле системы равна
L = T ( q , q ˙ ) − U ( q ) {\displaystyle L=T(q,{\dot {q}})-U(q)} L=T(q,{\dot q})-U(q)
где T ( q , q ˙ ) {\displaystyle T(q,{\dot {q}})} T(q,{\dot q}) — однородная квадратическая функция скоростей, то, исходя из теоремы Эйлера об однородных функциях, получаем
E = 2 T − ( T − U ) = T + U {\displaystyle E=2T-(T-U)=T+U} E=2T-(T-U)=T+U
Таким образом, энергия системы складывается из двух компонент — кинетической энергии и потенциальной.
Закон сохранения импульса
Однородность пространства означает инвариантность лагранжиана относительно параллельных переносов. Имеем для вариации лагранжиана
δ L = ∑ i ∂ L ∂ r i δ r i = ( ∑ i ∂ L ∂ r i ) δ r = 0 {\displaystyle \delta L=\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i}}}\delta \mathbf {r} _{i}=\left(\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i}}}\right)\delta \ mathbf {r} =0} {\displaystyle \delta L=\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i}}}\delta \mathbf {r} _{i}=\left(\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i}}}\right)\delta \mathbf {r} =0}
Поскольку δ r {\displaystyle \delta \mathbf {r} } \delta {\mathbf {r}} — произвольна, то имеем
∑ i ∂ L ∂ r i = 0 {\displaystyle \sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i}}}=0} {\displaystyle \sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i}}}=0}
Левая сторона равенства более сложна, но после некоторых перестановок мы получим:
Аноним 11/08/21 Срд 16:29:52 №252477876 32
E=\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot q}_{i}}}{\dot {q_{i}}}-L=\sum _{i}p_{i}{\dot {q_{i}}}-L
называемая энергией системы не изменяется со временем. Это закон сохранения энергии.
Учитывая вид лагранжиана для замкнутой или находящейся во внешнем поле системы равна
L = T ( q , q ˙ ) − U ( q ) {\displaystyle L=T(q,{\dot {q}})-U(q)} L=T(q,{\dot q})-U(q)
где T ( q , q ˙ ) {\displaystyle T(q,{\dot {q}})} T(q,{\dot q}) — однородная квадратическая функция скоростей, то, исходя из теоремы Эйлера об однородных функциях, получаем
E = 2 T − ( T − U ) = T + U {\displaystyle E=2T-(T-U)=T+U} E=2T-(T-U)=T+U
Таким образом, энергия системы складывается из двух компонент — кинетической энергии и потенциальной.
Закон сохранения импульса
Однородность пространства означает инвариантность лагранжиана относительно параллельных переносов. Имеем для вариации лагранжиана
δ L = ∑ i ∂ L ∂ r i δ r i = ( ∑ i ∂ L ∂ r i ) δ r = 0 {\displaystyle \delta L=\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i}}}\delta \mathbf {r} _{i}=\left(\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i}}}\right)\delta \mathbf {r} =0} {\displaystyle \delta L=\sum _{i}{\frac {\part ial L}{\partial \mathbf {r} _{i}}}\delta \mathbf {r} _{i}=\left(\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i}}}\right)\delta \mathbf {r} =0}
Поскольку δ r {\displaystyle \delta \mathbf {r} } \delta {\mathbf {r}} — произвольна, то имеем
∑ i ∂ L ∂ r i = 0 {\displaystyle \sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i}}}=0} {\displaystyle \sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i}}}=0}
А похую.
Суть видео в другом. В том, что люди из 90-00 форсят пориджей, хотя сами ни чём не лучше.
d d t ( ∑ i ∂ L ∂ r i ˙ ) = 0 {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {r_{i}} }}}}\right)=0} {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {r_{i}} }}}}\right)=0}
Следовательно, выражение в скобках
P = ∑ i ∂ L ∂ v i = ∑ i m i v i {\displaystyle P=\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {v} _{i}}}=\sum _{i}m_{i}\mathbf {v} _{i}} P=\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\mathbf {v}}_{i}}}=\sum _{i}m_{i}{\mathbf {v}}_{i}
являющееся векторной величиной, называемой импульсом, сохраняется во времени. Это закон сохранения импульса.
Закон сохранения импульса системы частиц может быть сформулирован как равномерность и прямолинейность движения центра тяжести системы.
Закон сохранения момента импульса
Изотропность пространства означает инвариантность лагранжиана замкнутой механической системы относительно поворотов. Если определить по правилу винта вектор бесконечно малого поворота δ ϕ {\displaystyle \delta \mathbf {\phi } } \delta {\mathbf {\phi }}, то изменения радиус-вектора и вектора скорости будут равны векторным произведения вектора поворота на радиус вектор или вектор скорости соответственно:
δ r = [ δ ϕ , r ] {\displaystyle \delta \mathbf {r} =[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {r} ]} \delta {\mathbf {r}}=[\delta {\mathbf {\phi }},{\mathbf {r}}], δ v = [ δ ϕ , v ] {\displaystyle \delta \mathbf {v} =[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {v} ]} \delta {\mathbf {v}}=[\delta {\mathbf {\phi }},{\mathbf {v}}]
Неизменность лагранжиана означает, что
δ L = ∑ i ( ∂ L ∂ r i δ r i + ∂ L ∂ v i δ v i ) = ∑ i ( p ˙ i δ r i + p i δ v i ) = 0 {\displaystyle \delta L=\sum _{i}\left({\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i}}}\delta \mathbf {r} _{i}+{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {v} _{i}}}\delta \mathbf {v} _{i}\right)=\sum _{i}\left(\mathbf {\dot {p}} _{i}\delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {p} _{i}\delta \mathbf {v} _{i}\right)=0} {\displaystyle \delta L=\sum _{i}\left({\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i}}}\delta \mathbf {r} _{i}+{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {v} _{i}}}\delta \mathbf {v} _{i}\right)=\sum _{i}\left(\mathbf {\dot {p}} _{i}\delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {p} _{i}\delta \mathbf {v} _{i}\right)=0}
Подставляя сюда выражения для изменений радиус-вектора и вектора скорости получаем:
∑ i ( p ˙ i [ δ ϕ , r i ] + p i [ δ ϕ , v i ] ) = δ ϕ ∑ i ( [ r i , p ˙ i ] + [ v i , p i ] ) = δ ϕ ∑ i d [ r i , p i ] d t = 0 {\displaystyle \sum _{i}\left({\dot {\mathbf {p} }}_{i}[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {r} _{i}]+\mathbf {p} _{i}[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {v} _{i}]\right)=\delta \phi \sum _{i}\left([\mathbf {r} _{i},{\dot {\mathbf {p} }}_{i}]+[\mathbf {v} _{i},\mathbf {p} _{i}]\right)=\delta \phi \sum _{i}{\frac {d[\mathbf {r} _{i},\mathbf {p} _{i}]}{dt}}=0} {\displaystyle \sum _{i}\left({\dot {\mathbf {p} }}_{i}[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {r} _{i}]+\mathbf {p} _{i}[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {v} _{i}]\right)=\delta \phi \sum _{i}\left([\mathbf {r} _{i},{\dot {\mathbf {p} }}_{i}]+[\mathbf {v} _{i},\mathbf {p} _{i}]\right)=\delta \phi \sum _{i}{\frac {d[\mathbf {r} _{i},\mathbf {p} _{i}]}{dt}}=0}
Учитывая произвольность вектора поворота окончательно можно записать
d d t ∑ i [ r i , p i ] = 0 {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\sum _{i}[\mathbf {r} _{i},\mathbf {p} _{i}]=0} {\frac {d}{dt}}\sum _{i}[{\mathbf {r}}_{i},{\mathbf {p}}_{i}]=0
Это означает, что векторная величина
M = ∑ i [ r i , p i ] {\displaystyle \mathbf {M} =\sum _{i}[\mathbf {r} _{i},\mathbf {p} _{i}]} {\mathbf {M}}=\sum _{i}[{\mathbf {r}}_{i},{\mathbf {p}}_{i}]
сохраняется. Эта величина и называется моментом импульса или просто моментом.
Вывод уравнений Лагранжа из Ньютоновской механики
Рассмотрим единственную частицу с массой m {\displaystyle m} m и радиус-вектором r {\displaystyle \mathbf {r} } \mathbf {r} . Предполагаем, что силовое поле F {\displaystyle \mathbf {F} } \mathbf {F} , в котором и под действием которого она совершает своё движение, может быть выражено как градиент скалярной функции — потенциальной энергии V ( r , t ) {\displaystyle V(\mathbf {r} ,\;t)} V({\mathbf {r}},\;t) (этому условию удовлетворяют, например, гравитационное и электрическое поле, и не удовлетворяют магнитные поля):
F = − ∇ V . {\displaystyle \mathbf {F} =-\nabla V.} {\mathbf {F}}=-\nabla V.
Такая сила не зависит от производных r {\displaystyle \mathbf {r} } \mathbf {r} , поэтому второй закон Ньютона формирует 3 обыкновенных дифференциальных уравнения второго порядка. Движение частицы может быть полностью описано тремя независимыми переменными, называемых степенями свободы. Очевидный набор переменных — { r j , r j ′ ∣ j = 1 , 2 , 3 } {\displaystyle \{r_{j},\;r'_{j}\mid j=1,\;2,\;3\}} \{r_{j},\;r'_{j}\mid j=1,\;2,\;3\} (декартовы компоненты r {\displaystyle \mathbf {r} } \mathbf {r} в данный момент времени).
Обобщая, мы можем работать с обобщёнными координатами, q j {\displaystyle q_{j}} q_{j}, и их производными, обобщёнными скоростями q j ′ {\displaystyle q'_{j}} q'_{j}. Радиус-вектор r {\displaystyle \mathbf {r} } \mathbf {r} связан с обобщёнными координатами некоторым уравнением преобразования:
r = r ( q i , t ) , i = 1 , … , N , {\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} (q_{i},\;t),\quad i=1,\;\ldots ,\;N,} {\mathbf {r}}={\mathbf {r}}(q_{i},\;t),\quad i=1,\;\ldots ,\;N,
где N {\displaystyle N} N — число степеней свободы системы.
Например, для плоского движения математического маятника длиной l {\displaystyle l} l логичным выбором обобщённой координаты будет угол отклонения θ {\displaystyle \theta } \theta от вертикали подвеса, для которого уравнения преобразования имеют вид
r ( θ , θ ′ , t ) = ( l sin θ , l cos θ ) . {\displaystyle \mathbf {r} (\theta ,\;\theta ',\;t)=(l\sin \theta ,\;l\cos \theta ).} {\mathbf {r}}(\theta ,\;\theta ',\;t)=(l\sin \theta ,\;l\cos \theta ).
Термин обобщённые координаты остался от того периода, когда Декартовы координаты были системой координат по умолчанию.
Рассмотрим произвольное смещение δ r {\displaystyle \delta \mathbf {r} } \delta {\mathbf {r}} частицы. Работа, совершаемая приложенной силой F {\displaystyle \mathbf {F} } \mathbf {F} , равна δ W = F ⋅ δ r {\displaystyle \delta W=\mathbf {F} \cdot \delta \mathbf {r} } \delta W={\mathbf {F}}\cdot \delta {\mathbf {r}}. Используя второй закон Ньютона, запишем:
m r ¨ ⋅ δ r = F ⋅ δ r . {\displaystyle m\mathbf {\ddot {r}} \cdot \delta \mathbf {r} =\mathbf {F} \cdot \delta \mathbf {r} .} m{\mathbf {{\ddot r}}}\cdot \delta {\mathbf {r}}={\mathbf {F}}\cdot \delta {\mathbf {r}}.
Перепишем это уравнение в терминах обобщённых координат и скоростей. С правой стороны равенства,
F ⋅ δ r = − g r a d V ⋅ ∑ i ∂ r ∂ q i δ q i = − ∑ i , j ∂ V ∂ r j ∂ r j ∂ q i δ q i = − ∑ i ∂ V ∂ q i δ q i . {\displaystyle {\begin{matrix}\mathbf {F} \cdot \delta \mathbf {r} &=&-\mathrm {grad} \,V\cdot \sum \limits _{i}\displaystyle {\partial \mathbf {r} \over \partial q_{i}}\delta q_{i}\\\\&=&-\sum \limits _{i,\;j}\displaystyle {\partial V \over \partial r_{j}}\displaystyle {\partial r_{j} \over \partial q_{i}}\delta q_{i}\\\\&=&-\sum \limits _{i}\displaystyle {\partial V \over \partial q_{i}}\delta q_{i}.\\\end{matrix}}} {\begin{matrix}{\mathbf {F}}\cdot \delta {\mathbf {r}}&=&-{\mathrm {grad}}\,V\cdot \sum \limits _{i}\displaystyle {\partial {\mathbf {r}} \over \partial q_{i}}\delta q_{i}\\\\&=&-\sum \limits _{{i,\;j}}\displaystyle {\partial V \over \partial r_{j}}\displaystyle {\partial r_{j} \over \partial q_{i}}\delt E=\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot q}_{i}}}{\dot {q_{i}}}-L=\sum _{i}p_{i}{\dot {q_{i}}}-L
называемая энергией системы не изменяется со временем. Это закон сохранения энергии.
Учитывая вид лагранжиана для замкнутой или находящейся во внешнем поле системы равна
L = T ( q , q ˙ ) − U ( q ) {\displaystyle L=T(q,{\dot {q}})-U(q)} L=T(q,{\dot q})-U(q)
где T ( q , q ˙ ) {\displaystyle T(q,{\dot {q}})} T(q,{\dot q}) — однородная квадратическая функция скоростей, то, исходя из теоремы Эйлера об однородных функциях, получаем
E = 2 T − ( T − U ) = T + U {\displaystyle E=2T-(T-U)=T+U} E=2T-(T-U)=T+U
Таким образом, энергия системы складывается из двух компонент — кинетической энергии и потенциальной.
Закон сохранения импульса
Однородность пространства означает инвариантность лагранжиана относительно параллельных переносов. Имеем для вариации лагранжиана
δ L = ∑ i ∂ L ∂ r i δ r i = ( ∑ i ∂ L ∂ r i ) δ r = 0 {\displaystyle \delta L=\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i}}}\delta \mathbf {r} _{i}=\left(\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i}}}\right)\delta \mathbf {r} =0} {\displaystyle \delta L=\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i}}}\delta \mathbf {r} _{i}=\left(\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i}}}\right)\delta \mathbf {r} =0}
Поскольку δ r {\displaystyle \delta \mathbf {r} } \delta {\mathbf {r}} — произвольна, то имеем
∑ i ∂ L ∂ r i = 0 {\displaystyle \sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i}}}=0} {\displaystyle \sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i}}}=0}
Левая сторона равенства более сложна, но после некоторых перестановок мы получим:
Аноним 11/08/21 Срд 16:29:52 №252477876 32
E=\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot q}_{i}}}{\dot {q_{i}}}-L=\sum _{i}p_{i}{\dot {q_{i}}}-L
называемая энергией системы не изменяется со временем. Это закон сохранения энергии.
Учитывая вид лагранжиана для замкнутой или находящейся во внешнем поле системы равна
L = T ( q , q ˙ ) − U ( q ) {\displaystyle L=T(q,{\dot {q}})-U(q)} L=T(q,{\dot q})-U(q)
где T ( q , q ˙ ) {\displaystyle T(q,{\dot {q}})} T(q,{\dot q}) — однородная квадратическая функция скоростей, то, исходя из теоремы Эйлера об однородных функциях, получаем
E = 2 T − ( T − U ) = T + U {\displaystyle E=2T-(T-U)=T+U} E=2T-(T-U)=T+U
Таким образом, энергия системы складывается из двух компонент — кинетической энергии и потенциальной.
Закон сохранения импульса
Однородность пространства означает инвариантность лагранжиана относительно параллельных переносов. Имеем для вариации лагранжиана
δ L = ∑ i ∂ L ∂ r i δ r i = ( ∑ i ∂ L ∂ r i ) δ r = 0 {\displaystyle \delta L=\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i}}}\delta \mathbf {r} _{i}=\left(\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i}}}\right)\delta \mathbf {r} =0} {\displaystyle \delta L=\sum _{i}{\frac {\partial L}{\par tial \mathbf {r} _{i}}}\delta \mathbf {r} _{i}=\left(\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i}}}\right)\delta \mathbf {r} =0}
Поскольку δ r {\displaystyle \delta \mathbf {r} } \delta {\mathbf {r}} — произвольна, то имеем
∑ i ∂ L ∂ r i = 0 {\displaystyle \sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i}}}=0} {\displaystyle \sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i}}}=0}
>Суть видео в другом. В том, что люди из 90-00 форсят пориджей, хотя сами ни чём не лучше.
Подставляя данное равенство в уравнения Эйлера-Лагранжа, получим
d d t ( ∑ i ∂ L ∂ r i ˙ ) = 0 {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {r_{i}} }}}}\right)=0} {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {r_{i}} }}}}\right)=0}
Следовательно, выражение в скобках
P = ∑ i ∂ L ∂ v i = ∑ i m i v i {\displaystyle P=\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {v} _{i}}}=\sum _{i}m_{i}\mathbf {v} _{i}} P=\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\mathbf {v}}_{i}}}=\sum _{i}m_{i}{\mathbf {v}}_{i}
являющееся векторной величиной, называемой импульсом, сохраняется во времени. Это закон сохранения импульса.
Закон сохранения импульса системы частиц может быть сформулирован как равномерность и прямолинейность движения центра тяжести системы.
Закон сохранения момента импульса
Изотропность пространства означает инвариантность лагранжиана замкнутой механической системы относительно поворотов. Если определить по правилу винта вектор бесконечно малого поворота δ ϕ {\displaystyle \delta \mathbf {\phi } } \delta {\mathbf {\phi }}, то изменения радиус-вектора и вектора скорости будут равны векторным произведения вектора поворота на радиус вектор или вектор скорости соответственно:
δ r = [ δ ϕ , r ] {\displaystyle \delta \mathbf {r} =[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {r} ]} \delta {\mathbf {r}}=[\delta {\mathbf {\phi }},{\mathbf {r}}], δ v = [ δ ϕ , v ] {\displaystyle \delta \mathbf {v} =[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {v} ]} \delta {\mathbf {v}}=[\delta {\mathbf {\phi }},{\mathbf {v}}]
Неизменность лагранжиана означает, что
δ L = ∑ i ( ∂ L ∂ r i δ r i + ∂ L ∂ v i δ v i ) = ∑ i ( p ˙ i δ r i + p i δ v i ) = 0 {\displaystyle \delta L=\sum _{i}\left({\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i}}}\delta \mathbf {r} _{i}+{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {v} _{i}}}\delta \mathbf {v} _{i}\right)=\sum _{i}\left(\mathbf {\dot {p}} _{i}\delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {p} _{i}\delta \mathbf {v} _{i}\right)=0} {\displaystyle \delta L=\sum _{i}\left({\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i}}}\delta \mathbf {r} _{i}+{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {v} _{i}}}\delta \mathbf {v} _{i}\right)=\sum _{i}\left(\mathbf {\dot {p}} _{i}\delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {p} _{i}\delta \mathbf {v} _{i}\right)=0}
Подставляя сюда выражения для изменений радиус-вектора и вектора скорости получаем:
∑ i ( p ˙ i [ δ ϕ , r i ] + p i [ δ ϕ , v i ] ) = δ ϕ ∑ i ( [ r i , p ˙ i ] + [ v i , p i ] ) = δ ϕ ∑ i d [ r i , p i ] d t = 0 {\displaystyle \sum _{i}\left({\dot {\mathbf {p} }}_{i}[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {r} _{i}]+\mathbf {p} _{i}[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {v} _{i}]\right)=\delta \phi \sum _{i}\left([\mathbf {r} _{i},{\dot {\mathbf {p} }}_{i}]+[\mathbf {v} _{i},\mathbf {p} _{i}]\right)=\delta \phi \sum _{i}{\frac {d[\mathbf {r} _{i},\mathbf {p} _{i}]}{dt}}=0} {\displaystyle \sum _{i}\left({\dot {\mathbf {p} }}_{i}[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {r} _{i}]+\mathbf {p} _{i}[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {v} _{i}]\right)=\delta \phi \sum _{i}\left([\mathbf {r} _{i},{\dot {\mathbf {p} }}_{i}]+[\mathbf {v} _{i},\mathbf {p} _{i}]\right)=\delta \phi \sum _{i}{\frac {d[\mathbf {r} _{i},\mathbf {p} _{i}]}{dt}}=0}
Учитывая произвольность вектора поворота окончательно можно записать
d d t ∑ i [ r i , p i ] = 0 {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\sum _{i}[\mathbf {r} _{i},\mathbf {p} _{i}]=0} {\frac {d}{dt}}\sum _{i}[{\mathbf {r}}_{i},{\mathbf {p}}_{i}]=0
Это означает, что векторная величина
M = ∑ i [ r i , p i ] {\displaystyle \mathbf {M} =\sum _{i}[\mathbf {r} _{i},\mathbf {p} _{i}]} {\mathbf {M}}=\sum _{i}[{\mathbf {r}}_{i},{\mathbf {p}}_{i}]
сохраняется. Эта величина и называется моментом импульса или просто моментом.
Вывод уравнений Лагранжа из Ньютоновской механики
Рассмотрим единственную частицу с массой m {\displaystyle m} m и радиус-вектором r {\displaystyle \mathbf {r} } \mathbf {r} . Предполагаем, что силовое поле F {\displaystyle \mathbf {F} } \mathbf {F} , в котором и под действием которого она совершает своё движение, может быть выражено как градиент скалярной функции — потенциальной энергии V ( r , t ) {\displaystyle V(\mathbf {r} ,\;t)} V({\mathbf {r}},\;t) (этому условию удовлетворяют, например, гравитационное и электрическое поле, и не удовлетворяют магнитные поля):
F = − ∇ V . {\displaystyle \mathbf {F} =-\nabla V.} {\mathbf {F}}=-\nabla V.
Такая сила не зависит от производных r {\displaystyle \mathbf {r} } \mathbf {r} , поэтому второй закон Ньютона формирует 3 обыкновенных дифференциальных уравнения второго порядка. Движение частицы может быть полностью описано тремя независимыми переменными, называемых степенями свободы. Очевидный набор переменных — { r j , r j ′ ∣ j = 1 , 2 , 3 } {\displaystyle \{r_{j},\;r'_{j}\mid j=1,\;2,\;3\}} \{r_{j},\;r'_{j}\mid j=1,\;2,\;3\} (декартовы компоненты r {\displaystyle \mathbf {r} } \mathbf {r} в данный момент времени).
Обобщая, мы можем работать с обобщёнными координатами, q j {\displaystyle q_{j}} q_{j}, и их производными, обобщёнными скоростями q j ′ {\displaystyle q'_{j}} q'_{j}. Радиус-вектор r {\displaystyle \mathbf {r} } \mathbf {r} связан с обобщёнными координатами некоторым уравнением преобразования:
r = r ( q i , t ) , i = 1 , … , N , {\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} (q_{i},\;t),\quad i=1,\;\ldots ,\;N,} {\mathbf {r}}={\mathbf {r}}(q_{i},\;t),\quad i=1,\;\ldots ,\;N,
где N {\displaystyle N} N — число степеней свободы системы.
Например, для плоского движения математического маятника длиной l {\displaystyle l} l логичным выбором обобщённой координаты будет угол отклонения θ {\displaystyle \theta } \theta от вертикали подвеса, для которого уравнения преобразования имеют вид
r ( θ , θ ′ , t ) = ( l sin θ , l cos θ ) . {\displaystyle \mathbf {r} (\theta ,\;\theta ',\;t)=(l\sin \theta ,\;l\cos \theta ).} {\mathbf {r}}(\theta ,\;\theta ',\;t)=(l\sin \theta ,\;l\cos \theta ).
Термин обобщённые координаты остался от того периода, когда Декартовы координаты были системой координат по умолчанию.
Рассмотрим произвольное смещение δ r {\displaystyle \delta \mathbf {r} } \delta {\mathbf {r}} частицы. Работа, совершаемая приложенной силой F {\displaystyle \mathbf {F} } \mathbf {F} , равна δ W = F ⋅ δ r {\displaystyle \delta W=\mathbf {F} \cdot \delta \mathbf {r} } \delta W={\mathbf {F}}\cdot \delta {\mathbf {r}}. Используя второй закон Ньютона, запишем:
m r ¨ ⋅ δ r = F ⋅ δ r . {\displaystyle m\mathbf {\ddot {r}} \cdot \delta \mathbf {r} =\mathbf {F} \cdot \delta \mathbf {r} .} m{\mathbf {{\ddot r}}}\cdot \delta {\mathbf {r}}={\mathbf {F}}\cdot \delta {\mathbf {r}}.
Перепишем это уравнение в терминах обобщённых координат и скоростей. С правой стороны равенства,
F ⋅ δ r = − g r a d V ⋅ ∑ i ∂ r ∂ q i δ q i = − ∑ i , j ∂ V ∂ r j ∂ r j ∂ q i δ q i = − ∑ i ∂ V ∂ q i δ q i . {\displaystyle {\begin{matrix}\mathbf {F} \cdot \delta \mathbf {r} &=&-\mathrm {grad} \,V\cdot \sum \limits _{i}\displaystyle {\partial \mathbf {r} \over \partial q_{i}}\delta q_{i}\\\\&=&-\sum \limits _{i,\;j}\displaystyle {\partial V \over \partial r_{j}}\displaystyle {\partial r_{j} \over \partial q_{i}}\delta q_{i}\\\\&=&-\sum \limits _{i}\displaystyle {\partial V \over \partial q_{i}}\delta q_{i}.\\\end{matrix}}} {\begin{matrix}{\mathbf {F}}\cdot \delta {\mathbf {r}}&=&-{\mathrm {grad}}\,V\cdot \sum \limits _{i}\displaystyle {\partial {\mathbf {r}} \over \partial q_{i}}\delta q_{i}\\\\&=&-\sum \limits _{{i,\;j}}\displaystyle {\partial V \over \partial r_{j}}\displaystyle {\partial r_{j} \over \partial q_{i}}\delt E=\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot q}_{i}}}{\dot {q_{i}}}-L=\sum _{i}p_{i}{\dot {q_{i}}}-L
называемая энергией системы не изменяется со временем. Это закон сохранения энергии.
Учитывая вид лагранжиана для замкнутой или находящейся во внешнем поле системы равна
L = T ( q , q ˙ ) − U ( q ) {\displaystyle L=T(q,{\dot {q}})-U(q)} L=T(q,{\dot q})-U(q)
где T ( q , q ˙ ) {\displaystyle T(q,{\dot {q}})} T(q,{\dot q}) — однородная квадратическая функция скоростей, то, исходя из теоремы Эйлера об однородных функциях, получаем
E = 2 T − ( T − U ) = T + U {\displaystyle E=2T-(T-U)=T+U} E=2T-(T-U)=T+U
Таким образом, энергия системы складывается из двух компонент — кинетической энергии и потенциальной.
Закон сохранения импульса
Однородность пространства означает инвариантность лагранжиана относительно параллельных переносов. Имеем для вариации лагранжиана
δ L = ∑ i ∂ L ∂ r i δ r i = ( ∑ i ∂ L ∂ r i ) δ r = 0 {\displaystyle \delta L=\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i}}}\delta \mathbf {r} _{i}=\left(\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i}}}\right)\delta \mathbf {r} =0} {\displaystyle \delta L=\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i}}}\delta \mathbf {r} _{i}=\left(\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i}}}\right)\delta \mathbf {r} =0}
Поскольку δ r {\displaystyle \delta \mathbf {r} } \delta {\mathbf {r}} — произвольна, то имеем
∑ i ∂ L ∂ r i = 0 {\displaystyle \sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i}}}=0} {\displaystyle \sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i}}}=0}
Левая сторона равенства более сложна, но после некоторых перестановок мы получим:
Аноним 11/08/21 Срд 16:29:52 №252477876 32
E=\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot q}_{i}}}{\dot {q_{i}}}-L=\sum _{i}p_{i}{\dot {q_{i}}}-L
называемая энергией системы не изменяется со временем. Это закон сохранения энергии.
Учитывая вид лагранжиана для замкнутой или находящейся во внешнем поле системы равна
L = T ( q , q ˙ ) − U ( q ) {\displaystyle L=T(q,{\dot {q}})-U(q)} L=T(q,{\dot q})-U(q)
где T ( q , q ˙ ) {\displaystyle T(q,{\dot {q}})} T(q,{\dot q}) — однородная квадратическая функция скоростей, то, исходя из теоремы Эйлера об однородных функциях, получаем
E = 2 T − ( T − U ) = T + U {\displaystyle E=2T-(T-U)=T+U} E=2T-(T-U)=T+U
Таким образом, энергия системы складывается из двух компонент — кинетической энергии и потенциальной.
Закон сохранения импульса
Однородность пространства означает инвариантность лагранжиана относительно параллельных переносов. Имеем для вариации лагранжиана
δ L = ∑ i ∂ L ∂ r i δ r i = ( ∑ i ∂ L ∂ r i ) δ r = 0 {\displaystyle \delta L=\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i}}}\delta \mathbf {r} _{i}=\left(\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i}}}\right)\delta \mathbf {r} =0} {\displaystyle \delta L=\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i}}}\delta \mathbf {r} _{i}=\left(\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i}}}\right)\delta \mathbf {r} =0}
Поскольку δ r {\displaystyle \delta \mathbf {r} } \delta {\mathbf {r}} — произвольна, то имеем
∑ i ∂ L ∂ r i = 0 {\displaystyle \sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i}}}=0} {\displaystyle \sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i}}}=0}
Зумерки даже нормальный эдит сделать не в состоянии с монтажом и графикой, ну тупыые.
>Я твой уебанский новояз не понимаю, пиши по-русски.
>употребляет слово плиз
Ok, boomer
d d t ( ∑ i ∂ L ∂ r i ˙ ) = 0 {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {r_{i}} }}}}\right)=0} {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {r_{i}} }}}}\right)=0}
Следовательно, выражение в скобках
P = ∑ i ∂ L ∂ v i = ∑ i m i v i {\displaystyle P=\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {v} _{i}}}=\sum _{i}m_{i}\mathbf {v} _{i}} P=\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\mathbf {v}}_{i}}}=\sum _{i}m_{i}{\mathbf {v}}_{i}
являющееся векторной величиной, называемой импульсом, сохраняется во времени. Это закон сохранения импульса.
Закон сохранения импульса системы частиц может быть сформулирован как равномерность и прямолинейность движения центра тяжести системы.
Закон сохранения момента импульса
Изотропность пространства означает инвариантность лагранжиана замкнутой механической системы относительно поворотов. Если определить по правилу винта вектор бесконечно малого поворота δ ϕ {\displaystyle \delta \mathbf {\phi } } \delta {\mathbf {\phi }}, то изменения радиус-вектора и вектора скорости будут равны векторным произведения вектора поворота на радиус вектор или вектор скорости соответственно:
δ r = [ δ ϕ , r ] {\displaystyle \delta \mathbf {r} =[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {r} ]} \delta {\mathbf {r}}=[\delta {\mathbf {\phi }},{\mathbf {r}}], δ v = [ δ ϕ , v ] {\displaystyle \delta \mathbf {v} =[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {v} ]} \delta {\mathbf {v}}=[\delta {\mathbf {\phi }},{\mathbf {v}}]
Неизменность лагранжиана означает, что
δ L = ∑ i ( ∂ L ∂ r i δ r i + ∂ L ∂ v i δ v i ) = ∑ i ( p ˙ i δ r i + p i δ v i ) = 0 {\displaystyle \delta L=\sum _{i}\left({\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i}}}\delta \mathbf {r} _{i}+{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {v} _{i}}}\delta \mathbf {v} _{i}\right)=\sum _{i}\left(\mathbf {\dot {p}} _{i}\delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {p} _{i}\delta \mathbf {v} _{i}\right)=0} {\displaystyle \delta L=\sum _{i}\left({\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i}}}\delta \mathbf {r} _{i}+{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {v} _{i}}}\delta \mathbf {v} _{i}\right)=\sum _{i}\left(\mathbf {\dot {p}} _{i}\delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {p} _{i}\delta \mathbf {v} _{i}\right)=0}
Подставляя сюда выражения для изменений радиус-вектора и вектора скорости получаем:
∑ i ( p ˙ i [ δ ϕ , r i ] + p i [ δ ϕ , v i ] ) = δ ϕ ∑ i ( [ r i , p ˙ i ] + [ v i , p i ] ) = δ ϕ ∑ i d [ r i , p i ] d t = 0 {\displaystyle \sum _{i}\left({\dot {\mathbf {p} }}_{i}[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {r} _{i}]+\mathbf {p} _{i}[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {v} _{i}]\right)=\delta \phi \sum _{i}\left([\mathbf {r} _{i},{\dot {\mathbf {p} }}_{i}]+[\mathbf {v} _{i},\mathbf {p} _{i}]\right)=\delta \phi \sum _{i}{\frac {d[\mathbf {r} _{i},\mathbf {p} _{i}]}{dt}}=0} {\displaystyle \sum _{i}\left({\dot {\mathbf {p} }}_{i}[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {r} _{i}]+\mathbf {p} _{i}[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {v} _{i}]\right)=\delta \phi \sum _{i}\left([\mathbf {r} _{i},{\dot {\mathbf {p} }}_{i}]+[\mathbf {v} _{i},\mathbf {p} _{i}]\right)=\delta \phi \sum _{i}{\frac {d[\mathbf {r} _{i},\mathbf {p} _{i}]}{dt}}=0}
Учитывая произвольность вектора поворота окончательно можно записать
d d t ∑ i [ r i , p i ] = 0 {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\sum _{i}[\mathbf {r} _{i},\mathbf {p} _{i}]=0} {\frac {d}{dt}}\sum _{i}[{\mathbf {r}}_{i},{\mathbf {p}}_{i}]=0
Это означает, что векторная величина
M = ∑ i [ r i , p i ] {\displaystyle \mathbf {M} =\sum _{i}[\mathbf {r} _{i},\mathbf {p} _{i}]} {\mathbf {M}}=\sum _{i}[{\mathbf {r}}_{i},{\mathbf {p}}_{i}]
сохраняется. Эта величина и называется моментом импульса или просто моментом.
Вывод уравнений Лагранжа из Ньютоновской механики
Рассмотрим единственную частицу с массой m {\displaystyle m} m и радиус-вектором r {\displaystyle \mathbf {r} } \mathbf {r} . Предполагаем, что силовое поле F {\displaystyle \mathbf {F} } \mathbf {F} , в котором и под действием которого она совершает своё движение, может быть выражено как градиент скалярной функции — потенциальной энергии V ( r , t ) {\displaystyle V(\mathbf {r} ,\;t)} V({\mathbf {r}},\;t) (этому условию удовлетворяют, например, гравитационное и электрическое поле, и не удовлетворяют магнитные поля):
F = − ∇ V . {\displaystyle \mathbf {F} =-\nabla V.} {\mathbf {F}}=-\nabla V.
Такая сила не зависит от производных r {\displaystyle \mathbf {r} } \mathbf {r} , поэтому второй закон Ньютона формирует 3 обыкновенных дифференциальных уравнения второго порядка. Движение частицы может быть полностью описано тремя независимыми переменными, называемых степенями свободы. Очевидный набор переменных — { r j , r j ′ ∣ j = 1 , 2 , 3 } {\displaystyle \{r_{j},\;r'_{j}\mid j=1,\;2,\;3\}} \{r_{j},\;r'_{j}\mid j=1,\;2,\;3\} (декартовы компоненты r {\displaystyle \mathbf {r} } \mathbf {r} в данный момент времени).
Обобщая, мы можем работать с обобщёнными координатами, q j {\displaystyle q_{j}} q_{j}, и их производными, обобщёнными скоростями q j ′ {\displaystyle q'_{j}} q'_{j}. Радиус-вектор r {\displaystyle \mathbf {r} } \mathbf {r} связан с обобщёнными координатами некоторым уравнением преобразования:
r = r ( q i , t ) , i = 1 , … , N , {\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} (q_{i},\;t),\quad i=1,\;\ldots ,\;N,} {\mathbf {r}}={\mathbf {r}}(q_{i},\;t),\quad i=1,\;\ldots ,\;N,
где N {\displaystyle N} N — число степеней свободы системы.
Например, для плоского движения математического маятника длиной l {\displaystyle l} l логичным выбором обобщённой координаты будет угол отклонения θ {\displaystyle \theta } \theta от вертикали подвеса, для которого уравнения преобразования имеют вид
r ( θ , θ ′ , t ) = ( l sin θ , l cos θ ) . {\displaystyle \mathbf {r} (\theta ,\;\theta ',\;t)=(l\sin \theta ,\;l\cos \theta ).} {\mathbf {r}}(\theta ,\;\theta ',\;t)=(l\sin \theta ,\;l\cos \theta ).
Термин обобщённые координаты остался от того периода, когда Декартовы координаты были системой координат по умолчанию.
Рассмотрим произвольное смещение δ r {\displaystyle \delta \mathbf {r} } \delta {\mathbf {r}} частицы. Работа, совершаемая приложенной силой F {\displaystyle \mathbf {F} } \mathbf {F} , равна δ W = F ⋅ δ r {\displaystyle \delta W=\mathbf {F} \cdot \delta \mathbf {r} } \delta W={\mathbf {F}}\cdot \delta {\mathbf {r}}. Используя второй закон Ньютона, запишем:
m r ¨ ⋅ δ r = F ⋅ δ r . {\displaystyle m\mathbf {\ddot {r}} \cdot \delta \mathbf {r} =\mathbf {F} \cdot \delta \mathbf {r} .} m{\mathbf {{\ddot r}}}\cdot \delta {\mathbf {r}}={\mathbf {F}}\cdot \delta {\mathbf {r}}.
Перепишем это уравнение в терминах обобщённых координат и скоростей. С правой стороны равенства,
F ⋅ δ r = − g r a d V ⋅ ∑ i ∂ r ∂ q i δ q i = − ∑ i , j ∂ V ∂ r j ∂ r j ∂ q i δ q i = − ∑ i ∂ V ∂ q i δ q i . {\displaystyle {\begin{matrix}\mathbf {F} \cdot \delta \mathbf {r} &=&-\mathrm {grad} \,V\cdot \sum \limits _{i}\displaystyle {\partial \mathbf {r} \over \partial q_{i}}\delta q_{i}\\\\&=&-\sum \limits _{i,\;j}\displaystyle {\partial V \over \partial r_{j}}\displaystyle {\partial r_{j} \over \partial q_{i}}\delta q_{i}\\\\&=&-\sum \limits _{i}\displaystyle {\partial V \over \partial q_{i}}\delta q_{i}.\\\end{matrix}}} {\begin{matrix}{\mathbf {F}}\cdot \delta {\mathbf {r}}&=&-{\mathrm {grad}}\,V\cdot \sum \limits _{i}\displaystyle {\partial {\mathbf {r}} \over \partial q_{i}}\delta q_{i}\\\\&=&-\sum \limits _{{i,\;j}}\displaystyle {\partial V \over \partial r_{j}}\displaystyle {\partial r_{j} \over \partial q_{i}}\delt E=\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot q}_{i}}}{\dot {q_{i}}}-L=\sum _{i}p_{i}{\dot {q_{i}}}-L
называемая энергией системы не изменяется со временем. Это sum _{i}[{\mathbf {r}}_{i},{\mathbf {p}}_{i}]=0
Поскольку δ r {\displaystyle \delta \mathbf {r} } \delta {\mathbf {r}} — произвольна, то имеем
∑ i ∂ L ∂ r i = 0 {\displaystyle \sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i}}}=0} {\displaystyle \sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i}}}=0}
Фига бомбануло
>Зумерки даже нормальный эдит сделать не в состоянии с монтажом и графикой, ну тупыые.
>>252478135
>Ok, boomer
Подставляя данное равенство в уравнения Эйлера-Лагранжа, получим
d d t ( ∑ i ∂ L ∂ r i ˙ ) = 0 {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {r_{i}} }}}}\right)=0} {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {r_{i}} }}}}\right)=0}
Следовательно, выражение в скобках
P = ∑ i ∂ L ∂ v i = ∑ i m i v i {\displaystyle P=\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {v} _{i}}}=\sum _{i}m_{i}\mathbf {v} _{i}} P=\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\mathbf {v}}_{i}}}=\sum _{i}m_{i}{\mathbf {v}}_{i}
являющееся векторной величиной, называемой импульсом, сохраняется во времени. Это закон сохранения импульса.
Закон сохранения импульса системы частиц может быть сформулирован как равномерность и прямолинейность движения центра тяжести системы.
Закон сохранения момента импульса
Изотропность пространства означает инвариантность лагранжиана замкнутой механической системы относительно поворотов. Если определить по правилу винта вектор бесконечно малого поворота δ ϕ {\displaystyle \delta \mathbf {\phi } } \delta {\mathbf {\phi }}, то изменения радиус-вектора и вектора скорости будут равны векторным произведения вектора поворота на радиус вектор или вектор скорости соответственно:
δ r = [ δ ϕ , r ] {\displaystyle \delta \mathbf {r} =[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {r} ]} \delta {\mathbf {r}}=[\delta {\mathbf {\phi }},{\mathbf {r}}], δ v = [ δ ϕ , v ] {\displaystyle \delta \mathbf {v} =[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {v} ]} \delta {\mathbf {v}}=[\delta {\mathbf {\phi }},{\mathbf {v}}]
Неизменность лагранжиана означает, что
δ L = ∑ i ( ∂ L ∂ r i δ r i + ∂ L ∂ v i δ v i ) = ∑ i ( p ˙ i δ r i + p i δ v i ) = 0 {\displaystyle \delta L=\sum _{i}\left({\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i}}}\delta \mathbf {r} _{i}+{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {v} _{i}}}\delta \mathbf {v} _{i}\right)=\sum _{i}\left(\mathbf {\dot {p}} _{i}\delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {p} _{i}\delta \mathbf {v} _{i}\right)=0} {\displaystyle \delta L=\sum _{i}\left({\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i}}}\delta \mathbf {r} _{i}+{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {v} _{i}}}\delta \mathbf {v} _{i}\right)=\sum _{i}\left(\mathbf {\dot {p}} _{i}\delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {p} _{i}\delta \mathbf {v} _{i}\right)=0}
Подставляя сюда выражения для изменений радиус-вектора и вектора скорости получаем:
∑ i ( p ˙ i [ δ ϕ , r i ] + p i [ δ ϕ , v i ] ) = δ ϕ ∑ i ( [ r i , p ˙ i ] + [ v i , p i ] ) = δ ϕ ∑ i d [ r i , p i ] d t = 0 {\displaystyle \sum _{i}\left({\dot {\mathbf {p} }}_{i}[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {r} _{i}]+\mathbf {p} _{i}[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {v} _{i}]\right)=\delta \phi \sum _{i}\left([\mathbf {r} _{i},{\dot {\mathbf {p} }}_{i}]+[\mathbf {v} _{i},\mathbf {p} _{i}]\right)=\delta \phi \sum _{i}{\frac {d[\mathbf {r} _{i},\mathbf {p} _{i}]}{dt}}=0} {\displaystyle \sum _{i}\left({\dot {\mathbf {p} }}_{i}[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {r} _{i}]+\mathbf {p} _{i}[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {v} _{i}]\right)=\delta \phi \sum _{i}\left([\mathbf {r} _{i},{\dot {\mathbf {p} }}_{i}]+[\mathbf {v} _{i},\mathbf {p} _{i}]\right)=\delta \phi \sum _{i}{\frac {d[\mathbf {r} _{i},\mathbf {p} _{i}]}{dt}}=0}
Учитывая произвольность вектора поворота окончательно можно записать
d d t ∑ i [ r i , p i ] = 0 {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\sum _{i}[\mathbf {r} _{i},\mathbf {p} _{i}]=0} {\frac {d}{dt}}\sum _{i}[{\mathbf {r}}_{i},{\mathbf {p}}_{i}]=0
Это означает, что векторная величина
M = ∑ i [ r i , p i ] {\displaystyle \mathbf {M} =\sum _{i}[\mathbf {r} _{i},\mathbf {p} _{i}]} {\mathbf {M}}=\sum _{i}[{\mathbf {r}}_{i},{\mathbf {p}}_{i}]
сохраняется. Эта величина и называется моментом импульса или просто моментом.
Вывод уравнений Лагранжа из Ньютоновской механики
Рассмотрим единственную частицу с массой m {\displaystyle m} m и радиус-вектором r {\displaystyle \mathbf {r} } \mathbf {r} . Предполагаем, что силовое поле F {\displaystyle \mathbf {F} } \mathbf {F} , в котором и под действием которого она совершает своё движение, может быть выражено как градиент скалярной функции — потенциальной энергии V ( r , t ) {\displaystyle V(\mathbf {r} ,\;t)} V({\mathbf {r}},\;t) (этому условию удовлетворяют, например, гравитационное и электрическое поле, и не удовлетворяют магнитные поля):
F = − ∇ V . {\displaystyle \mathbf {F} =-\nabla V.} {\mathbf {F}}=-\nabla V.
Такая сила не зависит от производных r {\displaystyle \mathbf {r} } \mathbf {r} , поэтому второй закон Ньютона формирует 3 обыкновенных дифференциальных уравнения второго порядка. Движение частицы может быть полностью описано тремя независимыми переменными, называемых степенями свободы. Очевидный набор переменных — { r j , r j ′ ∣ j = 1 , 2 , 3 } {\displaystyle \{r_{j},\;r'_{j}\mid j=1,\;2,\;3\}} \{r_{j},\;r'_{j}\mid j=1,\;2,\;3\} (декартовы компоненты r {\displaystyle \mathbf {r} } \mathbf {r} в данный момент времени).
Обобщая, мы можем работать с обобщёнными координатами, q j {\displaystyle q_{j}} q_{j}, и их производными, обобщёнными скоростями q j ′ {\displaystyle q'_{j}} q'_{j}. Радиус-вектор r {\displaystyle \mathbf {r} } \mathbf {r} связан с обобщёнными координатами некоторым уравнением преобразования:
r = r ( q i , t ) , i = 1 , … , N , {\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} (q_{i},\;t),\quad i=1,\;\ldots ,\;N,} {\mathbf {r}}={\mathbf {r}}(q_{i},\;t),\quad i=1,\;\ldots ,\;N,
где N {\displaystyle N} N — число степеней свободы системы.
Например, для плоского движения математического маятника длиной l {\displaystyle l} l логичным выбором обобщённой координаты будет угол отклонения θ {\displaystyle \theta } \theta от вертикали подвеса, для которого уравнения преобразования имеют вид
r ( θ , θ ′ , t ) = ( l sin θ , l cos θ ) . {\displaystyle \mathbf {r} (\theta ,\;\theta ',\;t)=(l\sin \theta ,\;l\cos \theta ).} {\mathbf {r}}(\theta ,\;\theta ',\;t)=(l\sin \theta ,\;l\cos \theta ).
Термин обобщённые координаты остался от того периода, когда Декартовы координаты были системой координат по умолчанию.
Рассмотрим произвольное смещение δ r {\displaystyle \delta \mathbf {r} } \delta {\mathbf {r}} частицы. Работа, совершаемая приложенной силой F {\displaystyle \mathbf {F} } \mathbf {F} , равна δ W = F ⋅ δ r {\displaystyle \delta W=\mathbf {F} \cdot \delta \mathbf {r} } \delta W={\mathbf {F}}\cdot \delta {\mathbf {r}}. Используя второй закон Ньютона, запишем:
m r ¨ ⋅ δ r = F ⋅ δ r . {\displaystyle m\mathbf {\ddot {r}} \cdot \delta \mathbf {r} =\mathbf {F} \cdot \delta \mathbf {r} .} m{\mathbf {{\ddot r}}}\cdot \delta {\mathbf {r}}={\mathbf {F}}\cdot \delta {\mathbf {r}}.
Перепишем это уравнение в терминах обобщённых координат и скоростей. С правой стороны равенства,
F ⋅ δ r = − g r a d V ⋅ ∑ i ∂ r ∂ q i δ q i = − ∑ i , j ∂ V ∂ r j ∂ r j ∂ q i δ q i = − ∑ i ∂ V ∂ q i δ q i . {\displaystyle {\begin{matrix}\mathbf {F} \cdot \delta \mathbf {r} &=&-\mathrm {grad} \,V\cdot \sum \limits _{i}\displaystyle {\partial \mathbf {r} \over \partial q_{i}}\delta q_{i}\\\\&=&-\sum \limits _{i,\;j}\displaystyle {\partial V \over \partial r_{j}}\displaystyle {\partial r_{j} \over \partial q_{i}}\delta q_{i}\\\\&=&-\sum \limits _{i}\displaystyle {\partial V \over \partial q_{i}}\delta q_{i}.\\\end{matrix}}} {\begin{matrix}{\mathbf {F}}\cdot \delta {\mathbf {r}}&=&-{\mathrm {grad}}\,V\cdot \sum \limits _{i}\displaystyle {\partial {\mathbf {r}} \over \partial q_{i}}\delta q_{i}\\\\&=&-\sum \limits _{{i,\;j}}\displaystyle {\partial V \over \partial r_{j}}\displaystyle {\partial r_{j} \over \partial q_{i}}\delt E=\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot q}_{i}}}{\dot {q_{i}}}-L=\sum _{i}p_{i}{\dot {q_{i}}}-L
называемая энергией системы не изменяется со временем. Это sum _{i}[{\mathbf {r}}_{i},{\mathbf {p}}_{i}]=0
Поскольку δ r {\displaystyle \delta \mathbf {r} } \delta {\mathbf {r}} — произвольна, то имеем
∑ i ∂ L ∂ r i = 0 {\displaystyle \sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i}}}=0} {\displaystyle \sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i}}}=0}
Вполне взлетает, раз у пердунов так бомбит, что они вайпят тред.
>Пориджи, ну это выглядит как-то совсем уже убого. Хватит. Форс пориджей взлетел, форс вот этот вот что вы сейчас пытаетесь уныло зафорсить нет. Ну всё. Признайте уже свое поражение.
Подставляя данное равенство в уравнения Эйлера-Лагранжа, получим
d d t ( ∑ i ∂ L ∂ r i ˙ ) = 0 {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {r_{i}} }}}}\right)=0} {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {r_{i}} }}}}\right)=0}
Следовательно, выражение в скобках
P = ∑ i ∂ L ∂ v i = ∑ i m i v i {\displaystyle P=\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {v} _{i}}}=\sum _{i}m_{i}\mathbf {v} _{i}} P=\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\mathbf {v}}_{i}}}=\sum _{i}m_{i}{\mathbf {v}}_{i}
являющееся векторной величиной, называемой импульсом, сохраняется во времени. Это закон сохранения импульса.
Закон сохранения импульса системы частиц может быть сформулирован как равномерность и прямолинейность движения центра тяжести системы.
Закон сохранения момента импульса
Изотропность пространства означает инвариантность лагранжиана замкнутой механической системы относительно поворотов. Если определить по правилу винта вектор бесконечно малого поворота δ ϕ {\displaystyle \delta \mathbf {\phi } } \delta {\mathbf {\phi }}, то изменения радиус-вектора и вектора скорости будут равны векторным произведения вектора поворота на радиус вектор или вектор скорости соответственно:
δ r = [ δ ϕ , r ] {\displaystyle \delta \mathbf {r} =[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {r} ]} \delta {\mathbf {r}}=[\delta {\mathbf {\phi }},{\mathbf {r}}], δ v = [ δ ϕ , v ] {\displaystyle \delta \mathbf {v} =[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {v} ]} \delta {\mathbf {v}}=[\delta {\mathbf {\phi }},{\mathbf {v}}]
Неизменность лагранжиана означает, что
δ L = ∑ i ( ∂ L ∂ r i δ r i + ∂ L ∂ v i δ v i ) = ∑ i ( p ˙ i δ r i + p i δ v i ) = 0 {\displaystyle \delta L=\sum _{i}\left({\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i}}}\delta \mathbf {r} _{i}+{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {v} _{i}}}\delta \mathbf {v} _{i}\right)=\sum _{i}\left(\mathbf {\dot {p}} _{i}\delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {p} _{i}\delta \mathbf {v} _{i}\right)=0} {\displaystyle \delta L=\sum _{i}\left({\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i}}}\delta \mathbf {r} _{i}+{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {v} _{i}}}\delta \mathbf {v} _{i}\right)=\sum _{i}\left(\mathbf {\dot {p}} _{i}\delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {p} _{i}\delta \mathbf {v} _{i}\right)=0}
Подставляя сюда выражения для изменений радиус-вектора и вектора скорости получаем:
∑ i ( p ˙ i [ δ ϕ , r i ] + p i [ δ ϕ , v i ] ) = δ ϕ ∑ i ( [ r i , p ˙ i ] + [ v i , p i ] ) = δ ϕ ∑ i d [ r i , p i ] d t = 0 {\displaystyle \sum _{i}\left({\dot {\mathbf {p} }}_{i}[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {r} _{i}]+\mathbf {p} _{i}[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {v} _{i}]\right)=\delta \phi \sum _{i}\left([\mathbf {r} _{i},{\dot {\mathbf {p} }}_{i}]+[\mathbf {v} _{i},\mathbf {p} _{i}]\right)=\delta \phi \sum _{i}{\frac {d[\mathbf {r} _{i},\mathbf {p} _{i}]}{dt}}=0} {\displaystyle \sum _{i}\left({\dot {\mathbf {p} }}_{i}[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {r} _{i}]+\mathbf {p} _{i}[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {v} _{i}]\right)=\delta \phi \sum _{i}\left([\mathbf {r} _{i},{\dot {\mathbf {p} }}_{i}]+[\mathbf {v} _{i},\mathbf {p} _{i}]\right)=\delta \phi \sum _{i}{\frac {d[\mathbf {r} _{i},\mathbf {p} _{i}]}{dt}}=0}
Учитывая произвольность вектора поворота окончательно можно записать
d d t ∑ i [ r i , p i ] = 0 {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\sum _{i}[\mathbf {r} _{i},\mathbf {p} _{i}]=0} {\frac {d}{dt}}\sum _{i}[{\mathbf {r}}_{i},{\mathbf {p}}_{i}]=0
Это означает, что векторная величина
M = ∑ i [ r i , p i ] {\displaystyle \mathbf {M} =\sum _{i}[\mathbf {r} _{i},\mathbf {p} _{i}]} {\mathbf {M}}=\sum _{i}[{\mathbf {r}}_{i},{\mathbf {p}}_{i}]
сохраняется. Эта величина и называется моментом импульса или просто моментом.
Вывод уравнений Лагранжа из Ньютоновской механики
Рассмотрим единственную частицу с массой m {\displaystyle m} m и радиус-вектором r {\displaystyle \mathbf {r} } \mathbf {r} . Предполагаем, что силовое поле F {\displaystyle \mathbf {F} } \mathbf {F} , в котором и под действием которого она совершает своё движение, может быть выражено как градиент скалярной функции — потенциальной энергии V ( r , t ) {\displaystyle V(\mathbf {r} ,\;t)} V({\mathbf {r}},\;t) (этому условию удовлетворяют, например, гравитационное и электрическое поле, и не удовлетворяют магнитные поля):
F = − ∇ V . {\displaystyle \mathbf {F} =-\nabla V.} {\mathbf {F}}=-\nabla V.
Такая сила не зависит от производных r {\displaystyle \mathbf {r} } \mathbf {r} , поэтому второй закон Ньютона формирует 3 обыкновенных дифференциальных уравнения второго порядка. Движение частицы может быть полностью описано тремя независимыми переменными, называемых степенями свободы. Очевидный набор переменных — { r j , r j ′ ∣ j = 1 , 2 , 3 } {\displaystyle \{r_{j},\;r'_{j}\mid j=1,\;2,\;3\}} \{r_{j},\;r'_{j}\mid j=1,\;2,\;3\} (декартовы компоненты r {\displaystyle \mathbf {r} } \mathbf {r} в данный момент времени).
Обобщая, мы можем работать с обобщёнными координатами, q j {\displaystyle q_{j}} q_{j}, и их производными, обобщёнными скоростями q j ′ {\displaystyle q'_{j}} q'_{j}. Радиус-вектор r {\displaystyle \mathbf {r} } \mathbf {r} связан с обобщёнными координатами некоторым уравнением преобразования:
r = r ( q i , t ) , i = 1 , … , N , {\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} (q_{i},\;t),\quad i=1,\;\ldots ,\;N,} {\mathbf {r}}={\mathbf {r}}(q_{i},\;t),\quad i=1,\;\ldots ,\;N,
где N {\displaystyle N} N — число степеней свободы системы.
Например, для плоского движения математического маятника длиной l {\displaystyle l} l логичным выбором обобщённой координаты будет угол отклонения θ {\displaystyle \theta } \theta от вертикали подвеса, для которого уравнения преобразования имеют вид
r ( θ , θ ′ , t ) = ( l sin θ , l cos θ ) . {\displaystyle \mathbf {r} (\theta ,\;\theta ',\;t)=(l\sin \theta ,\;l\cos \theta ).} {\mathbf {r}}(\theta ,\;\theta ',\;t)=(l\sin \theta ,\;l\cos \theta ).
Термин обобщённые координаты остался от того периода, когда Декартовы координаты были системой координат по умолчанию.
Рассмотримапапапаппаf {F} } \mathbf {F} , равна δ W = F ⋅ δ r {\displaystyle \delta W=\mathbf {F} \cdot \delta \mathbf {r} } \delta W={\mathbf {F}}\cdot \delta {\mathbf {r}}. Используя второй закон Ньютона, запишем:
m r ¨ ⋅ δ r = F ⋅ δ r . {\displaystyle m\mathbf {\ddot {r}} \cdot \delta \mathbf {r} =\mathbf {F} \cdot \delta \mathbf {r} .} m{\mathbf {{\ddot r}}}\cdot \delta {\mathbf {r}}={\mathbf {F}}\cdot \delta {\mathbf {r}}.
Перепишем это уравнение в терминах обобщённых координат и скоростей. С правой стороны равенства,
F ⋅ δ r = − g r a d V ⋅ ∑ i ∂ r ∂ q i δ q i = − ∑ i , j ∂ V ∂ r j ∂ r j ∂ q i δ q i = − ∑ i ∂ V ∂ q i δ q i . {\displaystyle {\begin{matrix}\mathbf {F} \cdot \delta \mathbf {r} &=&-\mathrm {grad} \,V\cdot \sum \limits _{i}\displaystyle {\partial \mathbf {r} \over \partial q_{i}}\delta q_{i}\\\\&=&-\sum \limits _{i,\;j}\displaystyle {\partial V \over \partial r_{j}}\displaystyle {\partial r_{j} \over \partial q_{i}}\delta q_{i}\\\\&=&-\sum \limits _{i}\displaystyle {\partial V \over \partial q_{i}}\delta q_{i}.\\\end{matrix}}} {\begin{matrix}{\mathbf {F}}\cdot \delta {\mathbf {r}}&=&-{\mathrm {grad}}\,V\cdot \sum \limits _{i}\displaystyle {\partial {\mathbf {r}} \over \partial q_{i}}\delta q_{i}\\\\&=&-\sum \limits _{{i,\;j}}\displaystyle {\partial V \over \partial r_{j}}\displaystyle {\partial r_{j} \over \partial q_{i}}\delt E=\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot q}_{i}}}{\dot {q_{i}}}-L=\sum _{i}p_{i}{\dot {q_{i}}}-L
называемая энергией системы не изменяется со временем. Это sum _{i}[{\mathbf {r}}_{i},{\mathbf {p}}_{i}]=0
Поскольку δ r {\displaystyle \delta \mathbf {r} } \delta {\mathbf {r}} — произвольна, то имеем
∑ i ∂ L ∂ r i = 0 {\displaystyle \sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i}}}=0} {\displaystyle \sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i}}}=0}>>252478167
>Фига бомбануло>>252478167
>>252478163
>>252478134
>>252478135
>>252478100
>>252478082
>Вполне взлетает, раз у пердунов так бомбит, что они вайпят тред.
>>252478163
>Пориджи, ну это выглядит как-то совсем уже убого. Хватит. Форс пориджей взлетел, форс вот этот вот что вы сейчас пытаетесь уныло зафорсить нет. Ну всё. Признайте уже свое поражение.
Подставляя данное равенство в уравнения Эйлера-Лагранжа, получим
d d t ( ∑ i ∂ L ∂ r i ˙ ) = 0 {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {r_{i}} }}}}\right)=0} {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {r_{i}} }}}}\right)=0}
Следовательно, выражение в скобках
P = ∑ i ∂ L ∂ v i = ∑ i m i v i {\displaystyle P=\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {v} _{i}}}=\sum _{i}m_{i}\mathbf {v} _{i}} P=\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\mathbf {v}}_{i}}}=\sum _{i}m_{i}{\mathbf {v}}_{i}
являющееся векторной величиной, называемой импульсом, сохраняется во времени. Это закон сохранения импульса.
Закон сохранения импульса системы частиц может быть сформулирован как равномерность и прямолинейность движения центра тяжести системы.
Закон сохранения момента импульса
Изотропность пространства означает инвариантность лагранжиана замкнутой механической системы относительно поворотов. Если определить по правилу винта вектор бесконечно малого поворота δ ϕ {\displaystyle \delta \mathbf {\phi } } \delta {\mathbf {\phi }}, то изменения радиус-вектора и вектора скорости будут равны векторным произведения вектора поворота на радиус вектор или вектор скорости соответственно:
δ r = [ δ ϕ , r ] {\displaystyle \delta \mathbf {r} =[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {r} ]} \delta {\mathbf {r}}=[\delta {\mathbf {\phi }},{\mathbf {r}}], δ v = [ δ ϕ , v ] {\displaystyle \delta \mathbf {v} =[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {v} ]} \delta {\mathbf {v}}=[\delta {\mathbf {\phi }},{\mathbf {v}}]
Неизменность лагранжиана означает, что
δ L = ∑ i ( ∂ L ∂ r i δ r i + ∂ L ∂ v i δ v i ) = ∑ i ( p ˙ i δ r i + p i δ v i ) = 0 {\displaystyle \delta L=\sum _{i}\left({\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i}}}\delta \mathbf {r} _{i}+{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {v} _{i}}}\delta \mathbf {v} _{i}\right)=\sum _{i}\left(\mathbf {\dot {p}} _{i}\delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {p} _{i}\delta \mathbf {v} _{i}\right)=0} {\displaystyle \delta L=\sum _{i}\left({\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i}}}\delta \mathbf {r} _{i}+{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {v} _{i}}}\delta \mathbf {v} _{i}\right)=\sum _{i}\left(\mathbf {\dot {p}} _{i}\delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {p} _{i}\delta \mathbf {v} _{i}\right)=0}
Подставляя сюда выражения для изменений радиус-вектора и вектора скорости получаем:
∑ i ( p ˙ i [ δ ϕ , r i ] + p i [ δ ϕ , v i ] ) = δ ϕ ∑ i ( [ r i , p ˙ i ] + [ v i , p i ] ) = δ ϕ ∑ i d [ r i , p i ] d t = 0 {\displaystyle \sum _{i}\left({\dot {\mathbf {p} }}_{i}[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {r} _{i}]+\mathbf {p} _{i}[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {v} _{i}]\right)=\delta \phi \sum _{i}\left([\mathbf {r} _{i},{\dot {\mathbf {p} }}_{i}]+[\mathbf {v} _{i},\mathbf {p} _{i}]\right)=\delta \phi \sum _{i}{\frac {d[\mathbf {r} _{i},\mathbf {p} _{i}]}{dt}}=0} {\displaystyle \sum _{i}\left({\dot {\mathbf {p} }}_{i}[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {r} _{i}]+\mathbf {p} _{i}[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {v} _{i}]\right)=\delta \phi \sum _{i}\left([\mathbf {r} _{i},{\dot {\mathbf {p} }}_{i}]+[\mathbf {v} _{i},\mathbf {p} _{i}]\right)=\delta \phi \sum _{i}{\frac {d[\mathbf {r} _{i},\mathbf {p} _{i}]}{dt}}=0}
Учитывая произвольность вектора поворота окончательно можно записать
d d t ∑ i [ r i , p i ] = 0 {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\sum _{i}[\mathbf {r} _{i},\mathbf {p} _{i}]=0} {\frac {d}{dt}}\sum _{i}[{\mathbf {r}}_{i},{\mathbf {p}}_{i}]=0
Это означает, что векторная величина
M = ∑ i [ r i , p i ] {\displaystyle \mathbf {M} =\sum _{i}[\mathbf {r} _{i},\mathbf {p} _{i}]} {\mathbf {M}}=\sum _{i}[{\mathbf {r}}_{i},{\mathbf {p}}_{i}]
сохраняется. Эта величина и называется моментом импульса или просто моментом.
Вывод уравнений Лагранжа из Ньютоновской механики
Рассмотрим единственную частицу с массой m {\displaystyle m} m и радиус-вектором r {\displaystyle \mathbf {r} } \mathbf {r} . Предполагаем, что силовое поле F {\displaystyle \mathbf {F} } \mathbf {F} , в котором и под действием которого она совершает своё движение, может быть выражено как градиент скалярной функции — потенциальной энергии V ( r , t ) {\displaystyle V(\mathbf {r} ,\;t)} V({\mathbf {r}},\;t) (этому условию удовлетворяют, например, гравитационное и электрическое поле, и не удовлетворяют магнитные поля):
F = − ∇ V . {\displaystyle \mathbf {F} =-\nabla V.} {\mathbf {F}}=-\nabla V.
Такая сила не зависит от производных r {\displaystyle \mathbf {r} } \mathbf {r} , поэтому второй закон Ньютона формирует 3 обыкновенных дифференциальных уравнения второго порядка. Движение частицы может быть полностью описано тремя независимыми переменными, называемых степенями свободы. Очевидный набор переменных — { r j , r j ′ ∣ j = 1 , 2 , 3 } {\displaystyle \{r_{j},\;r'_{j}\mid j=1,\;2,\;3\}} \{r_{j},\;r'_{j}\mid j=1,\;2,\;3\} (декартовы компоненты r {\displaystyle \mathbf {r} } \mathbf {r} в данный момент времени).
Обобщая, мы можем работать с обобщёнными координатами, q j {\displaystyle q_{j}} q_{j}, и их производными, обобщёнными скоростями q j ′ {\displaystyle q'_{j}} q'_{j}. Радиус-вектор r {\displaystyle \mathbf {r} } \mathbf {r} связан с обобщёнными координатами некоторым уравнением преобразования:
r = r ( q i , t ) , i = 1 , … , N , {\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} (q_{i},\;t),\quad i=1,\;\ldots ,\;N,} {\mathbf {r}}={\mathbf {r}}(q_{i},\;t),\quad i=1,\;\ldots ,\;N,
где N {\displaystyle N} N — число степеней свободы системы.
Например, для плоского движения математического маятника длиной l {\displaystyle l} l логичным выбором обобщённой координаты будет угол отклонения θ {\displaystyle \theta } \theta от вертикали подвеса, для которого уравнения преобразования имеют вид
r ( θ , θ ′ , t ) = ( l sin θ , l cos θ ) . {\displaystyle \mathbf {r} (\theta ,\;\theta ',\;t)=(l\sin \theta ,\;l\cos \theta ).} {\mathbf {r}}(\theta ,\;\theta ',\;t)=(l\sin \theta ,\;l\cos \theta ).
Термин обобщённые координаты остался от того периода, когда Декартовы координаты были системой координат по умолчанию.
Рассмотримапапапаппаf {F} } \mathbf {F} , равна δ W = F ⋅ δ r {\displaystyle \delta W=\mathbf {F} \cdot \delta \mathbf {r} } \delta W={\mathbf {F}}\cdot \delta {\mathbf {r}}. Используя второй закон Ньютона, запишем:
m r ¨ ⋅ δ r = F ⋅ δ r . {\displaystyle m\mathbf {\ddot {r}} \cdot \delta \mathbf {r} =\mathbf {F} \cdot \delta \mathbf {r} .} m{\mathbf {{\ddot r}}}\cdot \delta {\mathbf {r}}={\mathbf {F}}\cdot \delta {\mathbf {r}}.
Перепишем это уравнение в терминах обобщённых координат и скоростей. С правой стороны равенства,
F ⋅ δ r = − g r a d V ⋅ ∑ i ∂ r ∂ q i δ q i = − ∑ i , j ∂ V ∂ r j ∂ r j ∂ q i δ q i = − ∑ i ∂ V ∂ q i δ q i . {\displaystyle {\begin{matrix}\mathbf {F} \cdot \delta \mathbf {r} &=&-\mathrm {grad} \,V\cdot \sum \limits _{i}\displaystyle {\partial \mathbf {r} \over \partial q_{i}}\delta q_{i}\\\\&=&-\sum \limits _{i,\;j}\displaystyle {\partial V \over \partial r_{j}}\displaystyle {\partial r_{j} \over \partial q_{i}}\delta q_{i}\\\\&=&-\sum \limits _{i}\displaystyle {\partial V \over \partial q_{i}}\delta q_{i}.\\\end{matrix}}} {\begin{matrix}{\mathbf {F}}\cdot \delta {\mathbf {r}}&=&-{\mathrm {grad}}\,V\cdot \sum \limits _{i}\displaystyle {\partial {\mathbf {r}} \over \partial q_{i}}\delta q_{i}\\\\&=&-\sum \limits _{{i,\;j}}\displaystyle {\partial V \over \partial r_{j}}\displaystyle {\partial r_{j} \over \partial q_{i}}\delt E=\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot q}_{i}}}{\dot {q_{i}}}-L=\sum _{i}p_{i}{\dot {q_{i}}}-L
называемая энергией системы не изменяется со временем. Это sum _{i}[{\mathbf {r}}_{i},{\mathbf {p}}_{i}]=0
Поскольку δ r {\displaystyle \delta \mathbf {r} } \delta {\mathbf {r}} — произвольна, то имеем
∑ i ∂ L ∂ r i = 0 {\displaystyle \sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i}}}=0} {\displaystyle \sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i}}}=0}>>252478167
>Фига бомбануло>>252478167
>>252478163
>>252478134
>>252478135
>>252478100
>>252478082
>Пориджи, ну это выглядит как-то совсем уже убого. Хватит. Форс пориджей взлетел, форс вот этот вот что вы сейчас пытаетесь уныло зафорсить нет. Ну всё. Признайте уже свое поражение.
Подставляя данное равенство в уравнения Эйлера-Лагранжа, получим
d d t ( ∑ i ∂ L ∂ r i ˙ ) = 0 {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {r_{i}} }}}}\right)=0} {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {r_{i}} }}}}\right)=0}
Следовательно, выражение в скобках
P = ∑ i ∂ L ∂ v i = ∑ i m i v i {\displaystyle P=\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {v} _{i}}}=\sum _{i}m_{i}\mathbf {v} _{i}} P=\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\mathbf {v}}_{i}}}=\sum _{i}m_{i}{\mathbf {v}}_{i}
являющееся векторной величиной, называемой импульсом, сохраняется во времени. Это закон сохранения импульса.
Закон сохранения импульса системы частиц может быть сформулирован как равномерность и прямолинейность движения центра тяжести системы.
Закон сохранения момента импульса
Изотропность пространства означает инвариантность лагранжиана замкнутой механической системы относительно поворотов. Если определить по правилу винта вектор бесконечно малого поворота δ ϕ {\displaystyle \delta \mathbf {\phi } } \delta {\mathbf {\phi }}, то изменения радиус-вектора и вектора скорости будут равны векторным произведения вектора поворота на радиус вектор или вектор скорости соответственно:
δ r = [ δ ϕ , r ] {\displaystyle \delta \mathbf {r} =[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {r} ]} \delta {\mathbf {r}}=[\delta {\mathbf {\phi }},{\mathbf {r}}], δ v = [ δ ϕ , v ] {\displaystyle \delta \mathbf {v} =[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {v} ]} \delta {\mathbf {v}}=[\delta {\mathbf {\phi }},{\mathbf {v}}]
Неизменность лагранжиана означает, что
δ L = ∑ i ( ∂ L ∂ r i δ r i + ∂ L ∂ v i δ v i ) = ∑ i ( p ˙ i δ r i + p i δ v i ) = 0 {\displaystyle \delta L=\sum _{i}\left({\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i}}}\delta \mathbf {r} _{i}+{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {v} _{i}}}\delta \mathbf {v} _{i}\right)=\sum _{i}\left(\mathbf {\dot {p}} _{i}\delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {p} _{i}\delta \mathbf {v} _{i}\right)=0} {\displaystyle \delta L=\sum _{i}\left({\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i}}}\delta \mathbf {r} _{i}+{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {v} _{i}}}\delta \mathbf {v} _{i}\right)=\sum _{i}\left(\mathbf {\dot {p}} _{i}\delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {p} _{i}\delta \mathbf {v} _{i}\right)=0}
Подставляя сюда выражения для изменений радиус-вектора и вектора скорости получаем:
∑ i ( p ˙ i [ δ ϕ , r i ] + p i [ δ ϕ , v i ] ) = δ ϕ ∑ i ( [ r i , p ˙ i ] + [ v i , p i ] ) = δ ϕ ∑ i d [ r i , p i ] d t = 0 {\displaystyle \sum _{i}\left({\dot {\mathbf {p} }}_{i}[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {r} _{i}]+\mathbf {p} _{i}[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {v} _{i}]\right)=\delta \phi \sum _{i}\left([\mathbf {r} _{i},{\dot {\mathbf {p} }}_{i}]+[\mathbf {v} _{i},\mathbf {p} _{i}]\right)=\delta \phi \sum _{i}{\frac {d[\mathbf {r} _{i},\mathbf {p} _{i}]}{dt}}=0} {\displaystyle \sum _{i}\left({\dot {\mathbf {p} }}_{i}[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {r} _{i}]+\mathbf {p} _{i}[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {v} _{i}]\right)=\delta \phi \sum _{i}\left([\mathbf {r} _{i},{\dot {\mathbf {p} }}_{i}]+[\mathbf {v} _{i},\mathbf {p} _{i}]\right)=\delta \phi \sum _{i}{\frac {d[\mathbf {r} _{i},\mathbf {p} _{i}]}{dt}}=0}
Учитывая произвольность вектора поворота окончательно можно записать
d d t ∑ i [ r i , p i ] = 0 {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\sum _{i}[\mathbf {r} _{i},\mathbf {p} _{i}]=0} {\frac {d}{dt}}\sum _{i}[{\mathbf {r}}_{i},{\mathbf {p}}_{i}]=0
Это означает, что векторная величина
M = ∑ i [ r i , p i ] {\displaystyle \mathbf {M} =\sum _{i}[\mathbf {r} _{i},\mathbf {p} _{i}]} {\mathbf {M}}=\sum _{i}[{\mathbf {r}}_{i},{\mathbf {p}}_{i}]
сохраняется. Эта величина и называется моментом импульса или просто моментом.
Вывод уравнений Лагранжа из Ньютоновской механики
Рассмотрим единственную частицу с массой m {\displaystyle m} m и радиус-вектором r {\displaystyle \mathbf {r} } \mathbf {r} . Предполагаем, что силовое поле F {\displaystyle \mathbf {F} } \mathbf {F} , в котором и под действием которого она совершает своё движение, может быть выражено как градиент скалярной функции — потенциальной энергии V ( r , t ) {\displaystyle V(\mathbf {r} ,\;t)} V({\mathbf {r}},\;t) (этому условию удовлетворяют, например, гравитационное и электрическое поле, и не удовлетворяют магнитные поля):
F = − ∇ V . {\displaystyle \mathbf {F} =-\nabla V.} {\mathbf {F}}=-\nabla V.
Такая сила не зависит от производных r {\displaystyle \mathbf {r} } \mathbf {r} , поэтому второй закон Ньютона формирует 3 обыкновенных дифференциальных уравнения второго порядка. Движение частицы может быть полностью описано тремя независимыми переменными, называемых степенями свободы. Очевидный набор переменных — { r j , r j ′ ∣ j = 1 , 2 , 3 } {\displaystyle \{r_{j},\;r'_{j}\mid j=1,\;2,\;3\}} \{r_{j},\;r'_{j}\mid j=1,\;2,\;3\} (декартовы компоненты r {\displaystyle \mathbf {r} } \mathbf {r} в данный момент времени).
Обобщая, мы можем работать с обобщёнными координатами, q j {\displaystyle q_{j}} q_{j}, и их производными, обобщёнными скоростями q j ′ {\displaystyle q'_{j}} q'_{j}. Радиус-вектор r {\displaystyle \mathbf {r} } \mathbf {r} связан с обобщёнными координатами некоторым уравнением преобразования:
r = r ( q i , t ) , i = 1 , … , N , {\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} (q_{i},\;t),\quad i=1,\;\ldots ,\;N,} {\mathbf {r}}={\mathbf {r}}(q_{i},\;t),\quad i=1,\;\ldots ,\;N,
где N {\displaystyle N} N — число степеней свободы системы.
Например, для плоского движения математического маятника длиной l {\displaystyle l} l логичным выбором обобщённой координаты будет угол отклонения θ {\displaystyle \theta } \theta от вертикали подвеса, для которого уравнения преобразования имеют вид
r ( θ , θ ′ , t ) = ( l sin θ , l cos θ ) . {\displaystyle \mathbf {r} (\theta ,\;\theta ',\;t)=(l\sin \theta ,\;l\cos \theta ).} {\mathbf {r}}(\theta ,\;\theta ',\;t)=(l\sin \theta ,\;l\cos \theta ).
Термин обобщённые координаты остался от того периода, когда Декартовы координаты были системой координат по умолчанию.
Рассмотримапапапаппаf {F} } \mathbf {F} , равна δ W = F ⋅ δ r {\displaystyle \delta W=\mathbf {F} \cdot \delta \mathbf {r} } \delta W={\mathbf {F}}\cdot \delta {\mathbf {r}}. Используя второй закон Ньютона, запишем:
m r ¨ ⋅ δ r = F ⋅ δ r . {\displaystyle m\mathbf {\ddot {r}} \cdot \delta \mathbf {r} =\mathbf {F} \cdot \delta \mathbf {r} .} m{\mathbf {{\ddot r}}}\cdot \delta {\mathbf {r}}={\mathbf {F}}\cdot \delta {\mathbf {r}}.
Перепишем это уравнение в терминах обобщённых координат и скоростей. С правой стороны равенства,
F ⋅ δ r = − g r a d V ⋅ ∑ i ∂ r ∂ q i δ q i = − ∑ i , j ∂ V ∂ r j ∂ r j ∂ q i δ q i = − ∑ i ∂ V ∂ q i δ q i . {\displaystyle {\begin{matrix}\mathbf {F} \cdot \delta \mathbf {r} &=&-\mathrm {grad} \,V\cdot \sum \limits _{i}\displaystyle {\partial \mathbf {r} \over \partial q_{i}}\delta q_{i}\\\\&=&-\sum \limits _{i,\;j}\displaystyle {\partial V \over \partial r_{j}}\displaystyle {\partial r_{j} \over \partial q_{i}}\delta q_{i}\\\\&=&-\sum \limits _{i}\displaystyle {\partial V \over \partial q_{i}}\delta q_{i}.\\\end{matrix}}} {\begin{matrix}{\mathbf {F}}\cdot \delta {\mathbf {r}}&=&-{\mathrm {grad}}\,V\cdot \sum \limits _{i}\displaystyle {\partial {\mathbf {r}} \over \partial q_{i}}\delta q_{i}\\\\&=&-\sum \limits _{{i,\;j}}\displaystyle {\partial V \over \partial r_{j}}\displaystyle {\partial r_{j} \over \partial q_{i}}\delt E=\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot q}_{i}}}{\dot {q_{i}}}-L=\sum _{i}p_{i}{\dot {q_{i}}}-L
называемая энергией системы не изменяется со временем. Это sum _{i}[{\mathbf {r}}_{i},{\mathbf {p}}_{i}]=0
Поскольку δ r {\displaystyle \delta \mathbf {r} } \delta {\mathbf {r}} — произвольна, то имеем
∑ i ∂ L ∂ r i = 0 {\displaystyle \sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i}}}=0} {\displaystyle \sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i}}}=0}>>252478167
>Фига бомбануло>>252478167
>>252478163
>>252478134
>>252478135
>>252478100
>>252478082
Детектор чини, школотун.
>Пориджи, ну это выглядит как-то совсем уже убого. Хватит. Форс пориджей взлетел, форс вот этот вот что вы сейчас пытаетесь уныло зафорсить нет. Ну всё. Признайте уже свое поражение.
Подставляя данное равенство в уравнения Эйлера-Лагранжа, получим
d d t ( ∑ i ∂ L ∂ r i ˙ ) = 0 {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {r_{i}} }}}}\right)=0} {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {r_{i}} }}}}\right)=0}
Следовательно, выражение в скобках
P = ∑ i ∂ L ∂ v i = ∑ i m i v i {\displaystyle P=\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {v} _{i}}}=\sum _{i}m_{i}\mathbf {v} _{i}} P=\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\mathbf {v}}_{i}}}=\sum _{i}m_{i}{\mathbf {v}}_{i}
являющееся векторной величиной, называемой импульсом, сохраняется во времени. Это закон сохранения импульса.
Закон сохранения импульса системы частиц может быть сформулирован как равномерность и прямолинейность движения центра тяжести системы.
Закон сохранения момента импульса
Изотропность пространства означает инвариантность лагранжиана замкнутой механической системы относительно поворотов. Если определить по правилу винта вектор бесконечно малого поворота δ ϕ {\displaystyle \delta \mathbf {\phi } } \delta {\mathbf {\phi }}, то изменения радиус-вектора и вектора скорости будут равны векторным произведения вектора поворота на радиус вектор или вектор скорости соответственно:
δ r = [ δ ϕ , r ] {\displaystyle \delta \mathbf {r} =[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {r} ]} \delta {\mathbf {r}}=[\delta {\mathbf {\phi }},{\mathbf {r}}], δ v = [ δ ϕ , v ] {\displaystyle \delta \mathbf {v} =[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {v} ]} \delta {\mathbf {v}}=[\delta {\mathbf {\phi }},{\mathbf {v}}]
Неизменность лагранжиана означает, что
δ L = ∑ i ( ∂ L ∂ r i δ r i + ∂ L ∂ v i δ v i ) = ∑ i ( p ˙ i δ r i + p i δ v i ) = 0 {\displaystyle \delta L=\sum _{i}\left({\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i}}}\delta \mathbf {r} _{i}+{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {v} _{i}}}\delta \mathbf {v} _{i}\right)=\sum _{i}\left(\mathbf {\dot {p}} _{i}\delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {p} _{i}\delta \mathbf {v} _{i}\right)=0} {\displaystyle \delta L=\sum _{i}\left({\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i}}}\delta \mathbf {r} _{i}+{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {v} _{i}}}\delta \mathbf {v} _{i}\right)=\sum _{i}\left(\mathbf {\dot {p}} _{i}\delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {p} _{i}\delta \mathbf {v} _{i}\right)=0}
Подставляя сюда выражения для изменений радиус-вектора и вектора скорости получаем:
∑ i ( p ˙ i [ δ ϕ , r i ] + p i [ δ ϕ , v i ] ) = δ ϕ ∑ i ( [ r i , p ˙ i ] + [ v i , p i ] ) = δ ϕ ∑ i d [ r i , p i ] d t = 0 {\displaystyle \sum _{i}\left({\dot {\mathbf {p} }}_{i}[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {r} _{i}]+\mathbf {p} _{i}[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {v} _{i}]\right)=\delta \phi \sum _{i}\left([\mathbf {r} _{i},{\dot {\mathbf {p} }}_{i}]+[\mathbf {v} _{i},\mathbf {p} _{i}]\right)=\delta \phi \sum _{i}{\frac {d[\mathbf {r} _{i},\mathbf {p} _{i}]}{dt}}=0} {\displaystyle \sum _{i}\left({\dot {\mathbf {p} }}_{i}[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {r} _{i}]+\mathbf {p} _{i}[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {v} _{i}]\right)=\delta \phi \sum _{i}\left([\mathbf {r} _{i},{\dot {\mathbf {p} }}_{i}]+[\mathbf {v} _{i},\mathbf {p} _{i}]\right)=\delta \phi \sum _{i}{\frac {d[\mathbf {r} _{i},\mathbf {p} _{i}]}{dt}}=0}
Учитывая произвольность вектора поворота окончательно можно записать
d d t ∑ i [ r i , p i ] = 0 {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\sum _{i}[\mathbf {r} _{i},\mathbf {p} _{i}]=0} {\frac {d}{dt}}\sum _{i}[{\mathbf {r}}_{i},{\mathbf {p}}_{i}]=0
Это означает, что векторная величина
M = ∑ i [ r i , p i ] {\displaystyle \mathbf {M} =\sum _{i}[\mathbf {r} _{i},\mathbf {p} _{i}]} {\mathbf {M}}=\sum _{i}[{\mathbf {r}}_{i},{\mathbf {p}}_{i}]
сохраняется. Эта величина и называется моментом импульса или просто моментом.
Вывод уравнений Лагранжа из Ньютоновской механики
Рассмотрим единственную частицу с массой m {\displaystyle m} m и радиус-вектором r {\displaystyle \mathbf {r} } \mathbf {r} . Предполагаем, что силовое поле F {\displaystyle \mathbf {F} } \mathbf {F} , в котором и под действием которого она совершает своё движение, может быть выражено как градиент скалярной функции — потенциальной энергии V ( r , t ) {\displaystyle V(\mathbf {r} ,\;t)} V({\mathbf {r}},\;t) (этому условию удовлетворяют, например, гравитационное и электрическое поле, и не удовлетворяют магнитные поля):
F = − ∇ V . {\displaystyle \mathbf {F} =-\nabla V.} {\mathbf {F}}=-\nabla V.
Такая сила не зависит от производных r {\displaystyle \mathbf {r} } \mathbf {r} , поэтому второй закон Ньютона формирует 3 обыкновенных дифференциальных уравнения второго порядка. Движение частицы может быть полностью описано тремя независимыми переменными, называемых степенями свободы. Очевидный набор переменных — { r j , r j ′ ∣ j = 1 , 2 , 3 } {\displaystyle \{r_{j},\;r'_{j}\mid j=1,\;2,\;3\}} \{r_{j},\;r'_{j}\mid j=1,\;2,\;3\} (декартовы компоненты r {\displaystyle \mathbf {r} } \mathbf {r} в данный момент времени).
Обобщая, мы можем работать с обобщёнными координатами, q j {\displaystyle q_{j}} q_{j}, и их производными, обобщёнными скоростями q j ′ {\displaystyle q'_{j}} q'_{j}. Радиус-вектор r {\displaystyle \mathbf {r} } \mathbf {r} связан с обобщёнными координатами некоторым уравнением преобразования:
r = r ( q i , t ) , i = 1 , … , N , {\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} (q_{i},\;t),\quad i=1,\;\ldots ,\;N,} {\mathbf {r}}={\mathbf {r}}(q_{i},\;t),\quad i=1,\;\ldots ,\;N,
где N {\displaystyle N} N — число степеней свободы системы.
Например, для плоского движения математического маятника длиной l {\displaystyle l} l логичным выбором обобщённой координаты будет угол отклонения θ {\displaystyle \theta } \theta от вертикали подвеса, для которого уравнения преобразования имеют вид
r ( θ , θ ′ , t ) = ( l sin θ , l cos θ ) . {\displaystyle \mathbf {r} (\theta ,\;\theta ',\;t)=(l\sin \theta ,\;l\cos \theta ).} {\mathbf {r}}(\theta ,\;\theta ',\;t)=(l\sin \theta ,\;l\cos \theta ).
Термин обобщённые координаты остался от того периода, когда Декартовы координаты были системой координат по умолчанию.
Рассмотримапапапаппаf {F} } \mathbf {F} , равна δ W = F ⋅ δ r {\displaystyle \delta W=\mathbf {F} \cdot \delta \mathbf {r} } \delta W={\mathbf {F}}\cdot \delta {\mathbf {r}}. Используя второй закон Ньютона, запишем:
m r ¨ ⋅ δ r = F ⋅ δ r . {\displaystyle m\mathbf {\ddot {r}} \cdot \delta \mathbf {r} =\mathbf {F} \cdot \delta \mathbf {r} .} m{\mathbf {{\ddot r}}}\cdot \delta {\mathbf {r}}={\mathbf {F}}\cdot \delta {\mathbf {r}}.
Перепишем это уравнение в терминах обобщённых координат и скоростей. С правой стороны равенства,
F ⋅ δ r = − g r a d V ⋅ ∑ i ∂ r ∂ q i δ q i = − ∑ i , j ∂ V ∂ r j ∂ r j ∂ q i δ q i = − ∑ i ∂ V ∂ q i δ q i . {\displaystyle {\begin{matrix}\mathbf {F} \cdot \delta \mathbf {r} &=&-\mathrm {grad} \,V\cdot \sum \limits _{i}\displaystyle {\partial \mathbf {r} \over \partial q_{i}}\delta q_{i}\\\\&=&-\sum \limits _{i,\;j}\displaystyle {\partial V \over \partial r_{j}}\displaystyle {\partial r_{j} \over \partial q_{i}}\delta q_{i}\\\\&=&-\sum \limits _{i}\displaystyle {\partial V \over \partial q_{i}}\delta q_{i}.\\\end{matrix}}} {\begin{matrix}{\mathbf {F}}\cdot \delta {\mathbf {r}}&=&-{\mathrm {grad}}\,V\cdot \sum \limits _{i}\displaystyle {\partial {\mathbf {r}} \over \partial q_{i}}\delta q_{i}\\\\&=&-\sum \limits _{{i,\;j}}\displaystyle {\partial V \over \partial r_{j}}\displaystyle {\partial r_{j} \over \partial q_{i}}\delt E=\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot q}_{i}}}{\dot {q_{i}}}-L=\sum _{i}p_{i}{\dot {q_{i}}}-L
называемая энергией системы не изменяется со временем. Это sum _{i}[{\mathbf {r}}_{i},{\mathbf {p}}_{i}]=0
Поскольку δ r {\displaystyle \delta \mathbf {r} } \delta {\mathbf {r}} — произвольна, то имеем
∑ i ∂ L ∂ r i = 0 {\displaystyle \sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i}}}=0} {\d isplaystyle \sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i}}}=0}>>252478167
>Фига бомбануло>>252478167
>>252478163
>>252478134
>>252478135
>>252478100
>>252478082
>Детектор чини, школотун.
>>252478135
>>Я твой уебанский новояз не понимаю, пиши по-русски.
>>употребляет слово плиз
>Ok, boomer
>>252478082
>Я твой уебанский новояз не понимаю, пиши по-русски.
>>252477809
>пердун, спок.
>>252477756
>Порридж, плиз, борда 18+.
>>252478163
>Пориджи, ну это выглядит как-то совсем уже убого. Хватит. Форс пориджей взлетел, форс вот этот вот что вы сейчас пытаетесь уныло зафорсить нет. Ну всё. Признайте уже свое поражение.
Подставляя данное равенство в уравнения Эйлера-Лагранжа, получим
d d t ( ∑ i ∂ L ∂ r i ˙ ) = 0 {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {r_{i}} }}}}\right)=0} {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {r_{i}} }}}}\right)=0}
Следовательно, выражение в скобках
P = ∑ i ∂ L ∂ v i = ∑ i m i v i {\displaystyle P=\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {v} _{i}}}=\sum _{i}m_{i}\mathbf {v} _{i}} P=\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\mathbf {v}}_{i}}}=\sum _{i}m_{i}{\mathbf {v}}_{i}
являющееся векторной величиной, называемой импульсом, сохраняется во времени. Это закон сохранения импульса.
Закон сохранения импульса системы частиц может быть сформулирован как равномерность и прямолинейность движения центра тяжести системы.
Закон сохранения момента импульса
Изотропность пространства означает инвариантность лагранжиана замкнутой механической системы относительно поворотов. Если определить по правилу винта вектор бесконечно малого поворота δ ϕ {\displaystyle \delta \mathbf {\phi } } \delta {\mathbf {\phi }}, то изменения радиус-вектора и вектора скорости будут равны векторным произведения вектора поворота на радиус вектор или вектор скорости соответственно:
δ r = [ δ ϕ , r ] {\displaystyle \delta \mathbf {r} =[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {r} ]} \delta {\mathbf {r}}=[\delta {\mathbf {\phi }},{\mathbf {r}}], δ v = [ δ ϕ , v ] {\displaystyle \delta \mathbf {v} =[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {v} ]} \delta {\mathbf {v}}=[\delta {\mathbf {\phi }},{\mathbf {v}}]
Неизменность лагранжиана означает, что
δ L = ∑ i ( ∂ L ∂ r i δ r i + ∂ L ∂ v i δ v i ) = ∑ i ( p ˙ i δ r i + p i δ v i ) = 0 {\displaystyle \delta L=\sum _{i}\left({\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i}}}\delta \mathbf {r} _{i}+{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {v} _{i}}}\delta \mathbf {v} _{i}\right)=\sum _{i}\left(\mathbf {\dot {p}} _{i}\delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {p} _{i}\delta \mathbf {v} _{i}\right)=0} {\displaystyle \delta L=\sum _{i}\left({\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i}}}\delta \mathbf {r} _{i}+{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {v} _{i}}}\delta \mathbf {v} _{i}\right)=\sum _{i}\left(\mathbf {\dot {p}} _{i}\delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {p} _{i}\delta \mathbf {v} _{i}\right)=0}
Подставляя сюда выражения для изменений радиус-вектора и вектора скорости получаем:
∑ i ( p ˙ i [ δ ϕ , r i ] + p i [ δ ϕ , v i ] ) = δ ϕ ∑ i ( [ r i , p ˙ i ] + [ v i , p i ] ) = δ ϕ ∑ i d [ r i , p i ] d t = 0 {\displaystyle \sum _{i}\left({\dot {\mathbf {p} }}_{i}[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {r} _{i}]+\mathbf {p} _{i}[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {v} _{i}]\right)=\delta \phi \sum _{i}\left([\mathbf {r} _{i},{\dot {\mathbf {p} }}_{i}]+[\mathbf {v} _{i},\mathbf {p} _{i}]\right)=\delta \phi \sum _{i}{\frac {d[\mathbf {r} _{i},\mathbf {p} _{i}]}{dt}}=0} {\displaystyle \sum _{i}\left({\dot {\mathbf {p} }}_{i}[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {r} _{i}]+\mathbf {p} _{i}[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {v} _{i}]\right)=\delta \phi \sum _{i}\left([\mathbf {r} _{i},{\dot {\mathbf {p} }}_{i}]+[\mathbf {v} _{i},\mathbf {p} _{i}]\right)=\delta \phi \sum _{i}{\frac {d[\mathbf {r} _{i},\mathbf {p} _{i}]}{dt}}=0}
Учитывая произвольность вектора поворота окончательно можно записать
d d t ∑ i [ r i , p i ] = 0 {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\sum _{i}[\mathbf {r} _{i},\mathbf {p} _{i}]=0} {\frac {d}{dt}}\sum _{i}[{\mathbf {r}}_{i},{\mathbf {p}}_{i}]=0
Это означает, что векторная величина
M = ∑ i [ r i , p i ] {\displaystyle \mathbf {M} =\sum _{i}[\mathbf {r} _{i},\mathbf {p} _{i}]} {\mathbf {M}}=\sum _{i}[{\mathbf {r}}_{i},{\mathbf {p}}_{i}]
сохраняется. Эта величина и называется моментом импульса или просто моментом.
Вывод уравнений Лагранжа из Ньютоновской механики
Рассмотрим единственную частицу с массой m {\displaystyle m} m и радиус-вектором r {\displaystyle \mathbf {r} } \mathbf {r} . Предполагаем, что силовое поле F {\displaystyle \mathbf {F} } \mathbf {F} , в котором и под действием которого она совершает своё движение, может быть выражено как градиент скалярной функции — потенциальной энергии V ( r , t ) {\displaystyle V(\mathbf {r} ,\;t)} V({\mathbf {r}},\;t) (этому условию удовлетворяют, например, гравитационное и электрическое поле, и не удовлетворяют магнитные поля):
F = − ∇ V . {\displaystyle \mathbf {F} =-\nabla V.} {\mathbf {F}}=-\nabla V.
Такая сила не зависит от производных r {\displaystyle \mathbf {r} } \mathbf {r} , поэтому второй закон Ньютона формирует 3 обыкновенных дифференциальных уравнения второго порядка. Движение частицы может быть полностью описано тремя независимыми переменными, называемых степенями свободы. Очевидный набор переменных — { r j , r j ′ ∣ j = 1 , 2 , 3 } {\displaystyle \{r_{j},\;r'_{j}\mid j=1,\;2,\;3\}} \{r_{j},\;r'_{j}\mid j=1,\;2,\;3\} (декартовы компоненты r {\displaystyle \mathbf {r} } \mathbf {r} в данный момент времени).
Обобщая, мы можем работать с обобщёнными координатами, q j {\displaystyle q_{j}} q_{j}, и их производными, обобщёнными скоростями q j ′ {\displaystyle q'_{j}} q'_{j}. Радиус-вектор r {\displaystyle \mathbf {r} } \mathbf {r} связан с обобщёнными координатами некоторым уравнением преобразования:
r = r ( q i , t ) , i = 1 , … , N , {\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} (q_{i},\;t),\quad i=1,\;\ldots ,\;N,} {\mathbf {r}}={\mathbf {r}}(q_{i},\;t),\quad i=1,\;\ldots ,\;N,
где N {\displaystyle N} N — число степеней свободы системы.
Например, для плоского движения математического маятника длиной l {\displaystyle l} l логичным выбором обобщённой координаты будет угол отклонения θ {\displaystyle \theta } \theta от вертикали подвеса, для которого уравнения преобразования имеют вид
r ( θ , θ ′ , t ) = ( l sin θ , l cos θ ) . {\displaystyle \mathbf {r} (\theta ,\;\theta ',\;t)=(l\sin \theta ,\;l\cos \theta ).} {\mathbf {r}}(\theta ,\;\theta ',\;t)=(l\sin \theta ,\;l\cos \theta ).
Термин обобщённые координаты остался от того периода, когда Декартовы координаты были системой координат по умолчанию.
Рассмотримапапапаппаf {F} } \mathbf {F} , равна δ W = F ⋅ δ r {\displaystyle \delta W=\mathbf {F} \cdot \delta \mathbf {r} } \delta W={\mathbf {F}}\cdot \delta {\mathbf {r}}. Используя второй закон Ньютона, запишем:
m r ¨ ⋅ δ r = F ⋅ δ r . {\displaystyle m\mathbf {\ddot {r}} \cdot \delta \mathbf {r} =\mathbf {F} \cdot \delta \mathbf {r} .} m{\mathbf {{\ddot r}}}\cdot \delta {\mathbf {r}}={\mathbf {F}}\cdot \delta {\mathbf {r}}.
Перепишем это уравнение в терминах обобщённых координат и скоростей. С правой стороны равенства,
F ⋅ δ r = − g r a d V ⋅ ∑ i ∂ r ∂ q i δ q i = − ∑ i , j ∂ V ∂ r j ∂ r j ∂ q i δ q i = − ∑ i ∂ V ∂ q i δ q i . {\displaystyle {\begin{matrix}\mathbf {F} \cdot \delta \mathbf {r} &=&-\mathrm {grad} \,V\cdot \sum \limits _{i}\displaystyle {\partial \mathbf {r} \over \partial q_{i}}\delta q_{i}\\\\&=&-\sum \limits _{i,\;j}\displaystyle {\partial V \over \partial r_{j}}\displaystyle {\partial r_{j} \over \partial q_{i}}\delta q_{i}\\\\&=&-\sum \limits _{i}\displaystyle {\partial V \over \partial q_{i}}\delta q_{i}.\\\end{matrix}}} {\begin{matrix}{\mathbf {F}}\cdot \delta {\mathbf {r}}&=&-{\mathrm {grad}}\,V\cdot \sum \limits _{i}\displaystyle {\partial {\mathbf {r}} \over \partial q_{i}}\delta q_{i}\\\\&=&-\sum \limits _{{i,\;j}}\displaystyle {\partial V \over \partial r_{j}}\displaystyle {\partial r_{j} \over \partial q_{i}}\delt E=\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot q}_{i}}}{\dot {q_{i}}}-L=\sum _{i}p_{i}{\dot {q_{i}}}-L
называемая энергией системы не изменяется со временем. Это sum _{i}[{\mathbf {r}}_{i},{\mathbf {p}}_{i}]=0
Поскольку δ r {\displaystyle \delta \mathbf {r} } \delta {\mathbf {r}} — произвольна, то имеем
∑ i ∂ L ∂ r i = 0 {\displaystyle \sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i}}}=0} {\displaystyle \sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i}}}=0}>>252478167
>Фига бомбануло>>252478167
>>252478163
>>252478134
>>252478135
>>252478100
>>252478082
Но на слово плиз ты вообще никак не обратил внимание.
Почему? Ты правда не считаешь себя тупым?
>Детектор чини, школотун.
>>252478135
>>Я твой уебанский новояз не понимаю, пиши по-русски.
>>употребляет слово плиз
>Ok, boomer
>>252478082
>Я твой уебанский новояз не понимаю, пиши по-русски.
>>252477809
>пердун, спок.
>>252477756
>Порридж, плиз, борда 18+.
>>252478163
>Пориджи, ну это выглядит как-то совсем уже убого. Хватит. Форс пориджей взлетел, форс вот этот вот что вы сейчас пытаетесь уныло зафорсить нет. Ну всё. Признайте уже свое поражение.
Подставляя данное равенство в уравнения Эйлера-Лагранжа, получим
d d t ( ∑ i ∂ L ∂ r i ˙ ) = 0 {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {r_{i}} }}}}\right)=0} {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {r_{i}} }}}}\right)=0}
Следовательно, выражение в скобках
P = ∑ i ∂ L ∂ v i = ∑ i m i v i {\displaystyle P=\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {v} _{i}}}=\sum _{i}m_{i}\mathbf {v} _{i}} P=\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\mathbf {v}}_{i}}}=\sum _{i}m_{i}{\mathbf {v}}_{i}
являющееся векторной величиной, называемой импульсом, сохраняется во времени. Это закон сохранения импульса.
Закон сохранения импульса системы частиц может быть сформулирован как равномерность и прямолинейность движения центра тяжести системы.
Закон сохранения момента импульса
Изотропность пространства означает инвариантность лагранжиана замкнутой механической системы относительно поворотов. Если определить по правилу винта вектор бесконечно малого поворота δ ϕ {\displaystyle \delta \mathbf {\phi } } \delta {\mathbf {\phi }}, то изменения радиус-вектора и вектора скорости будут равны векторным произведения вектора поворота на радиус вектор или вектор скорости соответственно:
δ r = [ δ ϕ , r ] {\displaystyle \delta \mathbf {r} =[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {r} ]} \delta {\mathbf {r}}=[\delta {\mathbf {\phi }},{\mathbf {r}}], δ v = [ δ ϕ , v ] {\displaystyle \delta \mathbf {v} =[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {v} ]} \delta {\mathbf {v}}=[\delta {\mathbf {\phi }},{\mathbf {v}}]
Неизменность лагранжиана означает, что
δ L = ∑ i ( ∂ L ∂ r i δ r i + ∂ L ∂ v i δ v i ) = ∑ i ( p ˙ i δ r i + p i δ v i ) = 0 {\displaystyle \delta L=\sum _{i}\left({\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i}}}\delta \mathbf {r} _{i}+{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {v} _{i}}}\delta \mathbf {v} _{i}\right)=\sum _{i}\left(\mathbf {\dot {p}} _{i}\delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {p} _{i}\delta \mathbf {v} _{i}\right)=0} {\displaystyle \delta L=\sum _{i}\left({\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i}}}\delta \mathbf {r} _{i}+{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {v} _{i}}}\delta \mathbf {v} _{i}\right)=\sum _{i}\left(\mathbf {\dot {p}} _{i}\delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {p} _{i}\delta \mathbf {v} _{i}\right)=0}
Подставляя сюда выражения для изменений радиус-вектора и вектора скорости получаем:
∑ i ( p ˙ i [ δ ϕ , r i ] + p i [ δ ϕ , v i ] ) = δ ϕ ∑ i ( [ r i , p ˙ i ] + [ v i , p i ] ) = δ ϕ ∑ i d [ r i , p i ] d t = 0 {\displaystyle \sum _{i}\left({\dot {\mathbf {p} }}_{i}[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {r} _{i}]+\mathbf {p} _{i}[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {v} _{i}]\right)=\delta \phi \sum _{i}\left([\mathbf {r} _{i},{\dot {\mathbf {p} }}_{i}]+[\mathbf {v} _{i},\mathbf {p} _{i}]\right)=\delta \phi \sum _{i}{\frac {d[\mathbf {r} _{i},\mathbf {p} _{i}]}{dt}}=0} {\displaystyle \sum _{i}\left({\dot {\mathbf {p} }}_{i}[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {r} _{i}]+\mathbf {p} _{i}[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {v} _{i}]\right)=\delta \phi \sum _{i}\left([\mathbf {r} _{i},{\dot {\mathbf {p} }}_{i}]+[\mathbf {v} _{i},\mathbf {p} _{i}]\right)=\delta \phi \sum _{i}{\frac {d[\mathbf {r} _{i},\mathbf {p} _{i}]}{dt}}=0}
Учитывая произвольность вектора поворота окончательно можно записать
d d t ∑ i [ r i , p i ] = 0 {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\sum _{i}[\mathbf {r} _{i},\mathbf {p} _{i}]=0} {\frac {d}{dt}}\sum _{i}[{\mathbf {r}}_{i},{\mathbf {p}}_{i}]=0
Это означает, что векторная величина
M = ∑ i [ r i , p i ] {\displaystyle \mathbf {M} =\sum _{i}[\mathbf {r} _{i},\mathbf {p} _{i}]} {\mathbf {M}}=\sum _{i}[{\mathbf {r}}_{i},{\mathbf {p}}_{i}]
сохраняется. Эта величина и называется моментом импульса или просто моментом.
Вывод уравнений Лагранжа из Ньютоновской механики
Рассмотрим единственную частицу с массой m {\displaystyle m} m и радиус-вектором r {\displaystyle \mathbf {r} } \mathbf {r} . Предполагаем, что силовое поле F {\displaystyle \mathbf {F} } \mathbf {F} , в котором и под действием которого она совершает своё движение, может быть выражено как градиент скалярной функции — потенциальной энергии V ( r , t ) {\displaystyle V(\mathbf {r} ,\;t)} V({\mathbf {r}},\;t) (этому условию удовлетворяют, например, гравитационное и электрическое поле, и не удовлетворяют магнитные поля):
F = − ∇ V . {\displaystyle \mathbf {F} =-\nabla V.} {\mathbf {F}}=-\nabla V.
Такая сила не зависит от производных r {\displaystyle \mathbf {r} } \mathbf {r} , поэтому второй закон Ньютона формирует 3 обыкновенных дифференциальных уравнения второго порядка. Движение частицы может быть полностью описано тремя независимыми переменными, называемых степенями свободы. Очевидный набор переменных — { r j , r j ′ ∣ j = 1 , 2 , 3 } {\displaystyle \{r_{j},\;r'_{j}\mid j=1,\;2,\;3\}} \{r_{j},\;r'_{j}\mid j=1,\;2,\;3\} (декартовы компоненты r {\displaystyle \mathbf {r} } \mathbf {r} в данный момент времени).
Обобщая, мы можем работать с обобщёнными координатами, q j {\displaystyle q_{j}} q_{j}, и их производными, обобщёнными скоростями q j ′ {\displaystyle q'_{j}} q'_{j}. Радиус-вектор r {\displaystyle \mathbf {r} } \mathbf {r} связан с обобщёнными координатами некоторым уравнением преобразования:
r = r ( q i , t ) , i = 1 , … , N , {\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} (q_{i},\;t),\quad i=1,\;\ldots ,\;N,} {\mathbf {r}}={\mathbf {r}}(q_{i},\;t),\quad i=1,\;\ldots ,\;N,
где N {\displaystyle N} N — число степеней свободы системы.
Например, для плоского движения математического маятника длиной l {\displaystyle l} l логичным выбором обобщённой координаты будет угол отклонения θ {\displaystyle \theta } \theta от вертикали подвеса, для которого уравнения преобразования имеют вид
r ( θ , θ ′ , t ) = ( l sin θ , l cos θ ) . {\displaystyle \mathbf {r} (\theta ,\;\theta ',\;t)=(l\sin \theta ,\;l\cos \theta ).} {\mathbf {r}}(\theta ,\;\theta ',\;t)=(l\sin \theta ,\;l\cos \theta ).
Термин обобщённые координаты остался от того периода, когда Декартовы координаты были системой координат по умолчанию.
Рассмотримапапапаппаf {F} } \mathbf {F} , равна δ W = F ⋅ δ r {\displaystyle \delta W=\mathbf {F} \cdot \delta \mathbf {r} } \delta W={\mathbf {F}}\cdot \delta {\mathbf {r}}. Используя второй закон Ньютона, запишем:
m r ¨ ⋅ δ r = F ⋅ δ r . {\displaystyle m\mathbf {\ddot {r}} \cdot \delta \mathbf {r} =\mathbf {F} \cdot \delta \mathbf {r} .} m{\mathbf {{\ddot r}}}\cdot \delta {\mathbf {r}}={\mathbf {F}}\cdot \delta {\mathbf {r}}.
Перепишем это уравнение в терминах обобщённых координат и скоростей. С правой стороны равенства,
F ⋅ δ r = − g r a d V ⋅ ∑ i ∂ r ∂ q i δ q i = − ∑ i , j ∂ V ∂ r j ∂ r j ∂ q i δ q i = − ∑ i ∂ V ∂ q i δ q i . {\displaystyle {\begin{matrix}\mathbf {F} \cdot \delta \mathbf {r} &=&-\mathrm {grad} \,V\cdot \sum \limits _{i}\displaystyle {\partial \mathbf {r} \over \partial q_{i}}\delta q_{i}\\\\&=&-\sum \limits _{i,\;j}\displaystyle {\partial V \over \partial r_{j}}\displaystyle {\partial r_{j} \over \partial q_{i}}\delta q_{i}\\\\&=&-\sum \limits _{i}\displaystyle {\partial V \over \partial q_{i}}\delta q_{i}.\\\end{matrix}}} {\begin{matrix}{\mathbf {F}}\cdot \delta {\mathbf {r}}&=&-{\mathrm {grad}}\,V\cdot \sum \limits _{i}\displaystyle {\partial {\mathbf {r}} \over \partial q_{i}}\delta q_{i}\\\\&=&-\sum \limits _{{i,\;j}}\displaystyle {\partial V \over \partial r_{j}}\displaystyle {\partial r_{j} \over \partial q_{i}}\delt E=\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot q}_{i}}}{\dot {q_{i}}}-L=\sum _{i}p_{i}{\dot {q_{i}}}-L
называемая энергией системы не изменяется со временем. Это sum _{i}[{\mathbf {r}}_{i},{\mathbf {p}}_{i}]=0
Поскольку δ r {\displaystyle \delta \mathbf {r} } \delta {\mathbf {r}} — произвольна, то имеем
∑ i ∂ L ∂ r i = 0 {\displaystyle \sваааааааааааum _{i}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i}}}=0} {\displaystyle \sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i}}}=0}>>252478167
>Фига бомбануло>>252478167
>>252478163
>>252478134
>>252478135
>>252478100
>>252478082
>Но на слово плиз ты вообще никак не обратил внимание.
>Почему? Ты правда не считаешь себя тупым?
>>252478252
>Детектор чини, школотун.
>>252478135
>>Я твой уебанский новояз не понимаю, пиши по-русски.
>>употребляет слово плиз
>Ok, boomer
>>252478082
>Я твой уебанский новояз не понимаю, пиши по-русски.
>>252477809
>пердун, спок.
>>252477756
>Порридж, плиз, борда 18+.
>>252478163
>Пориджи, ну это выглядит как-то совсем уже убого. Хватит. Форс пориджей взлетел, форс вот этот вот что вы сейчас пытаетесь уныло зафорсить нет. Ну всё. Признайте уже свое поражение.
Подставляя данное равенство в уравнения Эйлера-Лагранжа, получим
d d t ( ∑ i ∂ L ∂ r i ˙ ) = 0 {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {r_{i}} }}}}\right)=0} {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {r_{i}} }}}}\right)=0}
Следовательно, выражение в скобках
P = ∑ i ∂ L ∂ v i = ∑ i m i v i {\displaystyle P=\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {v} _{i}}}=\sum _{i}m_{i}\mathbf {v} _{i}} P=\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\mathbf {v}}_{i}}}=\sum _{i}m_{i}{\mathbf {v}}_{i}
являющееся векторной величиной, называемой импульсом, сохраняется во времени. Это закон сохранения импульса.
Закон сохранения импульса системы частиц может быть сформулирован как равномерность и прямолинейность движения центра тяжести системы.
Закон сохранения момента импульса
Изотропность пространства означает инвариантность лагранжиана замкнутой механической системы относительно поворотов. Если определить по правилу винта вектор бесконечно малого поворота δ ϕ {\displaystyle \delta \mathbf {\phi } } \delta {\mathbf {\phi }}, то изменения радиус-вектора и вектора скорости будут равны векторным произведения вектора поворота на радиус вектор или вектор скорости соответственно:
δ r = [ δ ϕ , r ] {\displaystyle \delta \mathbf {r} =[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {r} ]} \delta {\mathbf {r}}=[\delta {\mathbf {\phi }},{\mathbf {r}}], δ v = [ δ ϕ , v ] {\displaystyle \delta \mathbf {v} =[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {v} ]} \delta {\mathbf {v}}=[\delta {\mathbf {\phi }},{\mathbf {v}}]
Неизменность лагранжиана означает, что
δ L = ∑ i ( ∂ L ∂ r i δ r i + ∂ L ∂ v i δ v i ) = ∑ i ( p ˙ i δ r i + p i δ v i ) = 0 {\displaystyle \delta L=\sum _{i}\left({\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i}}}\delta \mathbf {r} _{i}+{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {v} _{i}}}\delta \mathbf {v} _{i}\right)=\sum _{i}\left(\mathbf {\dot {p}} _{i}\delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {p} _{i}\delta \mathbf {v} _{i}\right)=0} {\displaystyle \delta L=\sum _{i}\left({\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i}}}\delta \mathbf {r} _{i}+{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {v} _{i}}}\delta \mathbf {v} _{i}\right)=\sum _{i}\left(\mathbf {\dot {p}} _{i}\delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {p} _{i}\delta \mathbf {v} _{i}\right)=0}
Подставляя сюда выражения для изменений радиус-вектора и вектора скорости получаем:
∑ i ( p ˙ i [ δ ϕ , r i ] + p i [ δ ϕ , v i ] ) = δ ϕ ∑ i ( [ r i , p ˙ i ] + [ v i , p i ] ) = δ ϕ ∑ i d [ r i , p i ] d t = 0 {\displaystyle \sum _{i}\left({\dot {\mathbf {p} }}_{i}[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {r} _{i}]+\mathbf {p} _{i}[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {v} _{i}]\right)=\delta \phi \sum _{i}\left([\mathbf {r} _{i},{\dot {\mathbf {p} }}_{i}]+[\mathbf {v} _{i},\mathbf {p} _{i}]\right)=\delta \phi \sum _{i}{\frac {d[\mathbf {r} _{i},\mathbf {p} _{i}]}{dt}}=0} {\displaystyle \sum _{i}\left({\dot {\mathbf {p} }}_{i}[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {r} _{i}]+\mathbf {p} _{i}[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {v} _{i}]\right)=\delta \phi \sum _{i}\left([\mathbf {r} _{i},{\dot {\mathbf {p} }}_{i}]+[\mathbf {v} _{i},\mathbf {p} _{i}]\right)=\delta \phi \sum _{i}{\frac {d[\mathbf {r} _{i},\mathbf {p} _{i}]}{dt}}=0}
Учитывая произвольность вектора поворота окончательно можно записать
d d t ∑ i [ r i , p i ] = 0 {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\sum _{i}[\mathbf {r} _{i},\mathbf {p} _{i}]=0} {\frac {d}{dt}}\sum _{i}[{\mathbf {r}}_{i},{\mathbf {p}}_{i}]=0
Это означает, что векторная величина
M = ∑ i [ r i , p i ] {\displaystyle \mathbf {M} =\sum _{i}[\mathbf {r} _{i},\mathbf {p} _{i}]} {\mathbf {M}}=\sum _{i}[{\mathbf {r}}_{i},{\mathbf {p}}_{i}]
сохраняется. Эта величина и называется моментом импульса или просто моментом.
Вывод уравнений Лагранжа из Ньютоновской механики
Рассмотрим единственную частицу с массой m {\displaystyle m} m и радиус-вектором r {\displaystyle \mathbf {r} } \mathbf {r} . Предполагаем, что силовое поле F {\displaystyle \mathbf {F} } \mathbf {F} , в котором и под действием которого она совершает своё движение, может быть выражено как градиент скалярной функции — потенциальной энергии V ( r , t ) {\displaystyle V(\mathbf {r} ,\;t)} V({\mathbf {r}},\;t) (этому условию удовлетворяют, например, гравитационное и электрическое поле, и не удовлетворяют магнитные поля):
F = − ∇ V . {\displaystyle \mathbf {F} =-\nabla V.} {\mathbf {F}}=-\nabla V.
Такая сила не зависит от производных r {\displaystyle \mathbf {r} } \mathbf {r} , поэтому второй закон Ньютона формирует 3 обыкновенных дифференциальных уравнения второго порядка. Движение частицы может быть полностью описано тремя независимыми переменными, называемых степенями свободы. Очевидный набор переменных — { r j , r j ′ ∣ j = 1 , 2 , 3 } {\displaystyle \{r_{j},\;r'_{j}\mid j=1,\;2,\;3\}} \{r_{j},\;r'_{j}\mid j=1,\;2,\;3\} (декартовы компоненты r {\displaystyle \mathbf {r} } \mathbf {r} в данный момент времени).
Обобщая, мы можем работать с обобщёнными координатами, q j {\displaystyle q_{j}} q_{j}, и их производными, обобщёнными скоростями q j ′ {\displaystyle q'_{j}} q'_{j}. Радиус-вектор r {\displaystyle \mathbf {r} } \mathbf {r} связан с обобщёнными координатами некоторым уравнением преобразования:
r = r ( q i , t ) , i = 1 , … , N , {\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} (q_{i},\;t),\quad i=1,\;\ldots ,\;N,} {\mathbf {r}}={\mathbf {r}}(q_{i},\;t),\quad i=1,\;\ldots ,\;N,
где N {\displaystyle N} N — число степеней свободы системы.
Например, для плоского движения математического маятника длиной l {\displaystyle l} l логичным выбором обобщённой координаты будет угол отклонения θ {\displaystyle \theta } \theta от вертикали подвеса, для которого уравнения преобразования имеют вид
r ( θ , θ ′ , t ) = ( l sin θ , l cos θ ) . {\displaystyle \mathbf {r} (\theta ,\;\theta ',\;t)=(l\sin \theta ,\;l\cos \theta ).} {\mathbf {r}}(\theta ,\;\theta ',\;t)=(l\sin \theta ,\;l\cos \theta ).
Термин обобщённые координаты остался от того периода, когда Декартовы координаты были системой координат по умолчанию.
Рассмотримапапапаппаf {F} } \mathbf {F} , равна δ W = F ⋅ δ r {\displaystyle \delta W=\mathbf {F} \cdot \delta \mathbf {r} } \delta W={\mathbf {F}}\cdot \delta {\mathbf {r}}. Используя второй закон Ньютона, запишем:
m r ¨ ⋅ δ r = F ⋅ δ r . {\displaystyle m\mathbf {\ddot {r}} \cdot \delta \mathbf {r} =\mathbf {F} \cdot \delta \mathbf {r} .} m{\mathbf {{\ddot r}}}\cdot \delta {\mathbf {r}}={\mathbf {F}}\cdot \delta {\mathbf {r}}.
Перепишем это уравнение в терминах обобщённых координат и скоростей. С правой стороны равенства,
F ⋅ δ r = − g r a d V ⋅ ∑ i ∂ r ∂ q i δ q i = − ∑ i , j ∂ V ∂ r j ∂ r j ∂ q i δ q i = − ∑ i ∂ V ∂ q i δ q i . {\displaystyle {\begin{matrix}\mathbf {F} \cdot \delta \mathbf {r} &=&-\mathrm {grad} \,V\cdot \sum \limits _{i}\displaystyle {\partial \mathbf {r} \over \partial q_{i}}\delta q_{i}\\\\&=&-\sum \limits _{i,\;j}\displaystyle {\partial V \over \partial r_{j}}\displaystyle {\partial r_{j} \over \partial q_{i}}\delta q_{i}\\\\&=&-\sum \limits _{i}\displaystyle {\partial V \over \partial q_{i}}\delta q_{i}.\\\end{matrix}}} {\begin{matrix}{\mathbf {F}}\cdot \delta {\mathbf {r}}&=&-{\mathrm {grad}}\,V\cdot \sum \limits _{i}\displaystyle {\partial {\mathbf {r}} \over \partial q_{i}}\delta q_{i}\\\\&=&-\sum \limits _{{i,\;j}}\displaystyle {\partial V \over \partial r_{j}}\displaystyle {\partial r_{j} \over \partial q_{i}}\delt E=\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot q}_{i}}}{\dot {q_{i}}}-L=\sum _{i}p_{i}{\dot {q_{i}}}-L
называемая энергией системы не изменяется со временем. Это sum _{i}[{\mathbf {r}}_{i},{\mathbf {p}}_{i}]=0
Поскольку δ r {\displaystyle \delta \mathbf {r} } \delta {\mathbf {r}} — произвольна, то имеем
∑ i ∂ L ∂ r i = 0 {\displaystyle \sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i}}}=0} {\displaystyle \sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i}}}=0}>>252478167
>Фига бомбануло>>252478167
>>252478163
>>252478134
>>252478135
>>252478100
>>252478082
>Детектор чини, школотун.
>>252478135
>>Я твой уебанский новояз не понимаю, пиши по-русски.
>>употребляет слово плиз
>Ok, boomer
>>252478082
>Я твой уебанский новояз не понимаю, пиши по-русски.
>>252477809
>пердун, спок.
>>252477756
>Порридж, плиз, борда 18+.
>>252478163
>Пориджи, ну это выглядит как-то совсем уже убого. Хватит. Форс пориджей взлетел, форс вот этот вот что вы сейчас пытаетесь уныло зафорсить нет. Ну всё. Признайте уже свое поражение.
Подставляя данное равенство в уравнения Эйлера-Лагранжа, получим
d d t ( ∑ i ∂ L ∂ r i ˙ ) = 0 {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {r_{i}} }}}}\right)=0} {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {r_{i}} }}}}\right)=0}
Следовательно, выражение в скобках
P = ∑ i ∂ L ∂ v i = ∑ i m i v i {\displaystyle P=\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {v} _{i}}}=\sum _{i}m_{i}\mathbf {v} _{i}} P=\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\mathbf {v}}_{i}}}=\sum _{i}m_{i}{\mathbf {v}}_{i}
являющееся векторной величиной, называемой импульсом, сохраняется во времени. Это закон сохранения импульса.
Закон сохранения импульса системы частиц может быть сформулирован как равномерность и прямолинейность движения центра тяжести системы.
Закон сохранения момента импульса
Изотропность пространства означает инвариантность лагранжиана замкнутой механической системы относительно поворотов. Если определить по правилу винта вектор бесконечно малого поворота δ ϕ {\displaystyle \delta \mathbf {\phi } } \delta {\mathbf {\phi }}, то изменения радиус-вектора и вектора скорости будут равны векторным произведения вектора поворота на радиус вектор или вектор скорости соответственно:
δ r = [ δ ϕ , r ] {\displaystyle \delta \mathbf {r} =[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {r} ]} \delta {\mathbf {r}}=[\delta {\mathbf {\phi }},{\mathbf {r}}], δ v = [ δ ϕ , v ] {\displaystyle \delta \mathbf {v} =[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {v} ]} \delta {\mathbf {v}}=[\delta {\mathbf {\phi }},{\mathbf {v}}]
Неизменность лагранжиана означает, что
δ L = ∑ i ( ∂ L ∂ r i δ r i + ∂ L ∂ v i δ v i ) = ∑ i ( p ˙ i δ r i + p i δ v i ) = 0 {\displaystyle \delta L=\sum _{i}\left({\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i}}}\delta \mathbf {r} _{i}+{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {v} _{i}}}\delta \mathbf {v} _{i}\right)=\sum _{i}\left(\mathbf {\dot {p}} _{i}\delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {p} _{i}\delta \mathbf {v} _{i }\right)=0} {\displaystyle \delta L=\sum _{i}\left({\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i}}}\delta \mathbf {r} _{i}+{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {v} _{i}}}\delta \mathbf {v} _{i}\right)=\sum _{i}\left(\mathbf {\dot {p}} _{i}\delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {p} _{i}\delta \mathbf {v} _{i}\right)=0}
Подставляя сюда выражения для изменений радиус-вектора и вектора скорости получаем:
∑ i ( p ˙ i [ δ ϕ , r i ] + p i [ δ ϕ , v i ] ) = δ ϕ ∑ i ( [ r i , p ˙ i ] + [ v i , p i ] ) = δ ϕ ∑ i d [ r i , p i ] d t = 0 {\displaystyle \sum _{i}\left({\dot {\mathbf {p} }}_{i}[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {r} _{i}]+\mathbf {p} _{i}[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {v} _{i}]\right)=\delta \phi \sum _{i}\left([\mathbf {r} _{i},{\dot {\mathbf {p} }}_{i}]+[\mathbf {v} _{i},\mathbf {p} _{i}]\right)=\delta \phi \sum _{i}{\frac {d[\mathbf {r} _{i},\mathbf {p} _{i}]}{dt}}=0} {\displaystyle \sum _{i}\left({\dot {\mathbf {p} }}_{i}[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {r} _{i}]+\mathbf {p} _{i}[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {v} _{i}]\right)=\delta \phi \sum _{i}\left([\mathbf {r} _{i},{\dot {\mathbf {p} }}_{i}]+[\mathbf {v} _{i},\mathbf {p} _{i}]\right)=\delta \phi \sum _{i}{\frac {d[\mathbf {r} _{i},\mathbf {p} _{i}]}{dt}}=0}
Учитывая произвольность вектора поворота окончательно можно записать
d d t ∑ i [ r i , p i ] = 0 {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\sum _{i}[\mathbf {r} _{i},\mathbf {p} _{i}]=0} {\frac {d}{dt}}\sum _{i}[{\mathbf {r}}_{i},{\mathbf {p}}_{i}]=0
Это означает, что векторная величина
M = ∑ i [ r i , p i ] {\displaystyle \mathbf {M} =\sum _{i}[\mathbf {r} _{i},\mathbf {p} _{i}]} {\mathbf {M}}=\sum _{i}[{\mathbf {r}}_{i},{\mathbf {p}}_{i}]
сохраняется. Эта величина и называется моментом импульса или просто моментом.
Вывод уравнений Лагранжа из Ньютоновской механики
Рассмотрим единственную частицу с массой m {\displaystyle m} m и радиус-вектором r {\displaystyle \mathbf {r} } \mathbf {r} . Предполагаем, что силовое поле F {\displaystyle \mathbf {F} } \mathbf {F} , в котором и под действием которого она совершает своё движение, может быть выражено как градиент скалярной функции — потенциальной энергии V ( r , t ) {\displaystyle V(\mathbf {r} ,\;t)} V({\mathbf {r}},\;t) (этому условию удовлетворяют, например, гравитационное и электрическое поле, и не удовлетворяют магнитные поля):
F = − ∇ V . {\displaystyle \mathbf {F} =-\nabla V.} {\mathbf {F}}=-\nabla V.
Такая сила не зависит от производных r {\displaystyle \mathbf {r} } \mathbf {r} , поэтому второй закон Ньютона формирует 3 обыкновенных дифференциальных уравнения второго порядка. Движение частицы может быть полностью описано тремя независимыми переменными, называемых степенями свободы. Очевидный набор переменных — { r j , r j ′ ∣ j = 1 , 2 , 3 } {\displaystyle \{r_{j},\;r'_{j}\mid j=1,\;2,\;3\}} \{r_{j},\;r'_{j}\mid j=1,\;2,\;3\} (декартовы компоненты r {\displaystyle \mathbf {r} } \mathbf {r} в данный момент времени).
Обобщая, мы можем работать с обобщёнными координатами, q j {\displaystyle q_{j}} q_{j}, и их производными, обобщёнными скоростями q j ′ {\displaystyle q'_{j}} q'_{j}. Радиус-вектор r {\displaystyle \mathbf {r} } \mathbf {r} связан с обобщёнными координатами некоторым уравнением преобразования:
r = r ( q i , t ) , i = 1 , … , N , {\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} (q_{i},\;t),\quad i=1,\;\ldots ,\;N,} {\mathbf {r}}={\mathbf {r}}(q_{i},\;t),\quad i=1,\;\ldots ,\;N,
где N {\displaystyle N} N — число степеней свободы системы.
Например, для плоского движения математического маятника длиной l {\displaystyle l} l логичным выбором обобщённой координаты будет угол отклонения θ {\displaystyle \theta } \theta от вертикали подвеса, для которого уравнения преобразования имеют вид
r ( θ , θ ′ , t ) = ( l sin θ , l cos θ ) . {\displaystyle \mathbf {r} (\theta ,\;\theta ',\;t)=(l\sin \theta ,\;l\cos \theta ).} {\mathbf {r}}(\theta ,\;\theta ',\;t)=(l\sin \theta ,\;l\cos \theta ).
Термин обобщённые координаты остался от того периода, когда Декартовы координаты были системой координат по умолчанию.
Рассмотримапапапаппаf {F} } \mathbf {F} , равна δ W = F ⋅ δ r {\displaystyle \delta W=\mathbf {F} \cdot \delta \mathbf {r} } \delta W={\mathbf {F}}\cdot \delta {\mathbf {r}}. Используя второй закон Ньютона, запишем:
m r ¨ ⋅ δ r = F ⋅ δ r . {\displaystyle m\mathbf {\ddot {r}} \cdot \delta \mathbf {r} =\mathbf {F} \cdot \delta \mathbf {r} .} m{\mathbf {{\ddot r}}}\cdot \delta {\mathbf {r}}={\mathbf {F}}\cdot \delta {\mathbf {r}}.
Перепишем это уравнение в терминах обобщённых координат и скоростей. С правой стороны равенства,
F ⋅ δ r = − g r a d V ⋅ ∑ i ∂ r ∂ q i δ q i = − ∑ i , j ∂ V ∂ r j ∂ r j ∂ q i δ q i = − ∑ i ∂ V ∂ q i δ q i . {\displaystyle {\begin{matrix}\mathbf {F} \cdot \delta \mathbf {r} &=&-\mathrm {grad} \,V\cdot \sum \limits _{i}\displaystyle {\partial \mathbf {r} \over \partial q_{i}}\delta q_{i}\\\\&=&-\sum \limits _{i,\;j}\displaystyle {\partial V \over \partial r_{j}}\displaystyle {\partial r_{j} \over \partial q_{i}}\delta q_{i}\\\\&=&-\sum \limits _{i}\displaystyle {\partial V \over \partial q_{i}}\delta q_{i}.\\\end{matrix}}} {\begin{matrix}{\mathbf {F}}\cdot \delta {\mathbf {r}}&=&-{\mathrm {grad}}\,V\cdot \sum \limits _{i}\displaystyle {\partial {\mathbf {r}} \over \partial q_{i}}\delta q_{i}\\\\&=&-\sum \limits _{{i,\;j}}\displaystyle {\partial V \over \partial r_{j}}\displaystyle {\partial r_{j} \over \partial q_{i}}\delt E=\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot q}_{i}}}{\dot {q_{i}}}-L=\sum _{i}p_{i}{\dot {q_{i}}}-L
называемая энергией системы не изменяется со временем. Это sum _{i}[{\mathbf {r}}_{i},{\mathbf {p}}_{i}]=0
Поскольку δ r {\displaystyle \delta \mathbf {r} } \delta {\mathbf {r}} — произвольна, то имеем
∑ i ∂ L ∂ r i = 0 {\displaystyle \sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i}}}=0} {\displaystyle \sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i}}}=0}>>252478167
>Фига бомбануло>>252478167
>>252478163
>>252478134
>>252478135
>>252478100
>>252478082
Двачую, cорта говна
споры о том что раньше было лучше или мы дети 21го века, наc не понимают перекочевали из ирл на двач
>Детектор чини, школотун.
>>252478135
>>Я твой уебанский новояз не понимаю, пиши по-русски.
>>употребляет слово плиз
>Ok, boomer
>>252478082
>Я твой уебанский новояз не понимаю, пиши по-русски.
>>252477809
>пердун, спок.
>>252477756
>Порридж, плиз, борда 18+.
>>252478163
>Пориджи, ну это выглядит как-то совсем уже убого. Хватит. Форс пориджей взлетел, форс вот этот вот что вы сейчас пытаетесь уныло зафорсить нет. Ну всё. Признайте уже свое поражение.
Подставляя данное равенство в уравнения Эйлера-Лагранжа, получим
d d t ( ∑ i ∂ L ∂ r i ˙ ) = 0 {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {r_{i}} }}}}\right)=0} {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {r_{i}} }}}}\right)=0}
Следовательно, выражение в скобках
P = ∑ i ∂ L ∂ v i = ∑ i m i v i {\displaystyle P=\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {v} _{i}}}=\sum _{i}m_{i}\mathbf {v} _{i}} P=\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\mathbf {v}}_{i}}}=\sum _{i}m_{i}{\mathbf {v}}_{i}
являющееся векторной величиной, называемой импульсом, сохраняется во времени. Это закон сохранения импульса.
Закон сохранения импульса системы частиц может быть сформулирован как равномерность и прямолинейность движения центра тяжести системы.
Закон сохранения момента импульса
Изотропность пространства означает инвариантность лагранжиана замкнутой механической системы относительно поворотов. Если определить по правилу винта вектор бесконечно малого поворота δ ϕ {\displaystyle \delta \mathbf {\phi } } \delta {\mathbf {\phi }}, то изменения радиус-вектора и вектора скорости будут равны векторным произведения вектора поворота на радиус вектор или вектор скорости соответственно:
δ r = [ δ ϕ , r ] {\displaystyle \delta \mathbf {r} =[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {r} ]} \delta {\mathbf {r}}=[\delta {\mathbf {\phi }},{\mathbf {r}}], δ v = [ δ ϕ , v ] {\displaystyle \delta \mathbf {v} =[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {v} ]} \delta {\mathbf {v}}=[\delta {\mathbf {\phi }},{\mathbf {v}}]
Неизменность лагранжиана означает, что
δ L = ∑ i ( ∂ L ∂ r i δ r i + ∂ L ∂ v i δ v i ) = ∑ i ( p ˙ i δ r i + p i δ v i ) = 0 {\displaystyle \delta L=\sum _{i}\left({\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i}}}\delta \mathbf {r} _{i}+{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {v} _{i}}}\delta \mathbf {v} _{i}\right)=\sum _{i}\left(\mathbf {\dot {p}} _{i}\delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {p} _{i}\delta \mathbf {v} _{i}\right)=0} {\displaystyle \delta L=\sum _{i}\left({\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i}}}\delta \mathbf {r} _{i}+{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {v} _{i}}}\delta \mathbf {v} _{i}\right)=\sum _{i}\left(\mathbf {\dot {p}} _{i}\delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {p} _{i}\delta \mathbf {v} _{i}\right)=0}
Подставляя сюда выражения для изменений радиус-вектора и вектора скорости получаем:
∑ i ( p ˙ i [ δ ϕ , r i ] + p i [ δ ϕ , v i ] ) = δ ϕ ∑ i ( [ r i , p ˙ i ] + [ v i , p i ] ) = δ ϕ ∑ i d [ r i , p i ] d t = 0 {\displaystyle \sum _{i}\left({\dot {\mathbf {p} }}_{i}[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {r} _{i}]+\mathbf {p} _{i}[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {v} _{i}]\right)=\delta \phi \sum _{i}\left([\mathbf {r} _{i},{\dot {\mathbf {p} }}_{i}]+[\mathbf {v} _{i},\mathbf {p} _{i}]\right)=\delta \phi \sum _{i}{\frac {d[\mathbf {r} _{i},\mathbf {p} _{i}]}{dt}}=0} {\displaystyle \sum _{i}\left({\dot {\mathbf {p} }}_{i}[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {r} _{i}]+\mathbf {p} _{i}[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {v} _{i}]\right)=\delta \phi \sum _{i}\left([\mathbf {r} _{i},{\dot {\mathbf {p} }}_{i}]+[\mathbf {v} _{i},\mathbf {p} _{i}]\right)=\delta \phi \sum _{i}{\frac {d[\mathbf {r} _{i},\mathbf {p} _{i}]}{dt}}=0}
Учитывая произвольность вектора поворота окончательно можно записать
d d t ∑ i [ r i , p i ] = 0 {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\sum _{i}[\mathbf {r} _{i},\mathbf {p} _{i}]=0} {\frac {d}{dt}}\sum _{i}[{\mathbf {r}}_{i},{\mathbf {p}}_{i}]=0
Это означает, что векторная величина
M = ∑ i [ r i , p i ] {\displaystyle \mathbf {M} =\sum _{i}[\mathbf {r} _{i},\mathbf {p} _{i}]} {\mathbf {M}}=\sum _{i}[{\mathbf {r}}_{i},{\mathbf {p}}_{i}]
сохраняется. Эта величина и называется моментом импульса или просто моментом.
Вывод уравнений Лагранжа из Ньютоновской механики
Рассмотрим единственную частицу с массой m {\displaystyle m} m и радиус-вектором r {\displaystyle \mathbf {r} } \mathbf {r} . Предполагаем, что силовое поле F {\displaystyle \mathbf {F} } \mathbf {F} , в котором и под действием которого она совершает своё движение, может быть выражено как градиент скалярной функции — потенциальной энергии V ( r , t ) {\displaystyle V(\mathbf {r} ,\;t)} V({\mathbf {r}},\;t) (этому условию удовлетворяют, например, гравитационное и электрическое поле, и не удовлетворяют магнитные поля):
F = − ∇ V . {\displaystyle \mathbf {F} =-\nabla V.} {\mathbf {F}}=-\nabla V.
Такая сила не зависит от производных r {\displaystyle \mathbf {r} } \mathbf {r} , поэтому второй закон Ньютона формирует 3 обыкновенных дифференциальных уравнения второго порядка. Движение частицы может быть полностью описано тремя независимыми переменными, называемых степенями свободы. Очевидный набор переменных — { r j , r j ′ ∣ j = 1 , 2 , 3 } {\displaystyle \{r_{j},\;r'_{j}\mid j=1,\;2,\;3\}} \{r_{j},\;r'_{j}\mid j=1,\;2,\;3\} (декартовы компоненты r {\displaystyle \mathbf {r} } \mathbf {r} в данный момент времени).
Обобщая, мы можем работать с обобщёнными координатами, q j {\displaystyle q_{j}} q_{j}, и их производными, обобщёнными скоростями q j ′ {\displaystyle q'_{j}} q'_{j}. Радиус-вектор r {\displaystyle \mathbf {r} } \mathbf {r} связан с обобщёнными координатами некоторым уравнением преобразования:
r = r ( q i , t ) , i = 1 , … , N , {\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} (q_{i},\;t),\quad i=1,\;\ldots ,\;N,} {\mathbf {r}}={\mathbf {r}}(q_{i},\;t),\quad i=1,\;\ldots ,\;N,
где N {\displaystyle N} N — число степеней свободы системы.
Например, для плоского движения математического маятника длиной l {\displaystyle l} l логичным выбором обобщённой координаты будет угол отклонения θ {\displaystyle \theta } \theta от вертикали подвеса, для которого уравнения преобразования имеют вид
r ( θ , θ ′ , t ) = ( l sin θ , l cos θ ) . {\displaystyle \mathbf {r} (\theta ,\;\theta ',\;t)=(l\sin \theta ,\;l\cos \theta ).} {\mathbf {r}}(\theta ,\;\theta ',\;t)=(l\sin \theta ,\;l\cos \theta ).
Термин обобщённые координаты остался от того периода, когда Декартовы координаты были системой координат по умолчанию.
Рассмотримапапапаппаf {F} } \mathbf {F} , равна δ W = F ⋅ δ r {\displaystyle \delta W=\mathbf {F} \cdot \delta \mathbf {r} } \delta W={\mathbf {F}}\cdot \delta {\mathbf {r}}. Используя второй закон Ньютона, запишем:
m r ¨ ⋅ δ r = F ⋅ δ r . {\displaystyle m\mathbf {\ddot {r}} \cdot \delta \mathbf {r} =\mathbf {F} \cdot \delta \mathbf {r} .} m{\mathbf {{\ddot r}}}\cdot \delta {\mathbf {r}}={\mathbf {F}}\cdot \delta {\mathbf {r}}.
Перепишем это уравнение в терминах обобщённых координат и скоростей. С правой стороны равенства,
F ⋅ δ r = − g r a d V ⋅ ∑ i ∂ r ∂ q i δ q i = − ∑ i , j ∂ V ∂ r j ∂ r j ∂ q i δ q i = − ∑ i ∂ V ∂ q i δ q i . {\displaystyle {\begin{matrix}\mathbf {F} \cdot \delta \mathbf {r} &=&-\mathrm {grad} \,V\cdot \sum \limits _{i}\displaystyle {\partial \mathbf {r} \over \partial q_{i}}\delta q_{i}\\\\&=&-\sum \limits _{i,\;j}\displaystyle {\partial V \over \partial r_{j}}\displaystyle {\partial r_{j} \over \partial q_{i}}\delta q_{i}\\\\&=&-\sum \limits _{i}\displaystyle {\partial V \over \partial q_{i}}\delta q_{i}.\\\end{matrix}}} {\begin{matrix}{\mathbf {F}}\cdot \delta {\mathbf {r}}&=&-{\mathrm {grad}}\,V\cdot \sum \limits _{i}\displaystyle {\partial {\mathbf {r}} \over \partial q_{i}}\delta q_{i}\\\\&=&-\sum \limits _{{i,\;j}}\displaystyle {\partial V \over \partial r_{j}}\displaystyle {\partial r_{j} \over \partial q_{i}}\delt E=\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot q}_{i}}}{\dot {q_{i}}}-L=\sum _{i}p_{i}{\dot {q_{i}}}-L
называемая энергией системы не изменяется со временем. Это sum _{i}[{\mathbf {r}}_{i},{\mathbf {p}}_{i}]=0
Поскольку δ r {\displaystyle \delta \mathbf {r} } \delta {\mathbf {r}} — произвольна, то имеем
∑ i ∂ L ∂ r i = 0 {\displaystyle \sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i}}}=0} {\displaystyle \sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i}}}=0}>>252478167
>Фига бомбануло>>252478167
>>252478163
>>252478134
>>252478135
>>252478100
>>252478082
>>252478393
>>252478252
>Детектор чини, школотун.
>>252478135
>>Я твой уебанский новояз не понимаю, пиши по-русски.
>>употребляет слово плиз
>Ok, boomer
>>252478082
>Я твой уебанский новояз не понимаю, пиши по-русски.
>>252477809
>пердун, спок.
>>252477756
>Порридж, плиз, борда 18+.
>>252478163
>Пориджи, ну это выглядит как-то совсем уже убого. Хватит. Форс пориджей взлетел, форс вот этот вот что вы сейчас пытаетесь уныло зафорсить нет. Ну всё. Признайте уже свое поражение.
Подставляя данное равенство в уравнения Эйлера-Лагранжа, получим
d d t ( ∑ i ∂ L ∂ r i ˙ ) = 0 {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {r_{i}} }}}}\right)=0} {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {r_{i}} }}}}\right)=0}
Следовательно, выражение в скобках
P = ∑ i ∂ L ∂ v i = ∑ i m i v i {\displaystyle P=\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {v} _{i}}}=\sum _{i}m_{i}\mathbf {v} _{i}} P=\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\mathbf {v}}_{i}}}=\sum _{i}m_{i}{\mathbf {v}}_{i}
являющееся векторной величиной, называемой импульсом, сохраняется во времени. Это закон сохранения импульса.
Закон сохранения импульса системы частиц может быть сформулирован как равномерность и прямолинейность движения центра тяжести системы.
Закон сохранения момента импульса
Изотропность пространства означает инвариантность лагранжиана замкнутой механической системы относительно поворотов. Если определить по правилу винта вектор бесконечно малого поворота δ ϕ {\displaystyle \delta \mathbf {\phi } } \delta {\mathbf {\phi }}, то изменения радиус-вектора и вектора скорости будут равны векторным произведения вектора поворота на радиус вектор или вектор скорости соответственно:
δ r = [ δ ϕ , r ] {\displaystyle \delta \mathbf {r} =[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {r} ]} \delta {\mathbf {r}}=[\delta {\mathbf {\phi }},{\mathbf {r}}], δ v = [ δ ϕ , v ] {\displaystyle \delta \mathbf {v} =[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {v} ]} \delta {\mathbf {v}}=[\delta {\mathbf {\phi }},{\mathbf {v}}]
Неизменность лагранжиана означает, что
δ L = ∑ i ( ∂ L ∂ r i δ r i + ∂ L ∂ v i δ v i ) = ∑ i ( p ˙ i δ r i + p i δ v i ) = 0 {\displaystyle \delta L=\sum _{i}\left({\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i}}}\delta \mathbf {r} _{i}+{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {v} _{i}}}\delta \mathbf {v} _{i}\right)=\sum _{i}\left(\mathbf {\dot {p}} _{i}\delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {p} _{i}\delta \mathbf {v} _{i}\right)=0} {\displaystyle \delta L=\sum _{i}\left({\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i}}}\delta \mathbf {r} _{i}+{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {v} _{i}}}\delta \mathbf {v} _{i}\right)=\sum _{i}\left(\mathbf {\dot {p}} _{i}\delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {p} _{i}\delta \mathbf {v} _{i}\right)=0}
Подставляя сюда выражения для изменений радиус-вектора и вектора скорости получаем:
∑ i ( p ˙ i [ δ ϕ , r i ] + p i [ δ ϕ , v i ] ) = δ ϕ ∑ i ( [ r i , p ˙ i ] + [ v i , p i ] ) = δ ϕ ∑ i d [ r i , p i ] d t = 0 {\displaystyle \sum _{i}\left({\dot {\mathbf {p} }}_{i}[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {r} _{i}]+\mathbf {p} _{i}[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {v} _{i}]\right)=\delta \phi \sum _{i}\left([\mathbf {r} _{i},{\dot {\mathbf {p} }}_{i}]+[\mathbf {v} _{i},\mathbf {p} _{i}]\right)=\delta \phi \sum _{i}{\frac {d[\mathbf {r} _{i},\mathbf {p} _{i}]}{dt}}=0} {\displaystyle \sum _{i}\left({\dot {\mathbf {p} }}_{i}[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {r} _{i}]+\mathbf {p} _{i}[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {v} _{i}]\right)=\delta \phi \sum _{i}\left([\mathbf {r} _{i},{\dot {\mathbf {p} }}_{i}]+[\mathbf {v} _{i},\mathbf {p} _{i}]\right)=\delta \phi \sum _{i}{\frac {d[\mathbf {r} _{i},\mathbf {p} _{i}]}{dt}}=0}
Учитывая произвольность вектора поворота окончательно можно записать
d d t ∑ i [ r i , p i ] = 0 {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\sum _{i}[\mathbf {r} _{i},\mathbf {p} _{i}]=0} {\frac {d}{dt}}\sum _{i}[{\mathbf {r}}_{i},{\mathbf {p}}_{i}]=0
Это означает, что векторная величина
M = ∑ i [ r i , p i ] {\displaystyle \mathbf {M} =\sum _{i}[\mathbf {r} _{i},\mathbf {p} _{i}]} {\mathbf {M}}=\sum _{i}[{\mathbf {r}}_{i},{\mathbf {p}}_{i}]
сохраняется. Эта величина и называется моментом импульса или просто моментом.
Вывод уравнений Лагранжа из Ньютоновской механики
Рассмотрим единственную частицу с массой m {\displaystyle m} m и радиус-вектором r {\displaystyle \mathbf {r} } \mathbf {r} . Предполагаем, что силовое поле F {\displaystyle \mathbf {F} } \mathbf {F} , в котором и под действием которого она совершает своё движение, может быть выражено как градиент скалярной функции — потенциальной энергии V ( r , t ) {\displaystyle V(\mathbf {r} ,\;t)} V({\mathbf {r}},\;t) (этому условию удовлетворяют, например, гравитационное и электрическое поле, и не удовлетворяют магнитные поля):
F = − ∇ V . {\displaystyle \mathbf {F} =-\nabla V.} {\mathbf {F}}=-\nabla V.
Такая сила не зависит от производных r {\displaystyle \mathbf {r} } \mathbf {r} , поэтому второй закон Ньютона формирует 3 обыкновенных дифференциальных уравнения второго порядка. Движение частицы может быть полностью описано тремя независимыми переменными, называемых степенями свободы. Очевидный набор переменных — { r j , r j ′ ∣ j = 1 , 2 , 3 } {\displaystyle \{r_{j},\;r'_{j}\mid j=1,\;2,\;3\}} \{r_{j},\;r'_{j}\mid j=1,\;2,\;3\} (декартовы компоненты r {\displaystyle \mathbf {r} } \mathbf {r} в данный момент времени).
Обобщая, мы можем работать с обобщёнными координатами, q j {\displaystyle q_{j}} q_{j}, и их производными, обобщёнными скоростями q j ′ {\displaystyle q'_{j}} q'_{j}. Радиус-вектор r {\displaystyle \mathbf {r} } \mathbf {r} связан с обобщёнными координатами некоторым уравнением преобразования:
r = r ( q i , t ) , i = 1 , … , N , {\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} (q_{i},\;t),\quad i=1,\;\ldots ,\;N,} {\mathbf {r}}={\mathbf {r}}(q_{i},\;t),\quad i=1,\;\ldots ,\;N,
где N {\displaystyle N} N — число степеней свободы системы.
Например, для плоского движения математического маятника длиной l {\displaystyle l} l логичным выбором обобщённой координаты будет угол отклонения θ {\displaystyle \theta } \theta от вертикали подвеса, для которого уравнения преобразования имеют вид
r ( θ , θ ′ , t ) = ( l sin θ , l cos θ ) . {\displaystyle \mathbf {r} (\theta ,\;\theta ',\;t)=(l\sin \theta ,\;l\cos \theta ).} {\mathbf {r}}(\theta ,\;\theta ',\;t)=(l\sin \theta ,\;l\cos \theta ).
Термин обобщённые координаты остался от того периода, когда Декартовы координаты были системой координат по умолчанию.
Рассмотримапапапаппаf {F} } \mathbf {F} , равна δ W = F ⋅ δ r {\displaystyle \delta W=\mathbf {F} \cdot \delta \mathbf {r} } \delta W={\mathbf {F}}\cdot \delta {\mathbf {r}}. Используя второй закон Ньютона, запишем:
m r ¨ ⋅ δ r = F ⋅ δ r . {\displaystyle m\mathbf {\ddot {r}} \cdot \delta \mathbf {r} =\mathbf {F} \cdot \delta \mathbf {r} .} m{\mathbf {{\ddot r}}}\cdot \delta {\mathbf {r}}={\mathbf {F}}\cdot \delta {\mathbf {r}}.
Перепишем это уравнение в терминах обобщённых координат и скоростей. С правой стороны равенства,
F ⋅ δ r = − g r a d V ⋅ ∑ i ∂ r ∂ q i δ q i = − ∑ i , j ∂ V ∂ r j ∂ r j ∂ q i δ q i = − ∑ i ∂ V ∂ q i δ q i . {\displaystyle {\begin{matrix}\mathbf {F} \cdot \delta \mathbf {r} &=&-\mathrm {grad} \,V\cdot \sum \limits _{i}\displaystyle {\partial \mathbf {r} \over \partial q_{i}}\delta q_{i}\\\\&=&-\sum \limits _{i,\;j}\displaystyle {\partial V \over \partial r_{j}}\displaystyle {\partial r_{j} \over \partial q_{i}}\delta q_{i}\\\\&=&-\sum \limits _{i}\displaystyle {\partial V \over \partial q_{i}}\delta q_{i}.\\\end{matrix}}} {\begin{matrix}{\mathbf {F}}\cdot \delta {\mathbf {r}}&=&-{\mathrm {grad}}\,V\cdot \sum \limits _{i}\displaystyle {\partial {\mathbf {r}} \over \partial q_{i}}\delta q_{i}\\\\&=&-\sum \limits _{{i,\;j}}\displaystyle {\partial V \over \partial r_{j}}\displaystyle {\partial r_{j} \over \partial q_{i}}\delt E=\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot q}_{i}}}{\dot {q_{i}}}-L=\sum _{i}p_{i}{\dot {q_{i}}}-L
называемая энергией системы не изменяется со временем. Это sum _{i}[{\mathbf {r}}_{i},{\mathbf {p}}_{i}]=0
Поскольку δ r {\displaystyle \delta \mathbf {r} } \delta {\mathbf {r}} — произвольна, то имеем
∑ i ∂ L ∂ r i = 0 {\displaystyle \sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i}}}=0} {\displaystyle \sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i}}}=0}>>252478167
>Фига бомбануло>>252478167
>>252478163
>>252478134
>>252478135
>>252478100
>>252478082
Пиздец этот поридж сгорел
проиграл с бумерка
Сам увидишь, мелкобуковка.
На то, что тред вайпает какой-то пердун ты не обращаешь внимание?)
мне 25 и всякие ебаные отвратииельные слова вроде
>краш
>сасный
и прочее говно блевотное мне не нравится, посколько они поуебански звучат
>>252478252
>Детектор чини, школотун.
>>252478135
>>Я твой уебанский новояз не понимаю, пиши по-русски.
>>употребляет слово плиз
>Ok, boomer
>>252478082
>Я твой уебанский новояз не понимаю, пиши по-русски.
>>252477809
>пердун, спок.
>>252477756
>Порридж, плиз, борда 18+.
>>252478163
>Пориджи, ну это выглядит как-то совсем уже убого. Хватит. Форс пориджей взлетел, форс вот этот вот что вы сейчас пытаетесь уныло зафорсить нет. Ну всё. Признайте уже свое поражение.
Подставляя данное равенство в уравнения Эйлера-Лагранжа, получим
d d t ( ∑ i ∂ L ∂ r i ˙ ) = 0 {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {r_{i}} }}}}\right)=0} {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {r_{i}} }}}}\right)=0}
Следовательно, выражение в скобках
P = ∑ i ∂ L ∂ v i = ∑ i m i v i {\displaystyle P=\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {v} _{i}}}=\sum _{i}m_{i}\mathbf {v} _{i}} P=\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\mathbf {v}}_{i}}}=\sum _{i}m_{i}{\mathbf {v}}_{i}
являющееся векторной величиной, называемой импульсом, сохраняется во времени. Это закон сохранения импульса.
Закон сохранения импульса системы частиц может быть сформулирован как равномерность и прямолинейность движения центра тяжести системы.
Закон сохранения момента импульса
Изотропность пространства означает инвариантность лагранжиана замкнутой механической системы относительно поворотов. Если определить по правилу винта вектор бесконечно малого поворота δ ϕ {\displaystyle \delta \mathbf {\phi } } \delta {\mathbf {\phi }}, то изменения радиус-вектора и вектора скорости будут равны векторным произведения вектора поворота на радиус вектор или вектор скорости соответственно:
δ r = [ δ ϕ , r ] {\displaystyle \delta \mathbf {r} =[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {r} ]} \delta {\mathbf {r}}=[\delta {\mathbf {\phi }},{\mathbf {r}}], δ v = [ δ ϕ , v ] {\displaystyle \delta \mathbf {v} =[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {v} ]} \delta {\mathbf {v}}=[\delta {\mathbf {\phi }},{\mathbf {v}}]
Неизменность лагранжиана означает, что
δ L = ∑ i ( ∂ L ∂ r i δ r i + ∂ L ∂ v i δ v i ) = ∑ i ( p ˙ i δ r i + p i δ v i ) = 0 {\displaystyle \delta L=\sum _{i}\left({\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i}}}\delta \mathbf {r} _{i}+{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {v} _{i}}}\delta \mathbf {v} _{i}\right)=\sum _{i}\left(\mathbf {\dot {p}} _{i}\delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {p} _{i}\delta \mathbf {v} _{i}\right)=0} {\displaystyle \delta L=\sum _{i}\left({\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i}}}\delta \mathbf {r} _{i}+{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {v} _{i}}}\delta \mathbf {v} _{i}\right)=\sum _{i}\left(\mathbf {\dot {p}} _{i}\delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {p} _{i}\delta \mathbf {v} _{i}\right)=0}
Подставляя сюда выражения для изменений радиус-вектора и вектора скорости получаем:
∑ i ( p ˙ i [ δ ϕ , r i ] + p i [ δ ϕ , v i ] ) = δ ϕ ∑ i ( [ r i , p ˙ i ] + [ v i , p i ] ) = δ ϕ ∑ i d [ r i , p i ] d t = 0 {\displaystyle \sum _{i}\left({\dot {\mathbf {p} }}_{i}[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {r} _{i}]+\mathbf {p} _{i}[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {v} _{i}]\right)=\delta \phi \sum _{i}\left([\mathbf {r} _{i},{\dot {\mathbf {p} }}_{i}]+[\mathbf {v} _{i},\mathbf {p} _{i}]\right)=\delta \phi \sum _{i}{\frac {d[\mathbf {r} _{i},\mathbf {p} _{i}]}{dt}}=0} {\displaystyle \sum _{i}\left({\dot {\mathbf {p} }}_{i}[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {r} _{i}]+\mathbf {p} _{i}[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {v} _{i}]\right)=\delta \phi \sum _{i}\left([\mathbf {r} _{i},{\dot {\mathbf {p} }}_{i}]+[\mathbf {v} _{i},\mathbf {p} _{i}]\right)=\delta \phi \sum _{i}{\frac {d[\mathbf {r} _{i},\mathbf {p} _{i}]}{dt}}=0}
Учитывая произвольность вектора поворота окончательно можно записать
d d t ∑ i [ r i , p i ] = 0 {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\sum _{i}[\mathbf {r} _{i},\mathbf {p} _{i}]=0} {\frac {d}{dt}}\sum _{i}[{\mathbf {r}}_{i},{\mathbf {p}}_{i}]=0
Это означает, что векторная величина
M = ∑ i [ r i , p i ] {\displaystyle \mathbf {M} =\sum _{i}[\mathbf {r} _{i},\mathbf {p} _{i}]} {\mathbf {M}}=\sum _{i}[{\mathbf {r}}_{i},{\mathbf {p}}_{i}]
сохраняется. Эта величина и называется моментом импульса или просто моментом.
Вывод уравнений Лагранжа из Ньютоновской механики
Рассмотрим единственную частицу с массой m {\displaystyle m} m и радиус-вектором r {\displaystyle \mathbf {r} } \mathbf {r} . Предполагаем, что силовое поле F {\displaystyle \mathbf {F} } \mathbf {F} , в котором и под действием которого она совершает своё движение, может быть выражено как градиент скалярной функции — потенциальной энергии V ( r , t ) {\displaystyle V(\mathbf {r} ,\;t)} V({\mathbf {r}},\;t) (этому условию удовлетворяют, например, гравитационное и электрическое поле, и не удовлетворяют магнитные поля):
F = − ∇ V . {\displaystyle \mathbf {F} =-\nabla V.} {\mathbf {F}}=-\nabla V.
Такая сила не зависит от производных r {\displaystyle \mathbf {r} } \mathbf {r} , поэтому второй закон Ньютона формирует 3 обыкновенных дифференциальных уравнения второго порядка. Движение частицы может быть полностью описано тремя независимыми переменными, называемых степенями свободы. Очевидный набор переменных — { r j , r j ′ ∣ j = 1 , 2 , 3 } {\displaystyle \{r_{j},\;r'_{j}\mid j=1,\;2,\;3\}} \{r_{j},\;r'_{j}\mid j=1,\;2,\;3\} (декартовы компоненты r {\displaystyle \mathbf {r} } \mathbf {r} в данный момент времени).
Обобщая, мы можем работать с обобщёнными координатами, q j {\displaystyle q_{j}} q_{j}, и их производными, обобщёнными скоростями q j ′ {\displaystyle q'_{j}} q'_{j}. Радиус-вектор r {\displaystyle \mathbf {r} } \mathbf {r} связан с обобщёнными координатами некоторым уравнением преобразования:
r = r ( q i , t ) , i = 1 , … , N , {\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} (q_{i},\;t),\quad i=1,\;\ldots ,\;N,} {\mathbf {r}}={\mathbf {r}}(q_{i},\;t),\quad i=1,\;\ldots ,\;N,
где N {\displaystyle N} N — число степеней свободы системы.
Например, для плоского движения математического маятника длиной l {\displaystyle l} l логичным выбором обобщённой координаты будет угол отклонения θ {\displaystyle \theta } \theta от вертикали подвеса, для которого уравнения преобразования имеют вид
r ( θ , θ ′ , t ) = ( l sin θ , l cos θ ) . {\displaystyle \mathbf {r} (\theta ,\;\theta ',\;t)=(l\sin \theta ,\;l\cos \theta ).} {\mathbf {r}}(\theta ,\;\theta ',\;t)=(l\sin \theta ,\;l\cos \theta ).
Термин обобщённые координаты остался от того периода, когда Декартовы координаты были системой координат по умолчанию.
Рассмотримапапапаппаf {F} } \mathbf {F} , равна δ W = F ⋅ δ r {\displaystyle \delta W=\mathbf {F} \cdot \delta \mathbf {r} } \delta W={\mathbf {F}}\cdot \delta {\mathbf {r}}. Используя второй закон Ньютона, запишем:
m r ¨ ⋅ δ r = F ⋅ δ r . {\displaystyle m\mathbf {\ddot {r}} \cdot \delta \mathbf {r} =\mathbf {F} \cdot \delta \mathbf {r} .} m{\mathbf {{\ddot r}}}\cdot \delta {\mathbf {r}}={\mathbf {F}}\cdot \delta {\mathbf {r}}.
Перепишем это уравнение в терминах обобщённых координат и скоростей. С правой стороны равенства,
F ⋅ δ r = − g r a d V ⋅ ∑ i ∂ r ∂ q i δ q i = − ∑ i , j ∂ V ∂ r j ∂ r j ∂ q i δ q i = − ∑ i ∂ V ∂ q i δ q i . {\displaystyle {\begin{matrix}\mathbf {F} \cdot \delta \mathbf {r} &=&-\mathrm {grad} \,V\cdot \sum \limits _{i}\displaystyle {\partial \mathbf {r} \over \partial q_{i}}\delta q_{i}\\\\&=&-\sum \limits _{i,\;j}\displaystyle {\partial V \over \partial r_{j}}\displaystyle {\partial r_{j} \over \partial q_{i}}\delta q_{i}\\\\&=&-\sum \limits _{i}\displaystyle {\partial V \over \partial q_{i}}\delta q_{i}.\\\end{matrix}}} {\begin{matrix}{\mathbf {F}}\cdot \delta {\mathbf {r}}&=&-{\mathrm {grad}}\,V\cdot \sum \limits _{i}\displaystyle {\partial {\mathbf {r}} \over \partial q_{i}}\delta q_{i}\\\\&=&-\sum \limits _{{i,\;j}}\displaystyle {\partial V \over \partial r_{j}}\displaystyle {\partial r_{j} \over \partial q_{i}}\delt E=\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot q}_{i}}}{\dot {q_{i}}}-L=\sum _{i}p_{i}{\dot {q_{i}}}-L
называемая энергией системы не изменяется со временем. Это sum _{i}[{\mathbf {r}}_{i},{\mathbf {p}}_{i}]=0
Поскольку δ r {\displaystyle \delta \mathbf {r} } \delta {\mathbf {r}} — произвольна, то имеем
∑ i ∂ L ∂ r i = 0 {\displaystyle \sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i}}}=0} {\displaystyle \sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i}}}=0}>>252478167
>Фига бомбануло>>252478167
>>252478163
>>252478134
>>252478135
>>252478100
>>252478082
>Двачую, cорта говна
>споры о том что раньше было лучше или мы дети 21го века, наc не понимают перекочевали из ирл на двач
>>252478252
>Детектор чини, школотун.
>>252478135
>>Я твой уебанский новояз не понимаю, пиши по-русски.
>>употребляет слово плиз
>Ok, boomer
>>252478082
>Я твой уебанский новояз не понимаю, пиши по-русски.
>>252477809
>пердун, спок.
>>252477756
>Порридж, плиз, борда 18+.
>>252478163
>Пориджи, ну это выглядит как-то совсем уже убого. Хватит. Форс пориджей взлетел, форс вот этот вот что вы сейчас пытаетесь уныло зафорсить нет. Ну всё. Признайте уже свое поражение.
Подставляя данное равенство в уравнения Эйлера-Лагранжа, получим
d d t ( ∑ i ∂ L ∂ r i ˙ ) = 0 {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {r_{i}} }}}}\right)=0} {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {r_{i}} }}}}\right)=0}
Следовательно, выражение в скобках
P = ∑ i ∂ L ∂ v i = ∑ i m i v i {\displaystyle P=\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {v} _{i}}}=\sum _{i}m_{i}\mathbf {v} _{i}} P=\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\mathbf {v}}_{i}}}=\sum _{i}m_{i}{\mathbf {v}}_{i}
являющееся векторной величиной, называемой импульсом, сохраняется во времени. Это закон сохранения импульса.
Закон сохранения импульса системы частиц может быть сформулирован как равномерность и прямолинейность движения центра тяжести системы.
Закон сохранения момента импульса
Изотропность пространства означает инвариантность лагранжиана замкнутой механической системы относительно поворотов. Если определить по правилу винта вектор бесконечно малого поворота δ ϕ {\displaystyle \delta \mathbf {\phi } } \delta {\mathbf {\phi }}, то изменения радиус-вектора и вектора скорости будут равны векторным произведения вектора поворота на радиус вектор или вектор скорости соответственно:
δ r = [ δ ϕ , r ] {\displaystyle \delta \mathbf {r} =[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {r} ]} \delta {\mathbf {r}}=[\delta {\mathbf {\phi }},{\mathbf {r}}], δ v = [ δ ϕ , v ] {\displaystyle \delta \mathbf {v} =[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {v} ]} \delta {\mathbf {v}}=[\delta {\mathbf {\phi }},{\mathbf {v}}]
Неизменность лагранжиана означает, что
δ L = ∑ i ( ∂ L ∂ r i δ r i + ∂ L ∂ v i δ v i ) = ∑ i ( p ˙ i δ r i + p i δ v i ) = 0 {\displaystyle \delta L=\sum _{i}\left({\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i}}}\delta \mathbf {r} _{i}+{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {v} _{i}}}\delta \mathbf {v} _{i}\right)=\sum _{i}\left(\mathbf {\dot {p}} _{i}\delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {p} _{i}\delta \mathbf {v} _{i}\right)=0} {\displaystyle \delta L=\sum _{i}\left({\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i}}}\delta \mathbf {r} _{i}+{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {v} _{i}}}\delta \mathbf {v} _{i}\right)=\sum _{i}\left(\mathbf {\dot {p}} _{i}\delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {p} _{i}\delta \mathbf {v} _{i}\right)=0}
Подставляя сюда выражения для изменений радиус-вектора и вектора скорости получаем:
∑ i ( p ˙ i [ δ ϕ , r i ] + p i [ δ ϕ , v i ] ) = δ ϕ ∑ i ( [ r i , p ˙ i ] + [ v i , p i ] ) = δ ϕ ∑ i d [ r i , p i ] d t = 0 {\displaystyle \sum _{i}\left({\dot {\mathbf {p} }}_{i}[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {r} _{i}]+\mathbf {p} _{i}[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {v} _{i}]\right)=\delta \phi \sum _{i}\left([\mathbf {r} _{i},{\dot {\mathbf {p} }}_{i}]+[\mathbf {v} _{i},\mathbf {p} _{i}]\right)=\delta \phi \sum _{i}{\frac {d[\mathbf {r} _{i},\mathbf {p} _{i}]}{dt}}=0} {\displaystyle \sum _{i}\left({\dot {\mathbf {p} }}_{i}[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {r} _{i}]+\mathbf {p} _{i}[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {v} _{i}]\right)=\delta \phi \sum _{i}\left([\mathbf {r} _{i},{\dot {\mathbf {p} }}_{i}]+[\mathbf {v} _{i},\mathbf {p} _{i}]\right)=\delta \phi \sum _{i}{\frac {d[\mathbf {r} _{i},\mathbf {p} _{i}]}{dt}}=0}
Учитывая произвольность вектора поворота окончательно можно записать
d d t ∑ i [ r i , p i ] = 0 {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\sum _{i}[\mathbf {r} _{i},\mathbf {p} _{i}]=0} {\frac {d}{dt}}\sum _{i}[{\mathbf {r}}_{i},{\mathbf {p}}_{i}]=0
Это означает, что векторная величина
M = ∑ i [ r i , p i ] {\displaystyle \mathbf {M} =\sum _{i}[\mathbf {r} _{i},\mathbf {p} _{i}]} {\mathbf {M}}=\sum _{i}[{\mathbf {r}}_{i},{\mathbf {p}}_{i}]
сохраняется. Эта величина и называется моментом импульса или просто моментом.
Вывод уравнений Лагранжа из Ньютоновской механики
Рассмотрим единственную частицу с массой m {\displaystyle m} m и радиус-вектором r {\displaystyle \mathbf {r} } \mathbf {r} . Предполагаем, что силовое поле F {\displaystyle \mathbf {F} } \mathbf {F} , в котором и под действием которого она совершает своё движение, может быть выражено как градиент скалярной функции — потенциальной энергии V ( r , t ) {\displaystyle V(\mathbf {r} ,\;t)} V({\mathbf {r}},\;t) (этому условию удовлетворяют, например, гравитационное и электрическое поле, и не удовлетворяют магнитные поля):
F = − ∇ V . {\displaystyle \mathbf {F} =-\nabla V.} {\mathbf {F}}=-\nabla V.
Такая сила не зависит от производных r {\displaystyle \mathbf {r} } \mathbf {r} , поэтому второй закон Ньютона формирует 3 обыкновенных дифференциальных уравнения второго порядка. Движение частицы может быть полностью описано тремя независимыми переменными, называемых степенями свободы. Очевидный набор переменных — { r j , r j ′ ∣ j = 1 , 2 , 3 } {\displaystyle \{r_{j},\;r'_{j}\mid j=1,\;2,\;3\}} \{r_{j},\;r'_{j}\mid j=1,\;2,\;3\} (декартовы компоненты r {\displaystyle \mathbf {r} } \mathbf {r} в данный момент времени).
Обобщая, мы можем работать с обобщёнными координатами, q j {\displaystyle q_{j}} q_{j}, и их производными, обобщёнными скоростями q j ′ {\displaystyle q'_{j}} q'_{j}. Радиус-вектор r {\displaystyle \mathbf {r} } \mathbf {r} связан с обобщёнными координатами некоторым уравнением преобразования:
r = r ( q i , t ) , i = 1 , … , N , {\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} (q_{i},\;t),\quad i=1,\;\ldots ,\;N,} {\mathbf {r}}={\mathbf {r}}(q_{i},\;t),\quad i=1,\;\ldots ,\;N,
где N {\displaystyle N} N — число степеней свободы системы.
Например, для плоского движения математического маятника длиной l {\displaystyle l} l логичным выбором обобщённой координаты будет угол отклонения θ {\displaystyle \theta } \theta от вертикали подвеса, для которого уравнения преобразования имеют вид
r ( θ , θ ′ , t ) = ( l sin θ , l cos θ ) . {\displaystyle \mathbf {r} (\theta ,\;\theta ',\;t)=(l\sin \theta ,\;l\cos \theta ).} {\mathbf {r}}(\theta ,\;\theta ',\;t)=(l\sin \theta ,\;l\cos \theta ).
Термин обобщённые координаты остался от того периода, когда Декартовы координаты были системой координат по умолчанию.
Рассмотримапапапаппаf {F} } \mathbf {F} , равна δ W = F ⋅ δ r {\displaystyle \delta W=\mathbf {F} \cdot \delta \mathbf {r} } \delta W={\mathbf {F}}\cdot \delta {\mathbf {r}}. Используя второй закон Ньютона, запишем:
m r ¨ ⋅ δ r = F ⋅ δ r . {\displaystyle m\mathbf {\ddot {r}} \cdot \delta \mathbf {r} =\mathbf {F} \cdot \delta \mathbf {r} .} m{\mathbf {{\ddot r}}}\cdot \delta {\mathbf {r}}={\mathbf {F}}\cdot \delta {\mathbf {r}}.
Перепишем это уравнение в терминах обобщённых координат и скоростей. С правой стороны равенства,
F ⋅ δ r = − g r a d V ⋅ ∑ i ∂ r ∂ q i δ q i = − ∑ i , j ∂ V ∂ r j ∂ r j ∂ q i δ q i = − ∑ i ∂ V ∂ q i δ q i . {\displaystyle {\begin{matrix}\mathbf {F} \cdot \delta \mathbf {r} &=&-\mathrm {grad} \,V\cdot \sum \limits _{i}\displaystyle {\partial \mathbf {r} \over \partial q_{i}}\delta q_{i}\\\\&=&-\sum \limits _{i,\;j}\displaystyle {\partial V \over \partial r_{j}}\displaystyle {\partial r_{j} \over \partial q_{i}}\delta q_{i}\\\\&=&-\sum \limits _{i}\displaystyle {\partial V \over \partial q_{i}}\delta q_{i}.\\\end{matrix}}} {\begin{matrix}{\mathbf {F}}\cdot \delta {\mathbf {r}}&=&-{\mathrm {grad}}\,V\cdot \sum \limits _{i}\displaystyle {\partial {\mathbf {r}} \over \partial q_{i}}\delta q_{i}\\\\&=&-\sum \limits _{{i,\;j}}\displaystyle {\partial V \over \partial r_{j}}\displaystyle {\partial r_{j} \over \partial q_{i}}\delt E=\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot q}_{i}}}{\dot {q_{i}}}-L=\sum _{i}p_{i}{\dot {q_{i}}}-L
называемая энергией системы не изменяется со временем. Это sum _{i}[{\mathbf {r}}_{i},{\mathbf {p}}_{i}]=0
Поскольку δ r {\displaystyle \delta \mathbf {r} } \delta {\mathbf {r}} — произвольна, то имеем
∑ i ∂ L ∂ r i = 0 {\displaystyle \sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i}}}=0} {\displaystyle \sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i}}}=0}>>252478167
>Фига бомбануло>>252478167
>>252478163
>>252478134
>>252478135
>>252478100
>>252478082>>252478432
>>>252477655 (OP)
>Пиздец этот поридж сгорел
>>>252478492
>Аноним 11/08/21 Срд 16:39:46 №252478433 49
>>>252478374
>проиграл с бумерка
>>>252478476
>Аноним 11/08/21 Срд 16:40:33 №252478476 50
>>>252478433
>Сам увидишь, мелкобуковка.
>Аноним 11/08/21 Срд 16:40:46 №252478492 51
>>>252478432
>На то, что тред вайпает какой-то пердун ты не обращаешь внимание?)
>Аноним 11/08/21 Срд 16:40:49 №252478494 52
>08de63b035c03fc[...].webm 4758Кб, 490x360, 00:01:04
>4758
>Пердуны рвутся, кек.
>Двачую, cорта говна
>споры о том что раньше было лучше или мы дети 21го века, наc не понимают перекочевали из ирл на двач
>>252478252
>Детектор чини, школотун.
>>252478135
>>Я твой уебанский новояз не понимаю, пиши по-русски.
>>употребляет слово плиз
>Ok, boomer
>>252478082
>Я твой уебанский новояз не понимаю, пиши по-русски.
>>252477809
>пердун, спок.
>>252477756
>Порридж, плиз, борда 18+.
>>252478163
>Пориджи, ну это выглядит как-то совсем уже убого. Хватит. Форс пориджей взлетел, форс вот этот вот что вы сейчас пытаетесь уныло зафорсить нет. Ну всё. Признайте уже свое поражение.
Подставляя данное равенство в уравнения Эйлера-Лагранжа, получим
d d t ( ∑ i ∂ L ∂ r i ˙ ) = 0 {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {r_{i}} }}}}\right)=0} {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {r_{i}} }}}}\right)=0}
Следовательно, выражение в скобках
P = ∑ i ∂ L ∂ v i = ∑ i m i v i {\displaystyle P=\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {v} _{i}}}=\sum _{i}m_{i}\mathbf {v} _{i}} P=\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\mathbf {v}}_{i}}}=\sum _{i}m_{i}{\mathbf {v}}_{i}
являющееся векторной величиной, называемой импульсом, сохраняется во времени. Это закон сохранения импульса.
Закон сохранения импульса системы частиц может быть сформулирован как равномерность и прямолинейность движения центра тяжести системы.
Закон сохранения момента импульса
Изотропность пространства означает инвариантность лагранжиана замкнутой механической системы относительно поворотов. Если определить по правилу винта вектор бесконечно малого поворота δ ϕ {\displaystyle \delta \mathbf {\phi } } \delta {\mathbf {\phi }}, то изменения радиус-вектора и вектора скорости будут равны векторным произведения вектора поворота на радиус вектор или вектор скорости соответственно:
δ r = [ δ ϕ , r ] {\displaystyle \delta \mathbf {r} =[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {r} ]} \delta {\mathbf {r}}=[\delta {\mathbf {\phi }},{\mathbf {r}}], δ v = [ δ ϕ , v ] {\displaystyle \delta \mathbf {v} =[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {v} ]} \delta {\mathbf {v}}=[\delta {\mathbf {\phi }},{\mathbf {v}}]
Неизменность лагранжиана означает, что
δ L = ∑ i ( ∂ L ∂ r i δ r i + ∂ L ∂ v i δ v i ) = ∑ i ( p ˙ i δ r i + p i δ v i ) = 0 {\displaystyle \delta L=\sum _{i}\left({\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i}}}\delta \mathbf {r} _{i}+{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {v} _{i}}}\delta \mathbf {v} _{i}\right)=\sum _{i}\left(\mathbf {\dot {p}} _{i}\delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {p} _{i}\delta \mathbf {v} _{i}\right)=0} {\displaystyle \delta L=\sum _{i}\left({\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i}}}\delta \mathbf {r} _{i}+{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {v} _{i}}}\delta \mathbf {v} _{i}\right)=\sum _{i}\left(\mathbf {\dot {p}} _{i}\delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {p} _{i}\delta \mathbf {v} _{i}\right)=0}
Подставляя сюда выражения для изменений радиус-вектора и вектора скорости получаем:
∑ i ( p ˙ i [ δ ϕ , r i ] + p i [ δ ϕ , v i ] ) = δ ϕ ∑ i ( [ r i , p ˙ i ] + [ v i , p i ] ) = δ ϕ ∑ i d [ r i , p i ] d t = 0 {\displaystyle \sum _{i}\left({\dot {\mathbf {p} }}_{i}[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {r} _{i}]+\mathbf {p} _{i}[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {v} _{i}]\right)=\delta \phi \sum _{i}\left([\mathbf {r} _{i},{\dot {\mathbf {p} }}_{i}]+[\mathbf {v} _{i},\mathbf {p} _{i}]\right)=\delta \phi \sum _{i}{\frac {d[\mathbf {r} _{i},\mathbf {p} _{i}]}{dt}}=0} {\displaystyle \sum _{i}\left({\dot {\mathbf {p} }}_{i}[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {r} _{i}]+\mathbf {p} _{i}[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {v} _{i}]\right)=\delta \phi \sum _{i}\left([\mathbf {r} _{i},{\dot {\mathbf {p} }}_{i}]+[\mathbf {v} _{i},\mathbf {p} _{i}]\right)=\delta \phi \sum _{i}{\frac {d[\mathbf {r} _{i},\mathbf {p} _{i}]}{dt}}=0}
Учитывая произвольность вектора поворота окончательно можно записать
d d t ∑ i [ r i , p i ] = 0 {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\sum _{i}[\mathbf {r} _{i},\mathbf {p} _{i}]=0} {\frac {d}{dt}}\sum _{i}[{\mathbf {r}}_{i},{\mathbf {p}}_{i}]=0
Это означает, что векторная величина
M = ∑ i [ r i , p i ] {\displaystyle \mathbf {M} =\sum _{i}[\mathbf {r} _{i},\mathbf {p} _{i}]} {\mathbf {M}}=\sum _{i}[{\mathbf {r}}_{i},{\mathbf {p}}_{i}]
сохраняется. Эта величина и называется моментом импульса или просто моментом.
Вывод уравнений Лагранжа из Ньютоновской механики
Рассмотрим единственную частицу с массой m {\displaystyle m} m и радиус-вектором r {\displaystyle \mathbf {r} } \mathbf {r} . Предполагаем, что силовое поле F {\displaystyle \mathbf {F} } \mathbf {F} , в котором и под действием которого она совершает своё движение, может быть выражено как градиент скалярной функции — потенциальной энергии V ( r , t ) {\displaystyle V(\mathbf {r} ,\;t)} V({\mathbf {r}},\;t) (этому условию удовлетворяют, например, гравитационное и электрическое поле, и не удовлетворяют магнитные поля):
F = − ∇ V . {\displaystyle \mathbf {F} =-\nabla V.} {\mathbf {F}}=-\nabla V.
Такая сила не зависит от производных r {\displaystyle \mathbf {r} } \mathbf {r} , поэтому второй закон Ньютона формирует 3 обыкновенных дифференциальных уравнения второго порядка. Движение частицы может быть полностью описано тремя независимыми переменными, называемых степенями свободы. Очевидный набор переменных — { r j , r j ′ ∣ j = 1 , 2 , 3 } {\displaystyle \{r_{j},\;r'_{j}\mid j=1,\;2,\;3\}} \{r_{j},\;r'_{j}\mid j=1,\;2,\;3\} (декартовы компоненты r {\displaystyle \mathbf {r} } \mathbf {r} в данный момент времени).
Обобщая, мы можем работать с обобщёнными координатами, q j {\displaystyle q_{j}} q_{j}, и их производными, обобщёнными скоростями q j ′ {\displaystyle q'_{j}} q'_{j}. Радиус-вектор r {\displaystyle \mathbf {r} } \mathbf {r} связан с обобщёнными координатами некоторым уравнением преобразования:
r = r ( q i , t ) , i = 1 , … , N , {\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} (q_{i},\;t),\quad i=1,\;\ldots ,\;N,} {\mathbf {r}}={\mathbf {r}}(q_{i},\;t),\quad i=1,\;\ldots ,\;N,
где N {\displaystyle N} N — число степеней свободы системы.
Например, для плоского движения математического маятника длиной l {\displaystyle l} l логичным выбором обобщённой координаты будет угол отклонения θ {\displaystyle \theta } \theta от вертикали подвеса, для которого уравнения преобразования имеют вид
r ( θ , θ ′ , t ) = ( l sin θ , l cos θ ) . {\displaystyle \mathbf {r} (\theta ,\;\theta ',\;t)=(l\sin \theta ,\;l\cos \theta ).} {\mathbf {r}}(\theta ,\;\theta ',\;t)=(l\sin \theta ,\;l\cos \theta ).
Термин обобщённые координаты остался от того периода, когда Декартовы координаты были системой координат по умолчанию.
Рассмотримапапапаппаf {F} } \mathbf {F} , равна δ W = F ⋅ δ r {\displaystyle \delta W=\mathbf {F} \cdot \delta \mathbf {r} } \delta W={\mathbf {F}}\cdot \delta {\mathbf {r}}. Используя второй закон Ньютона, запишем:
m r ¨ ⋅ δ r = F ⋅ δ r . {\displaystyle m\mathbf {\ddot {r}} \cdot \delta \mathbf {r} =\mathbf {F} \cdot \delta \mathbf {r} .} m{\mathbf {{\ddot r}}}\cdot \delta {\mathbf {r}}={\mathbf {F}}\cdot \delta {\mathbf {r}}.
Перепишем это уравнение в терминах обобщённых координат и скоростей. С правой стороны равенства,
F ⋅ δ r = − g r a d V ⋅ ∑ i ∂ r ∂ q i δ q i = − ∑ i , j ∂ V ∂ r j ∂ r j ∂ q i δ q i = − ∑ i ∂ V ∂ q i δ q i . {\displaystyle {\begin{matrix}\mathbf {F} \cdot \delta \mathbf {r} &=&-\mathrm {grad} \,V\cdot \sum \limits _{i}\displaystyle {\partial \mathbf {r} \over \partial q_{i}}\delta q_{i}\\\\&=&-\sum \limits _{i,\;j}\displaystyle {\partial V \over \partial r_{j}}\displaystyle {\partial r_{j} \over \partial q_{i}}\delta q_{i}\\\\&=&-\sum \limits _{i}\displaystyle {\partial V \over \partial q_{i}}\delta q_{i}.\\\end{matrix}}} {\begin{matrix}{\mathbf {F}}\cdot \delta {\mathbf {r}}&=&-{\mathrm {grad}}\,V\cdot \sum \limits _{i}\displaystyle {\partial {\mathbf {r}} \over \partial q_{i}}\delta q_{i}\\\\&=&-\sum \limits _{{i,\;j}}\displaystyle {\partial V \over \partial r_{j}}\displaystyle {\partial r_{j} \over \partial q_{i}}\delt E=\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot q}_{i}}}{\dot {q_{i}}}-L=\sum _{i}p_{i}{\dot {q_{i}}}-L
называемая энергией системы не изменяется со временем. Это sum _{i}[{\mathbf {r}}_{i},{\mathbf {p}}_{i}]=0
Поскольку δ r {\displaystyle \delta \mathbf {r} } \delta {\mathbf {r}} — произвольна, то имеем
∑ i ∂ L ∂ r i = 0 {\displaystyle \sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i}}}=0} {\displaystyle \sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i}}}=0}>>252478167
>Фига бомбануло>>252478167
>>252478163
>>252478134
>>252478135
>>252478100
>>252478082>>252478432
>>>252477655 (OP)
>Пиздец этот поридж сгорел
>>>252478492
>Аноним 11/08/21 Срд 16:39:46 №252478433 49
>>>252478374
>проиграл с бумерка
>>>252478476
>Аноним 11/08/21 Срд 16:40:33 №252478476 50
>>>252478433
>Сам увидишь, мелкобуковка.
>Аноним 11/08/21 Срд 16:40:46 №252478492 51
>>>252478432
>На то, что тред вайпает какой-то пердун ты не обращаешь внимание?)
>Аноним 11/08/21 Срд 16:40:49 №252478494 52
>08de63b035c03fc[...].webm 4758Кб, 490x360, 00:01:04
>4758
>Пердуны рвутся, кек.
>смеетя
Твой наисмачнейший обсёр уже заскринен и сохранен у меня на SSD, HDD, флешке, облаке и этот тред сохранен в архиваче. Отныне у тебя кличка будет "дырявый проткнутныш" и я с моими друзьями будем ссать на тебя каждый день в каждом треде, каждый раз сдетектировав твое обосранное, завистливое ебало проткнутного нищеброда из мухосранска. Обтекай, обоссанный и униженный чмошник, ты дырявый проткнутныш который сейчас будет еще и завидовать моему телу.
>Двачую, cорта говна
>споры о том что раньше было лучше или мы дети 21го века, наc не понимают перекочевали из ирл на двач
>>252478252
>Детектор чини, школотун.
>>252478135
>>Я твой уебанский новояз не понимаю, пиши по-русски.
>>употребляет слово плиз
>Ok, boomer
>>252478082
>Я твой уебанский новояз не понимаю, пиши по-русски.
>>252477809
>пердун, спок.
>>252477756
>Порридж, плиз, борда 18+.
>>252478163
>Пориджи, ну это выглядит как-то совсем уже убого. Хватит. Форс пориджей взлетел, форс вот этот вот что вы сейчас пытаетесь уныло зафорсить нет. Ну всё. Признайте уже свое поражение.
Подставляя данное равенство в уравнения Эйлера-Лагранжа, получим
d d t ( ∑ i ∂ L ∂ r i ˙ ) = 0 {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {r_{i}} }}}}\right)=0} {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {r_{i}} }}}}\right)=0}
Следовательно, выражение в скобках
P = ∑ i ∂ L ∂ v i = ∑ i m i v i {\displaystyle P=\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {v} _{i}}}=\sum _{i}m_{i}\mathbf {v} _{i}} P=\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\mathbf {v}}_{i}}}=\sum _{i}m_{i}{\mathbf {v}}_{i}
являющееся векторной величиной, называемой импульсом, сохраняется во времени. Это закон сохранения импульса.
Закон сохранения импульса системы частиц может быть сформулирован как равномерность и прямолинейность движения центра тяжести системы.
Закон сохранения момента импульса
Изотропность пространства означает инвариантность лагранжиана замкнутой механической системы относительно поворотов. Если определить по правилу винта вектор бесконечно малого поворота δ ϕ {\displaystyle \delta \mathbf {\phi } } \delta {\mathbf {\phi }}, то изменения радиус-вектора и вектора скорости будут равны векторным произведения вектора поворота на радиус вектор или вектор скорости соответственно:
δ r = [ δ ϕ , r ] {\displaystyle \delta \mathbf {r} =[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {r} ]} \delta {\mathbf {r}}=[\delta {\mathbf {\phi }},{\mathbf {r}}], δ v = [ δ ϕ , v ] {\displaystyle \delta \mathbf {v} =[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {v} ]} \delta {\mathbf {v}}=[\delta {\mathbf {\phi }},{\mathbf {v}}]
Неизменность лагранжиана означает, что
δ L = ∑ i ( ∂ L ∂ r i δ r i + ∂ L ∂ v i δ v i ) = ∑ i ( p ˙ i δ r i + p i δ v i ) = 0 {\displaystyle \delta L=\sum _{i}\left({\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i}}}\delta \mathbf {r} _{i}+{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {v} _{i}}}\delta \mathbf {v} _{i}\right)=\sum _{i}\left(\mathbf {\dot {p}} _{i}\delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {p} _{i}\delta \mathbf {v} _{i}\right)=0} {\displaystyle \delta L=\sum _{i}\left({\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i}}}\delta \mathbf {r} _{i}+{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {v} _{i}}}\delta \mathbf {v} _{i}\right)=\sum _{i}\left(\mathbf {\dot {p}} _{i}\delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {p} _{i}\delta \mathbf {v} _{i}\right)=0}
Подставляя сюда выражения для изменений радиус-вектора и вектора скорости получаем:
∑ i ( p ˙ i [ δ ϕ , r i ] + p i [ δ ϕ , v i ] ) = δ ϕ ∑ i ( [ r i , p ˙ i ] + [ v i , p i ] ) = δ ϕ ∑ i d [ r i , p i ] d t = 0 {\displaystyle \sum _{i}\left({\dot {\mathbf {p} }}_{i}[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {r} _{i}]+\mathbf {p} _{i}[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {v} _{i}]\right)=\delta \phi \sum _{i}\left([\mathbf {r} _{i},{\dot {\mathbf {p} }}_{i}]+[\mathbf {v} _{i},\mathbf {p} _{i}]\right)=\delta \phi \sum _{i}{\frac {d[\mathbf {r} _{i},\mathbf {p} _{i}]}{dt}}=0} {\displaystyle \sum _{i}\left({\dot {\mathbf {p} }}_{i}[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {r} _{i}]+\mathbf {p} _{i}[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {v} _{i}]\right)=\delta \phi \sum _{i}\left([\mathbf {r} _{i},{\dot {\mathbf {p} }}_{i}]+[\mathbf {v} _{i},\mathbf {p} _{i}]\right)=\delta \phi \sum _{i}{\frac {d[\mathbf {r} _{i},\mathbf {p} _{i}]}{dt}}=0}
Учитывая произвольность вектора поворота окончательно можно записать
d d t ∑ i [ r i , p i ] = 0 {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\sum _{i}[\mathbf {r} _{i},\mathbf {p} _{i}]=0} {\frac {d}{dt}}\sum _{i}[{\mathbf {r}}_{i},{\mathbf {p}}_{i}]=0
Это означает, что векторная величина
M = ∑ i [ r i , p i ] {\displaystyle \mathbf {M} =\sum _{i}[\mathbf {r} _{i},\mathbf {p} _{i}]} {\mathbf {M}}=\sum _{i}[{\mathbf {r}}_{i},{\mathbf {p}}_{i}]
сохраняется. Эта величина и называется моментом импульса или просто моментом.
Вывод уравнений Лагранжа из Ньютоновской механики
Рассмотрим единственную частицу с массой m {\displaystyle m} m и радиус-вектором r {\displaystyle \mathbf {r} } \mathbf {r} . Предполагаем, что силовое поле F {\displaystyle \mathbf {F} } \mathbf {F} , в котором и под действием которого она совершает своё движение, может быть выражено как градиент скалярной функции — потенциальной энергии V ( r , t ) {\displaystyle V(\mathbf {r} ,\;t)} V({\mathbf {r}},\;t) (этому условию удовлетворяют, например, гравитационное и электрическое поле, и не удовлетворяют магнитные поля):
F = − ∇ V . {\displaystyle \mathbf {F} =-\nabla V.} {\mathbf {F}}=-\nabla V.
Такая сила не зависит от производных r {\displaystyle \mathbf {r} } \mathbf {r} , поэтому второй закон Ньютона формирует 3 обыкновенных дифференциальных уравнения второго порядка. Движение частицы может быть полностью описано тремя независимыми переменными, называемых степенями свободы. Очевидный набор переменных — { r j , r j ′ ∣ j = 1 , 2 , 3 } {\displaystyle \{r_{j},\;r'_{j}\mid j=1,\;2,\;3\}} \{r_{j},\;r'_{j}\mid j=1,\;2,\;3\} (декартовы компоненты r {\displaystyle \mathbf {r} } \mathbf {r} в данный момент времени).
Обобщая, мы можем работать с обобщёнными координатами, q j {\displaystyle q_{j}} q_{j}, и их производными, обобщёнными скоростями q j ′ {\displaystyle q'_{j}} q'_{j}. Радиус-вектор r {\displaystyle \mathbf {r} } \mathbf {r} связан с обобщёнными координатами некоторым уравнением преобразования:
r = r ( q i , t ) , i = 1 , … , N , {\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} (q_{i},\;t),\quad i=1,\;\ldots ,\;N,} {\mathbf {r}}={\mathbf {r}}(q_{i},\;t),\quad i=1,\;\ldots ,\;N,
где N {\displaystyle N} N — число степеней свободы системы.
Например, для плоского движения математического маятника длиной l {\displaystyle l} l логичным выбором обобщённой координаты будет угол отклонения θ {\displaystyle \theta } \theta от вертикали подвеса, для которого уравнения преобразования имеют вид
r ( θ , θ ′ , t ) = ( l sin θ , l cos θ ) . {\displaystyle \mathbf {r} (\theta ,\;\theta ',\;t)=(l\sin \theta ,\;l\cos \theta ).} {\mathbf {r}}(\theta ,\;\theta ',\;t)=(l\sin \theta ,\;l\cos \theta ).
Термин обобщённые координаты остался от того периода, когда Декартовы координаты были системой координат по умолчанию.
Рассмотримапапапаппаf {F} } \mathbf {F} , равна δ W = F ⋅ δ r {\displaystyle \delta W=\mathbf {F} \cdot \delta \mathbf {r} } \delta W={\mathbf {F}}\cdot \delta {\mathbf {r}}. Используя второй закон Ньютона, запишем:
m r ¨ ⋅ δ r = F ⋅ δ r . {\displaystyle m\mathbf {\ddot {r}} \cdot \delta \mathbf {r} =\mathbf {F} \cdot \delta \mathbf {r} .} m{\mathbf {{\ddot r}}}\cdot \delta {\mathbf {r}}={\mathbf {F}}\cdot \delta {\mathbf {r}}.
Перепишем это уравнение в терминах обобщённых координат и скоростей. С правой стороны равенства,
F ⋅ δ r = − g r a d V ⋅ ∑ i ∂ r ∂ q i δ q i = − ∑ i , j ∂ V ∂ r j ∂ r j ∂ q i δ q i = − ∑ i ∂ V ∂ q i δ q i . {\displaystyle {\begin{matrix}\mathbf {F} \cdot \delta \mathbf {r} &=&-\mathrm {grad} \,V\cdot \sum \limits _{i}\displaystyle {\partial \mathbf {r} \over \partial q_{i}}\delta q_{i}\\\\&=&-\sum \limits _{i,\;j}\displaystyle {\partial V \over \partial r_{j}}\displaystyle {\partial r_{j} \over \partial q_{i}}\delta q_{i}\\\\&=&-\sum \limits _{i}\displaystyle {\partial V \over \partial q_{i}}\delta q_{i}.\\\end{matrix}}} {\begin{matrix}{\mathbf {F}}\cdot \delta {\mathbf {r}}&=&-{\mathrm {grad}}\,V\cdot \sum \limits _{i}\displaystyle {\partial {\mathbf {r}} \over \partial q_{i}}\delta q_{i}\\\\&=&-\sum \limits _{{i,\;j}}\displaystyle {\partial V \over \partial r_{j}}\displaystyle {\partial r_{j} \over \partial q_{i}}\delt E=\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot q}_{i}}}{\dot {q_{i}}}-L=\sum _{i}p_{i}{\dot {q_{i}}}-L
называемая энергией системы не изменяется со временем. Это sum _{i}[{\mathbf {r}}_{i},{\mathbf {p}}_{i}]=0
Поскольку δ r {\displaystyle \delta \mathbf {r} } \delta {\mathbf {r}} — произвольна, то имеем
∑ i ∂ L ∂ r i = 0 {\displaystyle \sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i}}}=0} {\displaystyle \sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i}}}=0}>>252478167
>Фига бомбануло>>252478167
>>252478163
>>252478134
>>252478135
>>252478100
>>252478082>>252478432
>>252477655 (OP) (OP)
Пиздец этот поридж сгорел
>>252478492 >>252478553 >>252478569
Аноним 11/08/21 Срд 16:39:46 №252478433 49
>>252478374
проиграл с бумерка
>>252478476
Аноним 11/08/21 Срд 16:40:33 №252478476 50
>>252478433
Сам увидишь, мелкобуковка.
Аноним 11/08/21 Срд 16:40:46 №252478492 51
>>252478432
На то, что тред вайпает какой-то пердун ты не обращаешь внимание?
скиньте картинку где пориджа в футболке фортнайт трахает бумер
>Двачую, cорта говна
>споры о том что раньше было лучше или мы дети 21го века, наc не понимают перекочевали из ирл на двач
>>252478252
>Детектор чини, школотун.
>>252478135
>>Я твой уебанский новояз не понимаю, пиши по-русски.
>>употребляет слово плиз
>Ok, boomer
>>252478082
>Я твой уебанский новояз не понимаю, пиши по-русски.
>>252477809
>пердун, спок.
>>252477756
>Порридж, плиз, борда 18+.
>>252478163
>Пориджи, ну это выглядит как-то совсем уже убого. Хватит. Форс пориджей взлетел, форс вот этот вот что вы сейчас пытаетесь уныло зафорсить нет. Ну всё. Признайте уже свое поражение.
Подставляя данное равенство в уравнения Эйлера-Лагранжа, получим
d d t ( ∑ i ∂ L ∂ r i ˙ ) = 0 {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {r_{i}} }}}}\right)=0} {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {r_{i}} }}}}\right)=0}
Следовательно, выражение в скобках
P = ∑ i ∂ L ∂ v i = ∑ i m i v i {\displaystyle P=\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {v} _{i}}}=\sum _{i}m_{i}\mathbf {v} _{i}} P=\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\mathbf {v}}_{i}}}=\sum _{i}m_{i}{\mathbf {v}}_{i}
являющееся векторной величиной, называемой импульсом, сохраняется во времени. Это закон сохранения импульса.
Закон сохранения импульса системы частиц может быть сформулирован как равномерность и прямолинейность движения центра тяжести системы.
Закон сохранения момента импульса
Изотропность пространства означает инвариантность лагранжиана замкнутой механической системы относительно поворотов. Если определить по правилу винта вектор бесконечно малого поворота δ ϕ {\displaystyle \delta \mathbf {\phi } } \delta {\mathbf {\phi }}, то изменения радиус-вектора и вектора скорости будут равны векторным произведения вектора поворота на радиус вектор или вектор скорости соответственно:
δ r = [ δ ϕ , r ] {\displaystyle \delta \mathbf {r} =[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {r} ]} \delta {\mathbf {r}}=[\delta {\mathbf {\phi }},{\mathbf {r}}], δ v = [ δ ϕ , v ] {\displaystyle \delta \mathbf {v} =[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {v} ]} \delta {\mathbf {v}}=[\delta {\mathbf {\phi }},{\mathbf {v}}]
Неизменность лагранжиана означает, что
δ L = ∑ i ( ∂ L ∂ r i δ r i + ∂ L ∂ v i δ v i ) = ∑ i ( p ˙ i δ r i + p i δ v i ) = 0 {\displaystyle \delta L=\sum _{i}\left({\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i}}}\delta \mathbf {r} _{i}+{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {v} _{i}}}\delta \mathbf {v} _{i}\right)=\sum _{i}\left(\mathbf {\dot {p}} _{i}\delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {p} _{i}\delta \mathbf {v} _{i}\right)=0} {\displaystyle \delta L=\sum _{i}\left({\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i}}}\delta \mathbf {r} _{i}+{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {v} _{i}}}\delta \mathbf {v} _{i}\right)=\sum _{i}\left(\mathbf {\dot {p}} _{i}\delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {p} _{i}\delta \mathbf {v} _{i}\right)=0}
Подставляя сюда выражения для изменений радиус-вектора и вектора скорости получаем:
∑ i ( p ˙ i [ δ ϕ , r i ] + p i [ δ ϕ , v i ] ) = δ ϕ ∑ i ( [ r i , p ˙ i ] + [ v i , p i ] ) = δ ϕ ∑ i d [ r i , p i ] d t = 0 {\displaystyle \sum _{i}\left({\dot {\mathbf {p} }}_{i}[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {r} _{i}]+\mathbf {p} _{i}[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {v} _{i}]\right)=\delta \phi \sum _{i}\left([\mathbf {r} _{i},{\dot {\mathbf {p} }}_{i}]+[\mathbf {v} _{i},\mathbf {p} _{i}]\right)=\delta \phi \sum _{i}{\frac {d[\mathbf {r} _{i},\mathbf {p} _{i}]}{dt}}=0} {\displaystyle \sum _{i}\left({\dot {\mathbf {p} }}_{i}[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {r} _{i}]+\mathbf {p} _{i}[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {v} _{i}]\right)=\delta \phi \sum _{i}\left([\mathbf {r} _{i},{\dot {\mathbf {p} }}_{i}]+[\mathbf {v} _{i},\mathbf {p} _{i}]\right)=\delta \phi \sum _{i}{\frac {d[\mathbf {r} _{i},\mathbf {p} _{i}]}{dt}}=0}
Учитывая произвольность вектора поворота окончательно можно записать
d d t ∑ i [ r i , p i ] = 0 {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\sum _{i}[\mathbf {r} _{i},\mathbf {p} _{i}]=0} {\frac {d}{dt}}\sum _{i}[{\mathbf {r}}_{i},{\mathbf {p}}_{i}]=0
Это означает, что векторная величина
M = ∑ i [ r i , p i ] {\displaystyle \mathbf {M} =\sum _{i}[\mathbf {r} _{i},\mathbf {p} _{i}]} {\mathbf {M}}=\sum _{i}[{\mathbf {r}}_{i},{\mathbf {p}}_{i}]
сохраняется. Эта величина и называется моментом импульса или просто моментом.
Вывод уравнений Лагранжа из Ньютоновской механики
Рассмотрим единственную частицу с массой m {\displaystyle m} m и радиус-вектором r {\displaystyle \mathbf {r} } \mathbf {r} . Предполагаем, что силовое поле F {\displaystyle \mathbf {F} } \mathbf {F} , в котором и под действием которого она совершает своё движение, может быть выражено как градиент скалярной функции — потенциальной энергии V ( r , t ) {\displaystyle V(\mathbf {r} ,\;t)} V({\mathbf {r}},\;t) (этому условию удовлетворяют, например, гравитационное и электрическое поле, и не удовлетворяют магнитные поля):
F = − ∇ V . {\displaystyle \mathbf {F} =-\nabla V.} {\mathbf {F}}=-\nabla V.
Такая сила не зависит от производных r {\displaystyle \mathbf {r} } \mathbf {r} , поэтому второй закон Ньютона формирует 3 обыкновенных дифференциальных уравнения второго порядка. Движение частицы может быть полностью описано тремя независимыми переменными, называемых степенями свободы. Очевидный набор переменных — { r j , r j ′ ∣ j = 1 , 2 , 3 } {\displaystyle \{r_{j},\;r'_{j}\mid j=1,\;2,\;3\}} \{r_{j},\;r'_{j}\mid j=1,\;2,\;3\} (декартовы компоненты r {\displaystyle \mathbf {r} } \mathbf {r} в данный момент времени).
Обобщая, мы можем работать с обобщёнными координатами, q j {\displaystyle q_{j}} q_{j}, и их производными, обобщёнными скоростями q j ′ {\displaystyle q'_{j}} q'_{j}. Радиус-вектор r {\displaystyle \mathbf {r} } \mathbf {r} связан с обобщёнными координатами некоторым уравнением преобразования:
r = r ( q i , t ) , i = 1 , … , N , {\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} (q_{i},\;t),\quad i=1,\;\ldots ,\;N,} {\mathbf {r}}={\mathbf {r}}(q_{i},\;t),\quad i=1,\;\ldots ,\;N,
где N {\displaystyle N} N — число степеней свободы системы.
Например, для плоского движения математического маятника длиной l {\displaystyle l} l логичным выбором обобщённой координаты будет угол отклонения θ {\displaystyle \theta } \theta от вертикали подвеса, для которого уравнения преобразования имеют вид
r ( θ , θ ′ , t ) = ( l sin θ , l cos θ ) . {\displaystyle \mathbf {r} (\theta ,\;\theta ',\;t)=(l\sin \theta ,\;l\cos \theta ).} {\mathbf {r}}(\theta ,\;\theta ',\;t)=(l\sin \theta ,\;l\cos \theta ).
Термин обобщённые координаты остался от того периода, когда Декартовы координаты были системой координат по умолчанию.
Рассмотримапапапаппаf {F} } \mathbf {F} , равна δ W = F ⋅ δ r {\displaystyle \delta W=\mathbf {F} \cdot \delta \mathbf {r} } \delta W={\mathbf {F}}\cdot \delta {\mathbf {r}}. Используя второй закон Ньютона, запишем:
m r ¨ ⋅ δ r = F ⋅ δ r . {\displaystyle m\mathbf {\ddot {r}} \cdot \delta \mathbf {r} =\mathbf {F} \cdot \delta \mathbf {r} .} m{\mathbf {{\ddot r}}}\cdot \delta {\mathbf {r}}={\mathbf {F}}\cdot \delta {\mathbf {r}}.
Перепишем это уравнение в терминах обобщённых координат и скоростей. С правой стороны равенства,
F ⋅ δ r = − g r a d V ⋅ ∑ i ∂ r ∂ q i δ q i = − ∑ i , j ∂ V ∂ r j ∂ r j ∂ q i δ q i = − ∑ i ∂ V ∂ q i δ q i . {\displaystyle {\begin{matrix}\mathbf {F} \cdot \delta \mathbf {r} &=&-\mathrm {grad} \,V\cdot \sum \limits _{i}\displaystyle {\partial \mathbf {r} \over \partial q_{i}}\delta q_{i}\\\\&=&-\sum \limits _{i,\;j}\displaystyle {\partial V \over \partial r_{j}}\displaystyle {\partial r_{j} \over \partial q_{i}}\delta q_{i}\\\\&=&-\sum \limits _{i}\displaystyle {\partial V \over \partial q_{i}}\delta q_{i}.\\\end{matrix}}} {\begin{matrix}{\mathbf {F}}\cdot \delta {\mathbf {r}}&=&-{\mathrm {grad}}\,V\cdot \sum \limits _{i}\displaystyle {\partial {\mathbf {r}} \over \partial q_{i}}\delta q_{i}\\\\&=&-\sum \limits _{{i,\;j}}\displaystyle {\partial V \over \partial r_{j}}\displaystyle {\partial r_{j} \over \partial q_{i}}\delt E=\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot q}_{i}}}{\dot {q_{i}}}-L=\sum _{i}p_{i}{\dot {q_{i}}}-L
называемая энергией системы не изменяется со временем. Это sum _{i}[{\mathbf {r}}_{i},{\mathbf {p}}_{i}]=0
Поскольку δ r {\displaystyle \delta \mathbf {r} } \delta {\mathbf {r}} — произвольна, то имеем
∑ i ∂ L ∂ r i = 0 {\displaystyle \sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i}}}=0} {\displaystyle \sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i}}}=0}>>252478167
>Фига бомбануло>>252478167
>>252478163
>>252478134
>>252478135
>>252478100
>>252478082>>252478432
>>252477655 (OP) (OP)
Пиздец этот поридж сгорел
>>252478492 >>252478553 >>252478569
Аноним 11/08/21 Срд 16:39:46 №252478433 49
>>252478374
проиграл с бумерка
>>252478476
Аноним 11/08/21 Срд 16:40:33 №252478476 50
>>252478433
Сам увидишь, мелкобуковка.
Аноним 11/08/21 Срд 16:40:46 №252478492 51
>>252478432
На то, что тред вайпает какой-то пердун ты не обращаешь внимание?
>>252478393
>Двачую, cорта говна
>споры о том что раньше было лучше или мы дети 21го века, наc не понимают перекочевали из ирл на двач
>>252478252
>Детектор чини, школотун.
>>252478135
>>Я твой уебанский новояз не понимаю, пиши по-русски.
>>употребляет слово плиз
>Ok, boomer
>>252478082
>Я твой уебанский новояз не понимаю, пиши по-русски.
>>252477809
>пердун, спок.
>>252477756
>Порридж, плиз, борда 18+.
>>252478163
>Пориджи, ну это выглядит как-то совсем уже убого. Хватит. Форс пориджей взлетел, форс вот этот вот что вы сейчас пытаетесь уныло зафорсить нет. Ну всё. Признайте уже свое поражение.
Подставляя данное равенство в уравнения Эйлера-Лагранжа, получим
d d t ( ∑ i ∂ L ∂ r i ˙ ) = 0 {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {r_{i}} }}}}\right)=0} {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {r_{i}} }}}}\right)=0}
Следовательно, выражение в скобках
P = ∑ i ∂ L ∂ v i = ∑ i m i v i {\displaystyle P=\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {v} _{i}}}=\sum _{i}m_{i}\mathbf {v} _{i}} P=\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\mathbf {v}}_{i}}}=\sum _{i}m_{i}{\mathbf {v}}_{i}
являющееся векторной величиной, называемой импульсом, сохраняется во времени. Это закон сохранения импульса.
Закон сохранения импульса системы частиц может быть сформулирован как равномерность и прямолинейность движения центра тяжести системы.
Закон сохранения момента импульса
Изотропность пространства означает инвариантность лагранжиана замкнутой механической системы относительно поворотов. Если определить по правилу винта вектор бесконечно малого поворота δ ϕ {\displaystyle \delta \mathbf {\phi } } \delta {\mathbf {\phi }}, то изменения радиус-вектора и вектора скорости будут равны векторным произведения вектора поворота на радиус вектор или вектор скорости соответственно:
δ r = [ δ ϕ , r ] {\displaystyle \delta \mathbf {r} =[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {r} ]} \delta {\mathbf {r}}=[\delta {\mathbf {\phi }},{\mathbf {r}}], δ v = [ δ ϕ , v ] {\displaystyle \delta \mathbf {v} =[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {v} ]} \delta {\mathbf {v}}=[\delta {\mathbf {\phi }},{\mathbf {v}}]
Неизменность лагранжиана означает, что
δ L = ∑ i ( ∂ L ∂ r i δ r i + ∂ L ∂ v i δ v i ) = ∑ i ( p ˙ i δ r i + p i δ v i ) = 0 {\displaystyle \delta L=\sum _{i}\left({\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i}}}\delta \mathbf {r} _{i}+{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {v} _{i}}}\delta \mathbf {v} _{i}\right)=\sum _{i}\left(\mathbf {\dot {p}} _{i}\delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {p} _{i}\delta \mathbf {v} _{i}\right)=0} {\displaystyle \delta L=\sum _{i}\left({\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i}}}\delta \mathbf {r} _{i}+{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {v} _{i}}}\delta \mathbf {v} _{i}\right)=\sum _{i}\left(\mathbf {\dot {p}} _{i}\delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {p} _{i}\delta \mathbf {v} _{i}\right)=0}
Подставляя сюда выражения для изменений радиус-вектора и вектора скорости получаем:
∑ i ( p ˙ i [ δ ϕ , r i ] + p i [ δ ϕ , v i ] ) = δ ϕ ∑ i ( [ r i , p ˙ i ] + [ v i , p i ] ) = δ ϕ ∑ i d [ r i , p i ] d t = 0 {\displaystyle \sum _{i}\left({\dot {\mathbf {p} }}_{i}[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {r} _{i}]+\mathbf {p} _{i}[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {v} _{i}]\right)=\delta \phi \sum _{i}\left([\mathbf {r} _{i},{\dot {\mathbf {p} }}_{i}]+[\mathbf {v} _{i},\mathbf {p} _{i}]\right)=\delta \phi \sum _{i}{\frac {d[\mathbf {r} _{i},\mathbf {p} _{i}]}{dt}}=0} {\displaystyle \sum _{i}\left({\dot {\mathbf {p} }}_{i}[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {r} _{i}]+\mathbf {p} _{i}[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {v} _{i}]\right)=\delta \phi \sum _{i}\left([\mathbf {r} _{i},{\dot {\mathbf {p} }}_{i}]+[\mathbf {v} _{i},\mathbf {p} _{i}]\right)=\delta \phi \sum _{i}{\frac {d[\mathbf {r} _{i},\mathbf {p} _{i}]}{dt}}=0}
Учитывая произвольность вектора поворота окончательно можно записать
d d t ∑ i [ r i , p i ] = 0 {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\sum _{i}[\mathbf {r} _{i},\mathbf {p} _{i}]=0} {\frac {d}{dt}}\sum _{i}[{\mathbf {r}}_{i},{\mathbf {p}}_{i}]=0
Это означает, что векторная величина
M = ∑ i [ r i , p i ] {\displaystyle \mathbf {M} =\sum _{i}[\mathbf {r} _{i},\mathbf {p} _{i}]} {\mathbf {M}}=\sum _{i}[{\mathbf {r}}_{i},{\mathbf {p}}_{i}]
сохраняется. Эта величина и называется моментом импульса или просто моментом.
Вывод уравнений Лагранжа из Ньютоновской механики
Рассмотрим единственную частицу с массой m {\displaystyle m} m и радиус-вектором r {\displaystyle \mathbf {r} } \mathbf {r} . Предполагаем, что силовое поле F {\displaystyle \mathbf {F} } \mathbf {F} , в котором и под действием которого она совершает своё движение, может быть выражено как градиент скалярной функции — потенциальной энергии V ( r , t ) {\displaystyle V(\mathbf {r} ,\;t)} V({\mathbf {r}},\;t) (этому условию удовлетворяют, например, гравитационное и электрическое поле, и не удовлетворяют магнитные поля):
F = − ∇ V . {\displaystyle \mathbf {F} =-\nabla V.} {\mathbf {F}}=-\nabla V.
Такая сила не зависит от производных r {\displaystyle \mathbf {r} } \mathbf {r} , поэтому второй закон Ньютона формирует 3 обыкновенных дифференциальных уравнения второго порядка. Движение частицы может быть полностью описано тремя независимыми переменными, называемых степенями свободы. Очевидный набор переменных — { r j , r j ′ ∣ j = 1 , 2 , 3 } {\displaystyle \{r_{j},\;r'_{j}\mid j=1,\;2,\;3\}} \{r_{j},\;r'_{j}\mid j=1,\;2,\;3\} (декартовы компоненты r {\displaystyle \mathbf {r} } \mathbf {r} в данный момент времени).
Обобщая, мы можем работать с обобщёнными координатами, q j {\displaystyle q_{j}} q_{j}, и их производными, обобщёнными скоростями q j ′ {\displaystyle q'_{j}} q'_{j}. Радиус-вектор r {\displaystyle \mathbf {r} } \mathbf {r} связан с обобщёнными координатами некоторым уравнением преобразования:
r = r ( q i , t ) , i = 1 , … , N , {\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} (q_{i},\;t),\quad i=1,\;\ldots ,\;N,} {\mathbf {r}}={\mathbf {r}}(q_{i},\;t),\quad i=1,\;\ldots ,\;N,
где N {\displaystyle N} N — число степеней свободы системы.
Например, для плоского движения математического маятника длиной l {\displaystyle l} l логичным выбором обобщённой координаты будет угол отклонения θ {\displaystyle \theta } \theta от вертикали подвеса, для которого уравнения преобразования имеют вид
r ( θ , θ ′ , t ) = ( l sin θ , l cos θ ) . {\displaystyle \mathbf {r} (\theta ,\;\theta ',\;t)=(l\sin \theta ,\;l\cos \theta ).} {\mathbf {r}}(\theta ,\;\theta ',\;t)=(l\sin \theta ,\;l\cos \theta ).
Термин обобщённые координаты остался от того периода, когда Декартовы координаты были системой координат по умолчанию.
Рассмотримапапапаппаf {F} } \mathbf {F} , равна δ W = F ⋅ δ r {\displaystyle \delta W=\mathbf {F} \cdot \delta \mathbf {r} } \delta W={\mathbf {F}}\cdot \delta {\mathbf {r}}. Используя второй закон Ньютона, запишем:
m r ¨ ⋅ δ r = F ⋅ δ r . {\displaystyle m\mathbf {\ddot {r}} \cdot \delta \mathbf {r} =\mathbf {F} \cdot \delta \mathbf {r} .} m{\mathbf {{\ddot r}}}\cdot \delta {\mathbf {r}}={\mathbf {F}}\cdot \delta {\mathbf {r}}.
Перепишем это уравнение в терминах обобщённых координат и скоростей. С правой стороны равенства,
F ⋅ δ r = − g r a d V ⋅ ∑ i ∂ r ∂ q i δ q i = − ∑ i , j ∂ V ∂ r j ∂ r j ∂ q i δ q i = − ∑ i ∂ V ∂ q i δ q i . {\displaystyle {\begin{matrix}\mathbf {F} \cdot \delta \mathbf {r} &=&-\mathrm {grad} \,V\cdot \sum \limits _{i}\displaystyle {\partial \mathbf {r} \over \partial q_{i}}\delta q_{i}\\\\&=&-\sum \limits _{i,\;j}\displaystyle {\partial V \over \partial r_{j}}\displaystyle {\partial r_{j} \over \partial q_{i}}\delta q_{i}\\\\&=&-\sum \limits _{i}\displaystyle {\partial V \over \partial q_{i}}\delta q_{i}.\\\end{matrix}}} {\begin{matrix}{\mathbf {F}}\cdot \delta {\mathbf {r}}&=&-{\mathrm {grad}}\,V\cdot \sum \limits _{i}\displaystyle {\partial {\mathbf {r}} \over \partial q_{i}}\delta q_{i}\\\\&=&-\sum \limits _{{i,\;j}}\displaystyle {\partial V \over \partial r_{j}}\displaystyle {\partial r_{j} \over \partial q_{i}}\delt E=\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot q}_{i}}}{\dot {q_{i}}}-L=\sum _{i}p_{i}{\dot {q_{i}}}-L
называемая энергией системы не изменяется со временем. Это sum _{i}[{\mathbf {r}}_{i},{\mathbf {p}}_{i}]=0
Поскольку δ r {\displaystyle \delta \mathbf {r} } \delta {\mathbf {r}} — произвольна, то имеем
∑ i ∂ L ∂ r i = 0 {\displaystyle \sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i}}}=0} {\displaystyle \sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i}}}=0}>>252478167
>Фига бомбануло>>252478167
>>252478163
>>252478134
>>252478135
>>252478100
>>252478082>>252478432
>>252477655 (OP) (OP)
Пиздец этот поридж сгорел
>>252478492 >>252478553 >>252478569
Аноним 11/08/21 Срд 16:39:46 №252478433 49
>>252478374
проиграл с бумерка
>>252478476
Аноним 11/08/21 Срд 16:40:33 №252478476 50
>>252478433
Сам увидишь, мелкобуковка.
Аноним 11/08/21 Срд 16:40:46 №252478492 51
>>252478432
На то, что тред вайпает какой-то пердун ты не обращаешь внимание?
>Двачую, cорта говна
>споры о том что раньше было лучше или мы дети 21го века, наc не понимают перекочевали из ирл на двач
>>252478252
>Детектор чини, школотун.
>>252478135
>>Я твой уебанский новояз не понимаю, пиши по-русски.
>>употребляет слово плиз
>Ok, boomer
>>252478082
>Я твой уебанский новояз не понимаю, пиши по-русски.
>>252477809
>пердун, спок.
>>252477756
>Порридж, плиз, борда 18+.
>>252478163
>Пориджи, ну это выглядит как-то совсем уже убого. Хватит. Форс пориджей взлетел, форс вот этот вот что вы сейчас пытаетесь уныло зафорсить нет. Ну всё. Признайте уже свое поражение.
Подставляя данное равенство в уравнения Эйлера-Лагранжа, получим
d d t ( ∑ i ∂ L ∂ r i ˙ ) = 0 {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {r_{i}} }}}}\right)=0} {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {r_{i}} }}}}\right)=0}
Следовательно, выражение в скобках
P = ∑ i ∂ L ∂ v i = ∑ i m i v i {\displaystyle P=\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {v} _{i}}}=\sum _{i}m_{i}\mathbf {v} _{i}} P=\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\mathbf {v}}_{i}}}=\sum _{i}m_{i}{\mathbf {v}}_{i}
являющееся векторной величиной, называемой импульсом, сохраняется во времени. Это закон сохранения импульса.
Закон сохранения импульса системы частиц может быть сформулирован как равномерность и прямолинейность движения центра тяжести системы.
Закон сохранения момента импульса
Изотропность пространства означает инвариантность лагранжиана замкнутой механической системы относительно поворотов. Если определить по правилу винта вектор бесконечно малого поворота δ ϕ {\displaystyle \delta \mathbf {\phi } } \delta {\mathbf {\phi }}, то изменения радиус-вектора и вектора скорости будут равны векторным произведения вектора поворота на радиус вектор или вектор скорости соответственно:
δ r = [ δ ϕ , r ] {\displaystyle \delta \mathbf {r} =[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {r} ]} \delta {\mathbf {r}}=[\delta {\mathbf {\phi }},{\mathbf {r}}], δ v = [ δ ϕ , v ] {\displaystyle \delta \mathbf {v} =[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {v} ]} \delta {\mathbf {v}}=[\delta {\mathbf {\phi }},{\mathbf {v}}]
Неизменность лагранжиана означает, что
δ L = ∑ i ( ∂ L ∂ r i δ r i + ∂ L ∂ v i δ v i ) = ∑ i ( p ˙ i δ r i + p i δ v i ) = 0 {\displaystyle \delta L=\sum _{i}\left({\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i}}}\delta \mathbf {r} _{i}+{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {v} _{i}}}\delta \mathbf {v} _{i}\right)=\sum _{i}\left(\mathbf {\dot {p}} _{i}\delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {p} _{i}\delta \mathbf {v} _{i}\right)=0} {\displaystyle \delta L=\sum _{i}\left({\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i}}}\delta \mathbf {r} _{i}+{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {v} _{i}}}\delta \mathbf {v} _{i}\right)=\sum _{i}\left(\mathbf {\dot {p}} _{i}\delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {p} _{i}\delta \mathbf {v} _{i}\right)=0}
Подставляя сюда выражения для изменений радиус-вектора и вектора скорости получаем:
∑ i ( p ˙ i [ δ ϕ , r i ] + p i [ δ ϕ , v i ] ) = δ ϕ ∑ i ( [ r i , p ˙ i ] + [ v i , p i ] ) = δ ϕ ∑ i d [ r i , p i ] d t = 0 {\displaystyle \sum _{i}\left({\dot {\mathbf {p} }}_{i}[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {r} _{i}]+\mathbf {p} _{i}[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {v} _{i}]\right)=\delta \phi \sum _{i}\left([\mathbf {r} _{i},{\dot {\mathbf {p} }}_{i}]+[\mathbf {v} _{i},\mathbf {p} _{i}]\right)=\delta \phi \sum _{i}{\frac {d[\mathbf {r} _{i},\mathbf {p} _{i}]}{dt}}=0} {\displaystyle \sum _{i}\left({\dot {\mathbf {p} }}_{i}[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {r} _{i}]+\mathbf {p} _{i}[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {v} _{i}]\right)=\delta \phi \sum _{i}\left([\mathbf {r} _{i},{\dot {\mathbf {p} }}_{i}]+[\mathbf {v} _{i},\mathbf {p} _{i}]\right)=\delta \phi \sum _{i}{\frac {d[\mathbf {r} _{i},\mathbf {p} _{i}]}{dt}}=0}
Учитывая произвольность вектора поворота окончательно можно записать
d d t ∑ i [ r i , p i ] = 0 {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\sum _{i}[\mathbf {r} _{i},\mathbf {p} _{i}]=0} {\frac {d}{dt}}\sum _{i}[{\mathbf {r}}_{i},{\mathbf {p}}_{i}]=0
Это означает, что векторная величина
M = ∑ i [ r i , p i ] {\displaystyle \mathbf {M} =\sum _{i}[\mathbf {r} _{i},\mathbf {p} _{i}]} {\mathbf {M}}=\sum _{i}[{\mathbf {r}}_{i},{\mathbf {p}}_{i}]
сохраняется. Эта величина и называется моментом импульса или просто моментом.
Вывод уравнений Лагранжа из Ньютоновской механики
Рассмотрим единственную частицу с массой m {\displaystyle m} m и радиус-вектором r {\displaystyle \mathbf {r} } \mathbf {r} . Предполагаем, что силовое поле F {\displaystyle \mathbf {F} } \mathbf {F} , в котором и под действием которого она совершает своё движение, может быть выражено как градиент скалярной функции — потенциальной энергии V ( r , t ) {\displaystyle V(\mathbf {r} ,\;t)} V({\mathbf {r}},\;t) (этому условию удовлетворяют, например, гравитационное и электрическое поле, и не удовлетворяют магнитные поля):
F = − ∇ V . {\displaystyle \mathbf {F} =-\nabla V.} {\mathbf {F}}=-\nabla V.
Такая сила не зависит от производных r {\displaystyle \mathbf {r} } \mathbf {r} , поэтому второй закон Ньютона формирует 3 обыкновенных дифференциальных уравнения второго порядка. Движение частицы может быть полностью описано тремя независимыми переменными, называемых степенями свободы. Очевидный набор переменных — { r j , r j ′ ∣ j = 1 , 2 , 3 } {\displaystyle \{r_{j},\;r'_{j}\mid j=1,\;2,\;3\}} \{r_{j},\;r'_{j}\mid j=1,\;2,\;3\} (декартовы компоненты r {\displaystyle \mathbf {r} } \mathbf {r} в данный момент времени).
Обобщая, мы можем работать с обобщёнными координатами, q j {\displaystyle q_{j}} q_{j}, и их производными, обобщёнными скоростями q j ′ {\displaystyle q'_{j}} q'_{j}. Радиус-вектор r {\displaystyle \mathbf {r} } \mathbf {r} связан с обобщёнными координатами некоторым уравнением преобразования:
r = r ( q i , t ) , i = 1 , … , N , {\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} (q_{i},\;t),\quad i=1,\;\ldots ,\;N,} {\mathbf {r}}={\mathbf {r}}(q_{i},\;t),\quad i=1,\;\ldots ,\;N,
где N {\displaystyle N} N — число степеней свободы системы.
Например, для плоского движения математического маятника длиной l {\displaystyle l} l логичным выбором обобщённой координаты будет угол отклонения θ {\displaystyle \theta } \theta от вертикали подвеса, для которого уравнения преобразования имеют вид
r ( θ , θ ′ , t ) = ( l sin θ , l cos θ ) . {\displaystyle \mathbf {r} (\theta ,\;\theta ',\;t)=(l\sin \theta ,\;l\cos \theta ).} {\mathbf {r}}(\theta ,\;\theta ',\;t)=(l\sin \theta ,\;l\cos \theta ).
Термин обобщённые координаты остался от того периода, когда Декартовы координаты были системой координат по умолчанию.
Рассмотримапапапаппаf {F} } \mathbf {F} , равна δ W = F ⋅ δ r {\displaystyle \delta W=\mathbf {F} \cdot \delta \mathbf {r} } \delta W={\mathbf {F}}\cdot \delta {\mathbf {r}}. Используя второй закон Ньютона, запишем:
m r ¨ ⋅ δ r = F ⋅ δ r . {\displaystyle m\mathbf {\ddot {r}} \cdot \delta \mathbf {r} =\mathbf {F} \cdot \delta \mathbf {r} .} m{\mathbf {{\ddot r}}}\cdot \delta {\mathbf {r}}={\mathbf {F}}\cdot \delta {\mathbf {r}}.
Перепишем это уравнение в терминах обобщённых координат и скоростей. С правой стороны равенства,
F ⋅ δ r = − g r a d V ⋅ ∑ i ∂ r ∂ q i δ q i = − ∑ i , j ∂ V ∂ r j ∂ r j ∂ q i δ q i = − ∑ i ∂ V ∂ q i δ q i . {\displaystyle {\begin{matrix}\mathbf {F} \cdot \delta \mathbf {r} &=&-\mathrm {grad} \,V\cdot \sum \limits _{i}\displaystyle {\partial \mathbf {r} \over \partial q_{i}}\delta q_{i}\\\\&=&-\sum \limits _{i,\;j}\displaystyle {\partial V \over \partial r_{j}}\displaystyle {\partial r_{j} \over \partial q_{i}}\delta q_{i}\\\\&=&-\sum \limits _{i}\displaystyle {\partial V \over \partial q_{i}}\delta q_{i}.\\\end{matrix}}} {\begin{matrix}{\mathbf {F}}\cdot \delta {\mathbf {r}}&=&-{\mathrm {grad}}\,V\cdot \sum \limits _{i}\displaystyle {\partial {\mathbf {r}} \over \partial q_{i}}\delta q_{i}\\\\&=&-\sum \limits _{{i,\;j}}\displaystyle {\partial V \over \partial r_{j}}\displaystyle {\partial r_{j} \over \partial q_{i}}\delt E=\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot q}_{i}}}{\dot {q_{i}}}-L=\sum _{i}p_{i}{\dot {q_{i}}}-L
называемая энергией системы не изменяется со временем. Это sum _{i}[{\mathbf {r}}_{i},{\mathbf {p}}_{i}]=0
Поскольку δ r {\displaystyle \delta \mathbf {r} } \delta {\mathbf {r}} — произвольна, то имеем
∑ i ∂ L ∂ r i = 0 {\displaystyle \sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i}}}=0} {\displaystyle \sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i}}}=0}>>252478167
>Фига бомбануло>>252478167
>>252478163
>>252478134
>>252478135
>>252478100
>>252478082>>252478432
>>252477655 (OP) (OP)
Пиздец этот поридж сгорел
>>252478492 >>252478553 >>252478569
Аноним 11/08/21 Срд 16:39:46 №252478433 49
>>252478374
проиграл с бумерка
>>252478476
Аноним 11/08/21 Срд 16:40:33 №252478476 50
>>252478433
Сам увидишь, мелкобуковка.
Аноним 11/08/21 Срд 16:40:46 №252478492 51
>>252478432
На то, что тред вайпает какой-то пердун ты не обращаешь внимание?
>Двачую, cорта говна
>споры о том что раньше было лучше или мы дети 21го века, наc не понимают перекочевали из ирл на двач
>>252478252
>Детектор чини, школотун.
>>252478135
>>Я твой уебанский новояз не понимаю, пиши по-русски.
>>употребляет слово плиз
>Ok, boomer
>>252478082
>Я твой уебанский новояз не понимаю, пиши по-русски.
>>252477809
>пердун, спок.
>>252477756
>Порридж, плиз, борда 18+.
>>252478163
>Пориджи, ну это выглядит как-то совсем уже убого. Хватит. Форс пориджей взлетел, форс вот этот вот что вы сейчас пытаетесь уныло зафорсить нет. Ну всё. Признайте уже свое поражение.
Подставляя данное равенство в уравнения Эйлера-Лагранжа, получим
d d t ( ∑ i ∂ L ∂ r i ˙ ) = 0 {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {r_{i}} }}}}\right)=0} {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {r_{i}} }}}}\right)=0}
Следовательно, выражение в скобках
P = ∑ i ∂ L ∂ v i = ∑ i m i v i {\displaystyle P=\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {v} _{i}}}=\sum _{i}m_{i}\mathbf {v} _{i}} P=\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\mathbf {v}}_{i}}}=\sum _{i}m_{i}{\mathbf {v}}_{i}
являющееся векторной величиной, называемой импульсом, сохраняется во времени. Это закон сохранения импульса.
Закон сохранения импульса системы частиц может быть сформулирован как равномерность и прямолинейность движения центра тяжести системы.
Закон сохранения момента импульса
Изотропность пространства означает инвариантность лагранжиана замкнутой механической системы относительно поворотов. Если определить по правилу винта вектор бесконечно малого поворота δ ϕ {\displaystyle \delta \mathbf {\phi } } \delta {\mathbf {\phi }}, то изменения радиус-вектора и вектора скорости будут равны векторным произведения вектора поворота на радиус вектор или вектор скорости соответственно:
δ r = [ δ ϕ , r ] {\displaystyle \delta \mathbf {r} =[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {r} ]} \delta {\mathbf {r}}=[\delta {\mathbf {\phi }},{\mathbf {r}}], δ v = [ δ ϕ , v ] {\displaystyle \delta \mathbf {v} =[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {v} ]} \delta {\mathbf {v}}=[\delta {\mathbf {\phi }},{\mathbf {v}}]
Неизменность лагранжиана означает, что
δ L = ∑ i ( ∂ L ∂ r i δ r i + ∂ L ∂ v i δ v i ) = ∑ i ( p ˙ i δ r i + p i δ v i ) = 0 {\displaystyle \delta L=\sum _{i}\left({\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i}}}\delta \mathbf {r} _{i}+{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {v} _{i}}}\delta \mathbf {v} _{i}\right)=\sum _{i}\left(\mathbf {\dot {p}} _{i}\delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {p} _{i}\delta \mathbf {v} _{i}\right)=0} {\displaystyle \delta L=\sum _{i}\left({\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i}}}\delta \mathbf {r} _{i}+{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {v} _{i}}}\delta \mathbf {v} _{i}\right)=\sum _{i}\left(\mathbf {\dot {p}} _{i}\delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {p} _{i}\delta \mathbf {v} _{i}\right)=0}
Подставляя сюда выражения для изменений радиус-вектора и вектора скорости получаем:
∑ i ( p ˙ i [ δ ϕ , r i ] + p i [ δ ϕ , v i ] ) = δ ϕ ∑ i ( [ r i , p ˙ i ] + [ v i , p i ] ) = δ ϕ ∑ i d [ r i , p i ] d t = 0 {\displaystyle \sum _{i}\left({\dot {\mathbf {p} }}_{i}[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {r} _{i}]+\mathbf {p} _{i}[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {v} _{i}]\right)=\delta \phi \sum _{i}\left([\mathbf {r} _{i},{\dot {\mathbf {p} }}_{i}]+[\mathbf {v} _{i},\mathbf {p} _{i}]\right)=\delta \phi \sum _{i}{\frac {d[\mathbf {r} _{i},\mathbf {p} _{i}]}{dt}}=0} {\displaystyle \sum _{i}\left({\dot {\mathbf {p} }}_{i}[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {r} _{i}]+\mathbf {p} _{i}[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {v} _{i}]\right)=\delta \phi \sum _{i}\left([\mathbf {r} _{i},{\dot {\mathbf {p} }}_{i}]+[\mathbf {v} _{i},\mathbf {p} _{i}]\right)=\delta \phi \sum _{i}{\frac {d[\mathbf {r} _{i},\mathbf {p} _{i}]}{dt}}=0}
Учитывая произвольность вектора поворота окончательно можно записать
d d t ∑ i [ r i , p i ] = 0 {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\sum _{i}[\mathbf {r} _{i},\mathbf {p} _{i}]=0} {\frac {d}{dt}}\sum _{i}[{\mathbf {r}}_{i},{\mathbf {p}}_{i}]=0
Это означает, что векторная величина
M = ∑ i [ r i , p i ] {\displaystyle \mathbf {M} =\sum _{i}[\mathbf {r} _{i},\mathbf {p} _{i}]} {\mathbf {M}}=\sum _{i}[{\mathbf {r}}_{i},{\mathbf {p}}_{i}]
сохраняется. Эта величина и называется моментом импульса или просто моментом.
Вывод уравнений Лагранжа из Ньютоновской механики
Рассмотрим единственную частицу с массой m {\displaystyle m} m и радиус-вектором r {\displaystyle \mathbf {r} } \mathbf {r} . Предполагаем, что силовое поле F {\displaystyle \mathbf {F} } \mathbf {F} , в котором и под действием которого она совершает своё движение, может быть выражено как градиент скалярной функции — потенциальной энергии V ( r , t ) {\displaystyle V(\mathbf {r} ,\;t)} V({\mathbf {r}},\;t) (этому условию удовлетворяют, например, гравитационное и электрическое поле, и не удовлетворяют магнитные поля):
F = − ∇ V . {\displaystyle \mathbf {F} =-\nabla V.} {\mathbf {F}}=-\nabla V.
Такая сила не зависит от производных r {\displaystyle \mathbf {r} } \mathbf {r} , поэтому второй закон Ньютона формирует 3 обыкновенных дифференциальных уравнения второго порядка. Движение частицы может быть полностью описано тремя независимыми переменными, называемых степенями свободы. Очевидный набор переменных — { r j , r j ′ ∣ j = 1 , 2 , 3 } {\displaystyle \{r_{j},\;r'_{j}\mid j=1,\;2,\;3\}} \{r_{j},\;r'_{j}\mid j=1,\;2,\;3\} (декартовы компоненты r {\displaystyle \mathbf {r} } \mathbf {r} в данный момент времени).
Обобщая, мы можем работать с обобщёнными координатами, q j {\displaystyle q_{j}} q_{j}, и их производными, обобщёнными скоростями q j ′ {\displaystyle q'_{j}} q'_{j}. Радиус-вектор r {\displaystyle \mathbf {r} } \mathbf {r} связан с обобщёнными координатами некоторым уравнением преобразования:
r = r ( q i , t ) , i = 1 , … , N , {\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} (q_{i},\;t),\quad i=1,\;\ldots ,\;N,} {\mathbf {r}}={\mathbf {r}}(q_{i},\;t),\quad i=1,\;\ldots ,\;N,
где N {\displaystyle N} N — число степеней свободы системы.
Например, для плоского движения математического маятника длиной l {\displaystyle l} l логичным выбором обобщённой координаты будет угол отклонения θ {\displaystyle \theta } \theta от вертикали подвеса, для которого уравнения преобразования имеют вид
r ( θ , θ ′ , t ) = ( l sin θ , l cos θ ) . {\displaystyle \mathbf {r} (\theta ,\;\theta ',\;t)=(l\sin \theta ,\;l\cos \theta ).} {\mathbf {r}}(\theta ,\;\theta ',\;t)=(l\sin \theta ,\;l\cos \theta ).
Термин обобщённые координаты остался от того периода, когда Декартовы координаты были системой координат по умолчанию.
Рассмотримапапапаппаf {F} } \mathbf {F} , равна δ W = F ⋅ δ r {\displaystyle \delta W=\mathbf {F} \cdot \delta \mathbf {r} } \delta W={\mathbf {F}}\cdot \delta {\mathbf {r}}. Используя второй закон Ньютона, запишем:
m r ¨ ⋅ δ r = F ⋅ δ r . {\displaystyle m\mathbf {\ddot {r}} \cdot \delta \mathbf {r} =\mathbf {F} \cdot \delta \mathbf {r} .} m{\mathbf {{\ddot r}}}\cdot \delta {\mathbf {r}}={\mathbf {F}}\cdot \delta {\mathbf {r}}.
Перепишем это уравнение в терминах обобщённых координат и скоростей. С правой стороны равенства,
F ⋅ δ r = − g r a d V ⋅ ∑ i ∂ r ∂ q i δ q i = − ∑ i , j ∂ V ∂ r j ∂ r j ∂ q i δ q i = − ∑ i ∂ V ∂ q i δ q i . {\displaystyle {\begin{matrix}\mathbf {F} \cdot \delta \mathbf {r} &=&-\mathrm {grad} \,V\cdot \sum \limits _{i}\displaystyle {\partial \mathbf {r} \over \partial q_{i}}\delta q_{i}\\\\&=&-\sum \limits _{i,\;j}\displaystyle {\partial V \over \partial r_{j}}\displaystyle {\partial r_{j} \over \partial q_{i}}\delta q_{i}\\\\&=&-\sum \limits _{i}\displaystyle {\partial V \over \partial q_{i}}\delta q_{i}.\\\end{matrix}}} {\begin{matrix}{\mathbf {F}}\cdot \delta {\mathbf {r}}&=&-{\mathrm {grad}}\,V\cdot \sum \limits _{i}\displaystyle {\partial {\mathbf {r}} \over \partial q_{i}}\delta q_{i}\\\\&=&-\sum \limits _{{i,\;j}}\displaystyle {\partial V \over \partial r_{j}}\displaystyle {\partial r_{j} \over \partial q_{i}}\delt E=\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot q}_{i}}}{\dot {q_{i}}}-L=\sum _{i}p_{i}{\dot {q_{i}}}-L
называемая энергией системы не изменяется со временем. Это sum _{i}[{\mathbf {r}}_{i},{\mathbf {p}}_{i}]=0
Поскольку δ r {\displaystyle \delta \mathbf {r} } \delta {\mathbf {r}} — произвольна, то имеем
∑ i ∂ L ∂ r i = 0 {\displaystyle \sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i}}}=0} {\displaystyle \sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i}}}=0}>>252478167
>Фига бомбануло>>252478167
>>252478163
>>252478134
>>252478135
>>252478100
>>252478082>>252478432
>>252477655 (OP) (OP)
Пиздец этот поридж сгорел
>>252478492 >>252478553 >>252478569
Аноним 11/08/21 Срд 16:39:46 №252478433 49
>>252478374
проиграл с бумерка
>>252478476
Аноним 11/08/21 Срд 16:40:33 №252478476 50
>>252478433
Сам увидишь, мелкобуковка.
Аноним 11/08/2 >>252478627
>скиньте картинку где пориджа в футболке фортнайт трахает бумер
>>252477655 (OP)
>ПЕРДУН
>Какого хуя бумерков на двоще называют ГРЕЧЕЙ? Пердун - погоняло бумерков
1 Срд 16:40:46 №252478492 51
>>252478432
На то, что тред вайпает какой-то пердун ты не обращаешь внимание?
>Двачую, cорта говна
>споры о том что раньше было лучше или мы дети 21го века, наc не понимают перекочевали из ирл на двач
>>252478252
>Детектор чини, школотун.
>>252478135
>>Я твой уебанский новояз не понимаю, пиши по-русски.
>>употребляет слово плиз
>Ok, boomer
>>252478082
>Я твой уебанский новояз не понимаю, пиши по-русски.
>>252477809
>пердун, спок.
>>252477756
>Порридж, плиз, борда 18+.
>>252478163
>Пориджи, ну это выглядит как-то совсем уже убого. Хватит. Форс пориджей взлетел, форс вот этот вот что вы сейчас пытаетесь уныло зафорсить нет. Ну всё. Признайте уже свое поражение.
Подставляя данное равенство в уравнения Эйлера-Лагранжа, получим
d d t ( ∑ i ∂ L ∂ r i ˙ ) = 0 {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {r_{i}} }}}}\right)=0} {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {r_{i}} }}}}\right)=0}
Следовательно, выражение в скобках
P = ∑ i ∂ L ∂ v i = ∑ i m i v i {\displaystyle P=\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {v} _{i}}}=\sum _{i}m_{i}\mathbf {v} _{i}} P=\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\mathbf {v}}_{i}}}=\sum _{i}m_{i}{\mathbf {v}}_{i}
являющееся векторной величиной, называемой импульсом, сохраняется во времени. Это закон сохранения импульса.
Закон сохранения импульса системы частиц может быть сформулирован как равномерность и прямолинейность движения центра тяжести системы.
Закон сохранения момента импульса
Изотропность пространства означает инвариантность лагранжиана замкнутой механической системы относительно поворотов. Если определить по правилу винта вектор бесконечно малого поворота δ ϕ {\displaystyle \delta \mathbf {\phi } } \delta {\mathbf {\phi }}, то изменения радиус-вектора и вектора скорости будут равны векторным произведения вектора поворота на радиус вектор или вектор скорости соответственно:
δ r = [ δ ϕ , r ] {\displaystyle \delta \mathbf {r} =[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {r} ]} \delta {\mathbf {r}}=[\delta {\mathbf {\phi }},{\mathbf {r}}], δ v = [ δ ϕ , v ] {\displaystyle \delta \mathbf {v} =[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {v} ]} \delta {\mathbf {v}}=[\delta {\mathbf {\phi }},{\mathbf {v}}]
Неизменность лагранжиана означает, что
δ L = ∑ i ( ∂ L ∂ r i δ r i + ∂ L ∂ v i δ v i ) = ∑ i ( p ˙ i δ r i + p i δ v i ) = 0 {\displaystyle \delta L=\sum _{i}\left({\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i}}}\delta \mathbf {r} _{i}+{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {v} _{i}}}\delta \mathbf {v} _{i}\right)=\sum _{i}\left(\mathbf {\dot {p}} _{i}\delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {p} _{i}\delta \mathbf {v} _{i}\right)=0} {\displaystyle \delta L=\sum _{i}\left({\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i}}}\delta \mathbf {r} _{i}+{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {v} _{i}}}\delta \mathbf {v} _{i}\right)=\sum _{i}\left(\mathbf {\dot {p}} _{i}\delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {p} _{i}\delta \mathbf {v} _{i}\right)=0}
Подставляя сюда выражения для изменений радиус-вектора и вектора скорости получаем:
∑ i ( p ˙ i [ δ ϕ , r i ] + p i [ δ ϕ , v i ] ) = δ ϕ ∑ i ( [ r i , p ˙ i ] + [ v i , p i ] ) = δ ϕ ∑ i d [ r i , p i ] d t = 0 {\displaystyle \sum _{i}\left({\dot {\mathbf {p} }}_{i}[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {r} _{i}]+\mathbf {p} _{i}[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {v} _{i}]\right)=\delta \phi \sum _{i}\left([\mathbf {r} _{i},{\dot {\mathbf {p} }}_{i}]+[\mathbf {v} _{i},\mathbf {p} _{i}]\right)=\delta \phi \sum _{i}{\frac {d[\mathbf {r} _{i},\mathbf {p} _{i}]}{dt}}=0} {\displaystyle \sum _{i}\left({\dot {\mathbf {p} }}_{i}[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {r} _{i}]+\mathbf {p} _{i}[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {v} _{i}]\right)=\delta \phi \sum _{i}\left([\mathbf {r} _{i},{\dot {\mathbf {p} }}_{i}]+[\mathbf {v} _{i},\mathbf {p} _{i}]\right)=\delta \phi \sum _{i}{\frac {d[\mathbf {r} _{i},\mathbf {p} _{i}]}{dt}}=0}
Учитывая произвольность вектора поворота окончательно можно записать
d d t ∑ i [ r i , p i ] = 0 {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\sum _{i}[\mathbf {r} _{i},\mathbf {p} _{i}]=0} {\frac {d}{dt}}\sum _{i}[{\mathbf {r}}_{i},{\mathbf {p}}_{i}]=0
Это означает, что векторная величина
M = ∑ i [ r i , p i ] {\displaystyle \mathbf {M} =\sum _{i}[\mathbf {r} _{i},\mathbf {p} _{i}]} {\mathbf {M}}=\sum _{i}[{\mathbf {r}}_{i},{\mathbf {p}}_{i}]
сохраняется. Эта величина и называется моментом импульса или просто моментом.
Вывод уравнений Лагранжа из Ньютоновской механики
Рассмотрим единственную частицу с массой m {\displaystyle m} m и радиус-вектором r {\displaystyle \mathbf {r} } \mathbf {r} . Предполагаем, что силовое поле F {\displaystyle \mathbf {F} } \mathbf {F} , в котором и под действием которого она совершает своё движение, может быть выражено как градиент скалярной функции — потенциальной энергии V ( r , t ) {\displaystyle V(\mathbf {r} ,\;t)} V({\mathbf {r}},\;t) (этому условию удовлетворяют, например, гравитационное и электрическое поле, и не удовлетворяют магнитные поля):
F = − ∇ V . {\displaystyle \mathbf {F} =-\nabla V.} {\mathbf {F}}=-\nabla V.
Такая сила не зависит от производных r {\displaystyle \mathbf {r} } \mathbf {r} , поэтому второй закон Ньютона формирует 3 обыкновенных дифференциальных уравнения второго порядка. Движение частицы может быть полностью описано тремя независимыми переменными, называемых степенями свободы. Очевидный набор переменных — { r j , r j ′ ∣ j = 1 , 2 , 3 } {\displaystyle \{r_{j},\;r'_{j}\mid j=1,\;2,\;3\}} \{r_{j},\;r'_{j}\mid j=1,\;2,\;3\} (декартовы компоненты r {\displaystyle \mathbf {r} } \mathbf {r} в данный момент времени).
Обобщая, мы можем работать с обобщёнными координатами, q j {\displaystyle q_{j}} q_{j}, и их производными, обобщёнными скоростями q j ′ {\displaystyle q'_{j}} q'_{j}. Радиус-вектор r {\displaystyle \mathbf {r} } \mathbf {r} связан с обобщёнными координатами некоторым уравнением преобразования:
r = r ( q i , t ) , i = 1 , … , N , {\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} (q_{i},\;t),\quad i=1,\;\ldots ,\;N,} {\mathbf {r}}={\mathbf {r}}(q_{i},\;t),\quad i=1,\;\ldots ,\;N,
где N {\displaystyle N} N — число степеней свободы системы.
Например, для плоского движения математического маятника длиной l {\displaystyle l} l логичным выбором обобщённой координаты будет угол отклонения θ {\displaystyle \theta } \theta от вертикали подвеса, для которого уравнения преобразования имеют вид
r ( θ , θ ′ , t ) = ( l sin θ , l cos θ ) . {\displaystyle \mathbf {r} (\theta ,\;\theta ',\;t)=(l\sin \theta ,\;l\cos \theta ).} {\mathbf {r}}(\theta ,\;\theta ',\;t)=(l\sin \theta ,\;l\cos \theta ).
Термин обобщённые координаты остался от того периода, когда Декартовы координаты были системой координат по умолчанию.
Рассмотримапапапаппаf {F} } \mathbf {F} , равна δ W = F ⋅ δ r {\displaystyle \delta W=\mathbf {F} \cdot \delta \mathbf {r} } \delta W={\mathbf {F}}\cdot \delta {\mathbf {r}}. Используя второй закон Ньютона, запишем:
m r ¨ ⋅ δ r = F ⋅ δ r . {\displaystyle m\mathbf {\ddot {r}} \cdot \delta \mathbf {r} =\mathbf {F} \cdot \delta \mathbf {r} .} m{\mathbf {{\ddot r}}}\cdot \delta {\mathbf {r}}={\mathbf {F}}\cdot \delta {\mathbf {r}}.
Перепишем это уравнение в терминах обобщённых координат и скоростей. С правой стороны равенства,
F ⋅ δ r = − g r a d V ⋅ ∑ i ∂ r ∂ q i δ q i = − ∑ i , j ∂ V ∂ r j ∂ r j ∂ q i δ q i = − ∑ i ∂ V ∂ q i δ q i . {\displaystyle {\begin{matrix}\mathbf {F} \cdot \delta \mathbf {r} &=&-\mathrm {grad} \,V\cdot \sum \limits _{i}\displaystyle {\partial \mathbf {r} \over \partial q_{i}}\delta q_{i}\\\\&=&-\sum \limits _{i,\;j}\displaystyle {\partial V \over \partial r_{j}}\displaystyle {\partial r_{j} \over \partial q_{i}}\delta q_{i}\\\\&=&-\sum \limits _{i}\displaystyle {\partial V \over \partial q_{i}}\delta q_{i}.\\\end{matrix}}} {\begin{matrix}{\mathbf {F}}\cdot \delta {\mathbf {r}}&=&-{\mathrm {grad}}\,V\cdot \sum \limits _{i}\displaystyle {\partial {\mathbf {r}} \over \partial q_{i}}\delta q_{i}\\\\&=&-\sum \limits _{{i,\;j}}\displaystyle {\partial V \over \partial r_{j}}\displaystyle {\partial r_{j} \over \partial q_{i}}\delt E=\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot q}_{i}}}{\dot {q_{i}}}-L=\sum _{i}p_{i}{\dot {q_{i}}}-L
называемая энергией системы не изменяется со временем. Это sum _{i}[{\mathbf {r}}_{i},{\mathbf {p}}_{i}]=0
Поскольку δ r {\displaystyle \delta \mathbf {r} } \delta {\mathbf {r}} — произвольна, то имеем
∑ i ∂ L ∂ r i = 0 {\displaystyle \sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i}}}=0} {\displaystyle \sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i}}}=0}>>252478167
>Фига бомбануло>>252478167
>>252478163
>>252478134
>>252478135
>>252478100
>>252478082>>252478432
>>252477655 (OP) (OP)
Пиздец этот поридж сгорел
>>252478492 >>252478553 >>252478569
Аноним 11/08/21 Срд 16:39:46 №252478433 49
>>252478374
проиграл с бумерка
>>252478476
Аноним 11/08/21 Срд 16:40:33 №252478476 50
>>252478433
Сам увидишь, мелкобуковка.
Аноним 11/08/21 Срд 16:40:46 №252478492 51
>>252478432
На то, что тред вайпает какой-то пердун ты не обращаешь внимание?
>Двачую, cорта говна
>споры о том что раньше было лучше или мы дети 21го века, наc не понимают перекочевали из ирл на двач
>>252478252
>Детектор чини, школотун.
>>252478135
>>Я твой уебанский новояз не понимаю, пиши по-русски.
>>употребляет слово плиз
>Ok, boomer
>>252478082
>Я твой уебанский новояз не понимаю, пиши по-русски.
>>252477809
>пердун, спок.
>>252477756
>Порридж, плиз, борда 18+.
>>252478163
>Пориджи, ну это выглядит как-то совсем уже убого. Хватит. Форс пориджей взлетел, форс вот этот вот что вы сейчас пытаетесь уныло зафорсить нет. Ну всё. Признайте уже свое поражение.
Подставляя данное равенство в уравнения Эйлера-Лагранжа, получим
d d t ( ∑ i ∂ L ∂ r i ˙ ) = 0 {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {r_{i}} }}}}\right)=0} {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {r_{i}} }}}}\right)=0}
Следовательно, выражение в скобках
P = ∑ i ∂ L ∂ v i = ∑ i m i v i {\displaystyle P=\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {v} _{i}}}=\sum _{i}m_{i}\mathbf {v} _{i}} P=\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\mathbf {v}}_{i}}}=\sum _{i}m_{i}{\mathbf {v}}_{i}
являющееся векторной величиной, называемой импульсом, сохраняется во времени. Это закон сохранения импульса.
Закон сохранения импульса системы частиц может быть сформулирован как равномерность и прямолинейность движения центра тяжести системы.
Закон сохранения момента импульса
Изотропность пространства означает инвариантность лагранжиана замкнутой механической системы относительно поворотов. Если определить по правилу винта вектор бесконечно малого поворота δ ϕ {\displaystyle \delta \mathbf {\phi } } \delta {\mathbf {\phi }}, то изменения радиус-вектора и вектора скорости будут равны векторным произведения вектора поворота на радиус вектор или вектор скорости соответственно:
δ r = [ δ ϕ , r ] {\displaystyle \delta \mathbf {r} =[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {r} ]} \delta {\mathbf {r}}=[\delta {\mathbf {\phi }},{\mathbf {r}}], δ v = [ δ ϕ , v ] {\displaystyle \delta \mathbf {v} =[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {v} ]} \delta {\mathbf {v}}=[\delta {\mathbf {\phi }},{\mathbf {v}}]
Неизменность лагранжиана означает, что
δ L = ∑ i ( ∂ L ∂ r i δ r i + ∂ L ∂ v i δ v i ) = ∑ i ( p ˙ i δ r i + p i δ v i ) = 0 {\displaystyle \delta L=\sum _{i}\left({\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i}}}\delta \mathbf {r} _{i}+{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {v} _{i}}}\delta \mathbf {v} _{i}\right)=\sum _{i}\left(\mathbf {\dot {p}} _{i}\delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {p} _{i}\delta \mathbf {v} _{i}\right)=0} {\displaystyle \delta L=\sum _{i}\left({\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i}}}\delta \mathbf {r} _{i}+{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {v} _{i}}}\delta \mathbf {v} _{i}\right)=\sum _{i}\left(\mathbf {\dot {p}} _{i}\delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {p} _{i}\delta \mathbf {v} _{i}\right)=0}
Подставляя сюда выражения для изменений радиус-вектора и вектора скорости получаем:
∑ i ( p ˙ i [ δ ϕ , r i ] + p i [ δ ϕ , v i ] ) = δ ϕ ∑ i ( [ r i , p ˙ i ] + [ v i , p i ] ) = δ ϕ ∑ i d [ r i , p i ] d t = 0 {\displaystyle \sum _{i}\left({\dot {\mathbf {p} }}_{i}[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {r} _{i}]+\mathbf {p} _{i}[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {v} _{i}]\right)=\delta \phi \sum _{i}\left([\mathbf {r} _{i},{\dot {\mathbf {p} }}_{i}]+[\mathbf {v} _{i},\mathbf {p} _{i}]\right)=\delta \phi \sum _{i}{\frac {d[\mathbf {r} _{i},\mathbf {p} _{i}]}{dt}}=0} {\displaystyle \sum _{i}\left({\dot {\mathbf {p} }}_{i}[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {r} _{i}]+\mathbf {p} _{i}[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {v} _{i}]\right)=\delta \phi \sum _{i}\left([\mathbf {r} _{i},{\dot {\mathbf {p} }}_{i}]+[\mathbf {v} _{i},\mathbf {p} _{i}]\right)=\delta \phi \sum _{i}{\frac {d[\mathbf {r} _{i},\mathbf {p} _{i}]}{dt}}=0}
Учитывая произвольность вектора поворота окончательно можно записать
d d t ∑ i [ r i , p i ] = 0 {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\sum _{i}[\mathbf {r} _{i},\mathbf {p} _{i}]=0} {\frac {d}{dt}}\sum _{i}[{\mathbf {r}}_{i},{\mathbf {p}}_{i}]=0
Это означает, что векторная величина
M = ∑ i [ r i , p i ] {\displaystyle \mathbf {M} =\sum _{i}[\mathbf {r} _{i},\mathbf {p} _{i}]} {\mathbf {M}}=\sum _{i}[{\mathbf {r}}_{i},{\mathbf {p}}_{i}]
сохраняется. Эта величина и называется моментом импульса или просто моментом.
Вывод уравнений Лагранжа из Ньютоновской механики
Рассмотрим единственную частицу с массой m {\displaystyle m} m и радиус-вектором r {\displaystyle \mathbf {r} } \mathbf {r} . Предполагаем, что силовое поле F {\displaystyle \mathbf {F} } \mathbf {F} , в котором и под действием которого она совершает своё движение, может быть выражено как градиент скалярной функции — потенциальной энергии V ( r , t ) {\displaystyle V(\mathbf {r} ,\;t)} V({\mathbf {r}},\;t) (этому условию удовлетворяют, например, гравитационное и электрическое поле, и не удовлетворяют магнитные поля):
F = − ∇ V . {\displaystyle \mathbf {F} =-\nabla V.} {\mathbf {F}}=-\nabla V.
Такая сила не зависит от производных r {\displaystyle \mathbf {r} } \mathbf {r} , поэтому второй закон Ньютона формирует 3 обыкновенных дифференциальных уравнения второго порядка. Движение частицы может быть полностью описано тремя независимыми переменными, называемых степенями свободы. Очевидный набор переменных — { r j , r j ′ ∣ j = 1 , 2 , 3 } {\displaystyle \{r_{j},\;r'_{j}\mid j=1,\;2,\;3\}} \{r_{j},\;r'_{j}\mid j=1,\;2,\;3\} (декартовы компоненты r {\displaystyle \mathbf {r} } \mathbf {r} в данный момент времени).
Обобщая, мы можем работать с обобщёнными координатами, q j {\displaystyle q_{j}} q_{j}, и их производными, обобщёнными скоростями q j ′ {\displaystyle q'_{j}} q'_{j}. Радиус-вектор r {\displaystyle \mathbf {r} } \mathbf {r} связан с обобщёнными координатами некоторым уравнением преобразования:
r = r ( q i , t ) , i = 1 , … , N , {\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} (q_{i},\;t),\quad i=1,\;\ldots ,\;N,} {\mathbf {r}}={\mathbf {r}}(q_{i},\;t),\quad i=1,\;\ldots ,\;N,
где N {\displaystyle N} N — число степеней свободы системы.
Например, для плоского движения математического маятника длиной l {\displaystyle l} l логичным выбором обобщённой координаты будет угол отклонения θ {\displaystyle \theta } \theta от вертикали подвеса, для которого уравнения преобразования имеют вид
r ( θ , θ ′ , t ) = ( l sin θ , l cos θ ) . {\displaystyle \mathbf {r} (\theta ,\;\theta ',\;t)=(l\sin \theta ,\;l\cos \theta ).} {\mathbf {r}}(\theta ,\;\theta ',\;t)=(l\sin \theta ,\;l\cos \theta ).
Термин обобщённые координаты остался от того периода, когда Декартовы координаты были системой координат по умолчанию.
Рассмотримапапапаппаf {F} } \mathbf {F} , равна δ W = F ⋅ δ r {\displaystyle \delta W=\mathbf {F} \cdot \delta \mathbf {r} } \delta W={\mathbf {F}}\cdot \delta {\mathbf {r}}. Используя второй закон Ньютона, запишем:
m r ¨ ⋅ δ r = F ⋅ δ r . {\displaystyle m\mathbf {\ddot {r}} \cdot \delta \mathbf {r} =\mathbf {F} \cdot \delta \mathbf {r} .} m{\mathbf {{\ddot r}}}\cdot \delta {\mathbf {r}}={\mathbf {F}}\cdot \delta {\mathbf {r}}.
Перепишем это уравнение в терминах обобщённых координат и скоростей. С правой стороны равенства,
F ⋅ δ r = − g r a d V ⋅ ∑ i ∂ r ∂ q i δ q i = − ∑ i , j ∂ V ∂ r j ∂ r j ∂ q i δ q i = − ∑ i ∂ V ∂ q i δ q i . {\displaystyle {\begin{matrix}\mathbf {F} \cdot \delta \mathbf {r} &=&-\mathrm {grad} \,V\cdot \sum \limits _{i}\displaystyle {\partial \mathbf {r} \over \partial q_{i}}\delta q_{i}\\\\&=&-\sum \limits _{i,\;j}\displaystyle {\partial V \over \partial r_{j}}\displaystyle {\partial r_{j} \over \partial q_{i}}\delta q_{i}\\\\&=&-\sum \limits _{i}\displaystyle {\partial V \over \partial q_{i}}\delta q_{i}.\\\end{matrix}}} {\begin{matrix}{\mathbf {F}}\cdot \delta {\mathbf {r}}&=&-{\mathrm {grad}}\,V\cdot \sum \limits _{i}\displaystyle {\partial {\mathbf {r}} \over \partial q_{i}}\delta q_{i}\\\\&=&-\sum \limits _{{i,\;j}}\displaystyle {\partial V \over \partial r_{j}}\displaystyle {\partial r_{j} \over \partial q_{i}}\delt E=\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot q}_{i}}}{\dot {q_{i}}}-L=\sum _{i}p_{i}{\dot {q_{i}}}-L
называемая энергией системы не изменяется со временем. Это sum _{i}[{\mathbf {r}}_{i},{\mathbf {p}}_{i}]=0
Поскольку δ r {\displaystyle \delta \mathbf {r} } \delta {\mathbf {r}} — произвольна, то имеем
∑ i ∂ L ∂ r i = 0 {\displaystyle \sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i}}}=0} {\displaystyle \sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i}}}=0}>>252478167
>Фига бомбануло>>252478167
>>252478163
>>252478134
>>252478135
>>252478100
>>252478082>>252478432
>>252477655 (OP) (OP)
Пиздец этот поридж сгорел
>>252478492 >>252478553 >>252478569
Аноним 11/08/21 Срд 16:39:46 №252478433 49
>>252478374
проиграл с бумерка
>>252478476
Аноним 11/08/21 Срд 16:40:33 №252478476 50
>>252478433
Сам увидишь, мелкобуковка.
Аноним 11/08/21 Срд 16:40:46 №252478492 51
>>252478432
На то, что тред вайпает какой-то пердун ты не обращаешь внимание?
>Двачую, cорта говна
>споры о том что раньше было лучше или мы дети 21го века, наc не понимают перекочевали из ирл на двач
>>252478252
>Детектор чини, школотун.
>>252478135
>>Я твой уебанский новояз не понимаю, пиши по-русски.
>>употребляет слово плиз
>Ok, boomer
>>252478082
>Я твой уебанский новояз не понимаю, пиши по-русски.
>>252477809
>пердун, спок.
>>252477756
>Порридж, плиз, борда 18+.
>>252478163
>Пориджи, ну это выглядит как-то совсем уже убого. Хватит. Форс пориджей взлетел, форс вот этот вот что вы сейчас пытаетесь уныло зафорсить нет. Ну всё. Признайте уже свое поражение.
Подставляя данное равенство в уравнения Эйлера-Лагранжа, получим
d d t ( ∑ i ∂ L ∂ r i ˙ ) = 0 {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {r_{i}} }}}}\right)=0} {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {r_{i}} }}}}\right)=0}
Следовательно, выражение в скобках
P = ∑ i ∂ L ∂ v i = ∑ i m i v i {\displaystyle P=\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {v} _{i}}}=\sum _{i}m_{i}\mathbf {v} _{i}} P=\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\mathbf {v}}_{i}}}=\sum _{i}m_{i}{\mathbf {v}}_{i}
являющееся векторной величиной, называемой импульсом, сохраняется во времени. Это закон сохранения импульса.
Закон сохранения импульса системы частиц может быть сформулирован как равномерность и прямолинейность движения центра тяжести системы.
Закон сохранения момента импульса
Изотропность пространства означает инвариантность лагранжиана замкнутой механической системы относительно поворотов. Если определить по правилу винта вектор бесконечно малого поворота δ ϕ {\displaystyle \delta \mathbf {\phi } } \delta {\mathbf {\phi }}, то изменения радиус-вектора и вектора скорости будут равны векторным произведения вектора поворота на радиус вектор или вектор скорости соответственно:
δ r = [ δ ϕ , r ] {\displaystyle \delta \mathbf {r} =[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {r} ]} \delta {\mathbf {r}}=[\delta {\mathbf {\phi }},{\mathbf {r}}], δ v = [ δ ϕ , v ] {\displaystyle \delta \mathbf {v} =[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {v} ]} \delta {\mathbf {v}}=[\delta {\mathbf {\phi }},{\mathbf {v}}]
Неизменность лагранжиана означает, что
δ L = ∑ i ( ∂ L ∂ r i δ r i + ∂ L ∂ v i δ v i ) = ∑ i ( p ˙ i δ r i + p i δ v i ) = 0 {\displaystyle \delta L=\sum _{i}\left({\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i}}}\delta \mathbf {r} _{i}+{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {v} _{i}}}\delta \mathbf {v} _{i}\right)=\sum _{i}\left(\mathbf {\dot {p}} _{i}\delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {p} _{i}\delta \mathbf {v} _{i}\right)=0} {\displaystyle \delta L=\sum _{i}\left({\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i}}}\delta \mathbf {r} _{i}+{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {v} _{i}}}\delta \mathbf {v} _{i}\right)=\sum _{i}\left(\mathbf {\dot {p}} _{i}\delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {p} _{i}\delta \mathbf {v} _{i}\right)=0}
Подставляя сюда выражения для изменений радиус-вектора и вектора скорости получаем:
∑ i ( p ˙ i [ δ ϕ , r i ] + p i [ δ ϕ , v i ] ) = δ ϕ ∑ i ( [ r i , p ˙ i ] + [ v i , p i ] ) = δ ϕ ∑ i d [ r i , p i ] d t = 0 {\displaystyle \sum _{i}\left({\dot {\mathbf {p} }}_{i}[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {r} _{i}]+\mathbf {p} _{i}[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {v} _{i}]\right)=\delta \phi \sum _{i}\left([\mathbf {r} _{i},{\dot {\mathbf {p} }}_{i}]+[\mathbf {v} _{i},\mathbf {p} _{i}]\right)=\delta \phi \sum _{i}{\frac {d[\mathbf {r} _{i},\mathbf {p} _{i}]}{dt}}=0} {\displaystyle \sum _{i}\left({\dot {\mathbf {p} }}_{i}[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {r} _{i}]+\mathbf {p} _{i}[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {v} _{i}]\right)=\delta \phi \sum _{i}\left([\mathbf {r} _{i},{\dot {\mathbf {p} }}_{i}]+[\mathbf {v} _{i},\mathbf {p} _{i}]\right)=\delta \phi \sum _{i}{\frac {d[\mathbf {r} _{i},\mathbf {p} _{i}]}{dt}}=0}
Учитывая произвольность вектора поворота окончательно можно записать
d d t ∑ i [ r i , p i ] = 0 {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\sum _{i}[\mathbf {r} _{i},\mathbf {p} _{i}]=0} {\frac {d}{dt}}\sum _{i}[{\mathbf {r}}_{i},{\mathbf {p}}_{i}]=0
Это означает, что векторная величина
M = ∑ i [ r i , p i ] {\displaystyle \mathbf {M} =\sum _{i}[\mathbf {r} _{i},\mathbf {p} _{i}]} {\mathbf {M}}=\sum _{i}[{\mathbf {r}}_{i},{\mathbf {p}}_{i}]
сохраняется. Эта величина и называется моментом импульса или просто моментом.
Вывод уравнений Лагранжа из Ньютоновской механики
Рассмотрим единственную частицу с массой m {\displaystyle m} m и радиус-вектором r {\displaystyle \mathbf {r} } \mathbf {r} . Предполагаем, что силовое поле F {\displaystyle \mathbf {F} } \mathbf {F} , в котором и под действием которого она совершает своё движение, может быть выражено как градиент скалярной функции — потенциальной энергии V ( r , t ) {\displaystyle V(\mathbf {r} ,\;t)} V({\mathbf {r}},\;t) (этому условию удовлетворяют, например, гравитационное и электрическое поле, и не удовлетворяют магнитные поля):
F = − ∇ V . {\displaystyle \mathbf {F} =-\nabla V.} {\mathbf {F}}=-\nabla V.
Такая сила не зависит от производных r {\displaystyle \mathbf {r} } \mathbf {r} , поэтому второй закон Ньютона формирует 3 обыкновенных дифференциальных уравнения второго порядка. Движение частицы может быть полностью описано тремя независимыми переменными, называемых степенями свободы. Очевидный набор переменных — { r j , r j ′ ∣ j = 1 , 2 , 3 } {\displaystyle \{r_{j},\;r'_{j}\mid j=1,\;2,\;3\}} \{r_{j},\;r'_{j}\mid j=1,\;2,\;3\} (декартовы компоненты r {\displaystyle \mathbf {r} } \mathbf {r} в данный момент времени).
Обобщая, мы можем работать с обобщёнными координатами, q j {\displaystyle q_{j}} q_{j}, и их производными, обобщёнными скоростями q j ′ {\displaystyle q'_{j}} q'_{j}. Радиус-вектор r {\displaystyle \mathbf {r} } \mathbf {r} связан с обобщёнными координатами некоторым уравнением преобразования:
r = r ( q i , t ) , i = 1 , … , N , {\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} (q_{i},\;t),\quad i=1,\;\ldots ,\;N,} {\mathbf {r}}={\mathbf {r}}(q_{i},\;t),\quad i=1,\;\ldots ,\;N,
где N {\displaystyle N} N — число степеней свободы системы.
Например, для плоского движения математического маятника длиной l {\displaystyle l} l логичным выбором обобщённой координаты будет угол отклонения θ {\displaystyle \theta } \theta от вертикали подвеса, для которого уравнения преобразования имеют вид
r ( θ , θ ′ , t ) = ( l sin θ , l cos θ ) . {\displaystyle \mathbf {r} (\theta ,\;\theta ',\;t)=(l\sin \theta ,\;l\cos \theta ).} {\mathbf {r}}(\theta ,\;\theta ',\;t)=(l\sin \theta ,\;l\cos \theta ).
Термин обобщённые координаты остался от того периода, когда Декартовы координаты были системой координат по умолчанию.
Рассмотримапапапаппаf {F} } \mathbf {F} , равна δ W = F ⋅ δ r {\displaystyle \delta W=\mathbf {F} \cdot \delta \mathbf {r} } \delta W={\mathbf {F}}\cdot \delta {\mathbf {r}}. Используя второй закон Ньютона, запишем:
m r ¨ ⋅ δ r = F ⋅ δ r . {\displaystyle m\mathbf {\ddot {r}} \cdot \delta \mathbf {r} =\mathbf {F} \cdot \delta \mathbf {r} .} m{\mathbf {{\ddot r}}}\cdot \delta {\mathbf {r}}={\mathbf {F}}\cdot \delta {\mathbf {r}}.
Перепишем это уравнение в терминах обобщённых координат и скоростей. С правой стороны равенства,
F ⋅ δ r = − g r a d V ⋅ ∑ i ∂ r ∂ q i δ q i = − ∑ i , j ∂ V ∂ r j ∂ r j ∂ q i δ q i = − ∑ i ∂ V ∂ q i δ q i . {\displaystyle {\begin{matrix}\mathbf {F} \cdot \delta \mathbf {r} &=&-\mathrm {grad} \,V\cdot \sum \limits _{i}\displaystyle {\partial \mathbf {r} \over \partial q_{i}}\delta q_{i}\\\\&=&-\sum \limits _{i,\;j}\displaystyle {\partial V \over \partial r_{j}}\displaystyle {\partial r_{j} \over \partial q_{i}}\delta q_{i}\\\\&=&-\sum \limits _{i}\displaystyle {\partial V \over \partial q_{i}}\delta q_{i}.\\\end{matrix}}} {\begin{matrix}{\mathbf {F}}\cdot \delta {\mathbf {r}}&=&-{\mathrm {grad}}\,V\cdot \sum \limits _{i}\displaystyle {\partial {\mathbf {r}} \over \partial q_{i}}\delta q_{i}\\\\&=&-\sum \limits _{{i,\;j}}\displaystyle {\partial V \over \partial r_{j}}\displaystyle {\partial r_{j} \over \partial q_{i}}\delt E=\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot q}_{i}}}{\dot {q_{i}}}-L=\sum _{i}p_{i}{\dot {q_{i}}}-L
называемая энергией системы не изменяется со временем. Это sum _{i}[{\mathbf {r}}_{i},{\mathbf {p}}_{i}]=0
Поскольку δ r {\displaystyle \delta \mathbf {r} } \delta {\mathbf {r}} — произвольна, то имеем
∑ i ∂ L ∂ r i = 0 {\displaystyle \sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i}}}=0} {\displaystyle \sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i}}}=0}>>252478167
>Фига бомбануло>>252478167
>>252478163
>>252478134
>>252478135
>>252478100
>>252478082>>252478432
>>252477655 (OP) (OP)
Пиздец этот поридж сгорел
>>252478492 >>252478553 >>252478569
Аноним 11/08/21 Срд 16:39:46 №252478433 49
>>252478374
проиграл с бум ерка
>>252478476
Аноним 11/08/21 Срд 16:40:33 №252478476 50
>>252478433
Сам увидишь, мелкобуковка.
Аноним 11/08/21 Срд 16:40:46 №252478492 51
>>252478432
На то, что тред вай пает какой-то пердун ты не обращаешь внимание?
>Двачую, cорта говна
>споры о том что раньше было лучше или мы дети 21го века, наc не понимают перекочевали из ирл на двач
>>252478252
>Детектор чини, школотун.
>>252478135
>>Я твой уебанский новояз не понимаю, пиши по-русски.
>>употребляет слово плиз
>Ok, boomer
>>252478082
>Я твой уебанский новояз не понимаю, пиши по-русски.
>>252477809
>пердун, спок.
>>252477756
>Порридж, плиз, борда 18+.
>>252478163
>Пориджи, ну это выглядит как-то совсем уже убого. Хватит. Форс пориджей взлетел, форс вот этот вот что вы сейчас пытаетесь уныло зафорсить нет. Ну всё. Признайте уже свое поражение.
Подставляя данное равенство в уравнения Эйлера-Лагранжа, получим
d d t ( ∑ i ∂ L ∂ r i ˙ ) = 0 {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {r_{i}} }}}}\right)=0} {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {r_{i}} }}}}\right)=0}
Следовательно, выражение в скобках
P = ∑ i ∂ L ∂ v i = ∑ i m i v i {\displaystyle P=\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {v} _{i}}}=\sum _{i}m_{i}\mathbf {v} _{i}} P=\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\mathbf {v}}_{i}}}=\sum _{i}m_{i}{\mathbf {v}}_{i}
являющееся векторной величиной, называемой импульсом, сохраняется во времени. Это закон сохранения импульса.
Закон сохранения импульса системы частиц может быть сформулирован как равномерность и прямолинейность движения центра тяжести системы.
Закон сохранения момента импульса
Изотропность пространства означает инвариантность лагранжиана замкнутой механической системы относительно поворотов. Если определить по правилу винта вектор бесконечно малого поворота δ ϕ {\displaystyle \delta \mathbf {\phi } } \delta {\mathbf {\phi }}, то изменения радиус-вектора и вектора скорости будут равны векторным произведения вектора поворота на радиус вектор или вектор скорости соответственно:
δ r = [ δ ϕ , r ] {\displaystyle \delta \mathbf {r} =[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {r} ]} \delta {\mathbf {r}}=[\delta {\mathbf {\phi }},{\mathbf {r}}], δ v = [ δ ϕ , v ] {\displaystyle \delta \mathbf {v} =[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {v} ]} \delta {\mathbf {v}}=[\delta {\mathbf {\phi }},{\mathbf {v}}]
Неизменность лагранжиана означает, что
δ L = ∑ i ( ∂ L ∂ r i δ r i + ∂ L ∂ v i δ v i ) = ∑ i ( p ˙ i δ r i + p i δ v i ) = 0 {\displaystyle \delta L=\sum _{i}\left({\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i}}}\delta \mathbf {r} _{i}+{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {v} _{i}}}\delta \mathbf {v} _{i}\right)=\sum _{i}\left(\mathbf {\dot {p}} _{i}\delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {p} _{i}\delta \mathbf {v} _{i}\right)=0} {\displaystyle \delta L=\sum _{i}\left({\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i}}}\delta \mathbf {r} _{i}+{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {v} _{i}}}\delta \mathbf {v} _{i}\right)=\sum _{i}\left(\mathbf {\dot {p}} _{i}\delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {p} _{i}\delta \mathbf {v} _{i}\right)=0}
Подставляя сюда выражения для изменений радиус-вектора и вектора скорости получаем:
∑ i ( p ˙ i [ δ ϕ , r i ] + p i [ δ ϕ , v i ] ) = δ ϕ ∑ i ( [ r i , p ˙ i ] + [ v i , p i ] ) = δ ϕ ∑ i d [ r i , p i ] d t = 0 {\displaystyle \sum _{i}\left({\dot {\mathbf {p} }}_{i}[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {r} _{i}]+\mathbf {p} _{i}[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {v} _{i}]\right)=\delta \phi \sum _{i}\left([\mathbf {r} _{i},{\dot {\mathbf {p} }}_{i}]+[\mathbf {v} _{i},\mathbf {p} _{i}]\right)=\delta \phi \sum _{i}{\frac {d[\mathbf {r} _{i},\mathbf {p} _{i}]}{dt}}=0} {\displaystyle \sum _{i}\left({\dot {\mathbf {p} }}_{i}[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {r} _{i}]+\mathbf {p} _{i}[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {v} _{i}]\right)=\delta \phi \sum _{i}\left([\mathbf {r} _{i},{\dot {\mathbf {p} }}_{i}]+[\mathbf {v} _{i},\mathbf {p} _{i}]\right)=\delta \phi \sum _{i}{\frac {d[\mathbf {r} _{i},\mathbf {p} _{i}]}{dt}}=0}
Учитывая произвольность вектора поворота окончательно можно записать
d d t ∑ i [ r i , p i ] = 0 {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\sum _{i}[\mathbf {r} _{i},\mathbf {p} _{i}]=0} {\frac {d}{dt}}\sum _{i}[{\mathbf {r}}_{i},{\mathbf {p}}_{i}]=0
Это означает, что векторная величина
M = ∑ i [ r i , p i ] {\displaystyle \mathbf {M} =\sum _{i}[\mathbf {r} _{i},\mathbf {p} _{i}]} {\mathbf {M}}=\sum _{i}[{\mathbf {r}}_{i},{\mathbf {p}}_{i}]
сохраняется. Эта величина и называется моментом импульса или просто моментом.
Вывод уравнений Лагранжа из Ньютоновской механики
Рассмотрим единственную частицу с массой m {\displaystyle m} m и радиус-вектором r {\displaystyle \mathbf {r} } \mathbf {r} . Предполагаем, что силовое поле F {\displaystyle \mathbf {F} } \mathbf {F} , в котором и под действием которого она совершает своё движение, может быть выражено как градиент скалярной функции — потенциальной энергии V ( r , t ) {\displaystyle V(\mathbf {r} ,\;t)} V({\mathbf {r}},\;t) (этому условию удовлетворяют, например, гравитационное и электрическое поле, и не удовлетворяют магнитные поля):
F = − ∇ V . {\displaystyle \mathbf {F} =-\nabla V.} {\mathbf {F}}=-\nabla V.
Такая сила не зависит от производных r {\displaystyle \mathbf {r} } \mathbf {r} , поэтому второй закон Ньютона формирует 3 обыкновенных дифференциальных уравнения второго порядка. Движение частицы может быть полностью описано тремя независимыми переменными, называемых степенями свободы. Очевидный набор переменных — { r j , r j ′ ∣ j = 1 , 2 , 3 } {\displaystyle \{r_{j},\;r'_{j}\mid j=1,\;2,\;3\}} \{r_{j},\;r'_{j}\mid j=1,\;2,\;3\} (декартовы компоненты r {\displaystyle \mathbf {r} } \mathbf {r} в данный момент времени).
Обобщая, мы можем работать с обобщёнными координатами, q j {\displaystyle q_{j}} q_{j}, и их производными, обобщёнными скоростями q j ′ {\displaystyle q'_{j}} q'_{j}. Радиус-вектор r {\displaystyle \mathbf {r} } \mathbf {r} связан с обобщёнными координатами некоторым уравнением преобразования:
r = r ( q i , t ) , i = 1 , … , N , {\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} (q_{i},\;t),\quad i=1,\;\ldots ,\;N,} {\mathbf {r}}={\mathbf {r}}(q_{i},\;t),\quad i=1,\;\ldots ,\;N,
где N {\displaystyle N} N — число степеней свободы системы.
Например, для плоского движения математического маятника длиной l {\displaystyle l} l логичным выбором обобщённой координаты будет угол отклонения θ {\displaystyle \theta } \theta от вертикали подвеса, для которого уравнения преобразования имеют вид
r ( θ , θ ′ , t ) = ( l sin θ , l cos θ ) . {\displaystyle \mathbf {r} (\theta ,\;\theta ',\;t)=(l\sin \theta ,\;l\cos \theta ).} {\mathbf {r}}(\theta ,\;\theta ',\;t)=(l\sin \theta ,\;l\cos \theta ).
Термин обобщённые координаты остался от того периода, когда Декартовы координаты были системой координат по умолчанию.
Рассмотримапапапаппаf {F} } \mathbf {F} , равна δ W = F ⋅ δ r {\displaystyle \delta W=\mathbf {F} \cdot \delta \mathbf {r} } \delta W={\mathbf {F}}\cdot \delta {\mathbf {r}}. Используя второй закон Ньютона, запишем:
m r ¨ ⋅ δ r = F ⋅ δ r . {\displaystyle m\mathbf {\ddot {r}} \cdot \delta \mathbf {r} =\mathbf {F} \cdot \delta \mathbf {r} .} m{\mathbf {{\ddot r}}}\cdot \delta {\mathbf {r}}={\mathbf {F}}\cdot \delta {\mathbf {r}}.
Перепишем это уравнение в терминах обобщённых координат и скоростей. С правой стороны равенства,
F ⋅ δ r = − g r a d V ⋅ ∑ i ∂ r ∂ q i δ q i = − ∑ i , j ∂ V ∂ r j ∂ r j ∂ q i δ q i = − ∑ i ∂ V ∂ q i δ q i . {\displaystyle {\begin{matrix}\mathbf {F} \cdot \delta \mathbf {r} &=&-\mathrm {grad} \,V\cdot \sum \limits _{i}\displaysty le {\partial \mathbf {r} \over \partial q_{i}}\delta q_{i}\\\\&=&-\sum \limits _{i,\;j}\displaystyle {\partial V \over \partial r_{j}}\displaystyle {\partial r_{j} \over \partial q_{i}}\delta q_{i}\\\\&=&-\sum \limits _{i}\displaystyle {\partial V \over \partial q_{i}}\delta q_{i}.\\\end{matrix}}} {\begin{matrix}{\mathbf {F}}\cdot \delta {\mathbf {r}}&=&-{\mathrm {grad}}\,V\cdot \sum \limits _{i}\displaystyle {\partial {\mathbf {r}} \over \partial q_{i}}\delta q_{i}\\\\&=&-\sum \limits _{{i,\;j}}\displaystyle {\partial V \over \partial r_{j}}\displaystyle {\partial r_{j} \over \partial q_{i}}\delt E=\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot q}_{i}}}{\d ot {q_{i}}}-L=\sum _{i}p_{i}{\dot {q_{i}}}-L
называемая энергией системы не изменяется со временем. Это sum _{i}[{\mathbf {r}}_{i},{\mathbf {p}}_{i}]=0
Поскольку δ r {\displaystyle \delta \mathbf {r} } \delta {\mathbf {r}} — произвольна, то имеем
∑ i ∂ L ∂ r i = 0 {\displaystyle \sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i}}}=0} {\displaystyle \sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i}}}=0}>>252478167
>Фига бомбануло>>252478167
>>252478163
>>252478134
>>252478135
>>252478100
>>252478082>>252478432
>>252477655 (OP) (OP)
Пиздец этот поридж сгорел
>>252478492 >>252478553 >>252478569
Аноним 11/08/21 Срд 16:39:46 №252478433 49
>>252478374
проиграл с бумерка
>>252478476
Аноним 11/08/21 Срд 16:40:33 №252478476 50
>>252478433
Сам увидишь, мелкобуковка.
Аноним 11/08/21 Срд 16:40:46 №252478492 51
>>252478432
На то, что тред вайпает какой-то пердун ты не обращаешь внимание?
>Двачую, cорта говна
>споры о том что раньше было лучше или мы дети 21го века, наc не понимают перекочевали из ирл на двач
>>252478252
>Детектор чини, школотун.
>>252478135
>>Я твой уебанский новояз не понимаю, пиши по-русски.
>>употребляет слово плиз
>Ok, boomer
>>252478082
>Я твой уебанский новояз не понимаю, пиши по-русски.
>>252477809
>пердун, спок.
>>252477756
>Порридж, плиз, борда 18+.
>>252478163
>Пориджи, ну это выглядит как-то совсем уже убого. Хватит. Форс пориджей взлетел, форс вот этот вот что вы сейчас пытаетесь уныло зафорсить нет. Ну всё. Признайте уже свое поражение.
Подставляя данное равенство в уравнения Эйлера-Лагранжа, получим
d d t ( ∑ i ∂ L ∂ r i ˙ ) = 0 {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {r_{i}} }}}}\right)=0} {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {r_{i}} }}}}\right)=0}
Следовательно, выражение в скобках
P = ∑ i ∂ L ∂ v i = ∑ i m i v i {\displaystyle P=\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {v} _{i}}}=\sum _{i}m_{i}\mathbf {v} _{i}} P=\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\mathbf {v}}_{i}}}=\sum _{i}m_{i}{\mathbf {v}}_{i}
являющееся векторной величиной, называемой импульсом, сохраняется во времени. Это закон сохранения импульса.
Закон сохранения импульса системы частиц может быть сформулирован как равномерность и прямолинейность движения центра тяжести системы.
Закон сохранения момента импульса
Изотропность пространства означает инвариантность лагранжиана замкнутой механической системы относительно поворотов. Если определить по правилу винта вектор бесконечно малого поворота δ ϕ {\displaystyle \delta \mathbf {\phi } } \delta {\mathbf {\phi }}, то изменения радиус-вектора и вектора скорости будут равны векторным произведения вектора поворота на радиус вектор или вектор скорости соответственно:
δ r = [ δ ϕ , r ] {\displaystyle \delta \mathbf {r} =[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {r} ]} \delta {\mathbf {r}}=[\delta {\mathbf {\phi }},{\mathbf {r}}], δ v = [ δ ϕ , v ] {\displaystyle \delta \mathbf {v} =[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {v} ]} \delta {\mathbf {v}}=[\delta {\mathbf {\phi }},{\mathbf {v}}]
Неизменность лагранжиана означает, что
δ L = ∑ i ( ∂ L ∂ r i δ r i + ∂ L ∂ v i δ v i ) = ∑ i ( p ˙ i δ r i + p i δ v i ) = 0 {\displaystyle \delta L=\sum _{i}\left({\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i}}}\delta \mathbf {r} _{i}+{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {v} _{i}}}\delta \mathbf {v} _{i}\right)=\sum _{i}\left(\mathbf {\dot {p}} _{i}\delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {p} _{i}\delta \mathbf {v} _{i}\right)=0} {\displaystyle \delta L=\sum _{i}\left({\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i}}}\delta \mathbf {r} _{i}+{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {v} _{i}}}\delta \mathbf {v} _{i}\right)=\sum _{i}\left(\mathbf {\dot {p}} _{i}\delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {p} _{i}\delta \mathbf {v} _{i}\right)=0}
Подставляя сюда выражения для изменений радиус-вектора и вектора скорости получаем:
∑ i ( p ˙ i [ δ ϕ , r i ] + p i [ δ ϕ , v i ] ) = δ ϕ ∑ i ( [ r i , p ˙ i ] + [ v i , p i ] ) = δ ϕ ∑ i d [ r i , p i ] d t = 0 {\displaystyle \sum _{i}\left({\dot {\mathbf {p} }}_{i}[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {r} _{i}]+\mathbf {p} _{i}[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {v} _{i}]\right)=\delta \phi \sum _{i}\left([\mathbf {r} _{i},{\dot {\mathbf {p} }}_{i}]+[\mathbf {v} _{i},\mathbf {p} _{i}]\right)=\delta \phi \sum _{i}{\frac {d[\mathbf {r} _{i},\mathbf {p} _{i}]}{dt}}=0} {\displaystyle \sum _{i}\left({\dot {\mathbf {p} }}_{i}[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {r} _{i}]+\mathbf {p} _{i}[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {v} _{i}]\right)=\delta \phi \sum _{i}\left([\mathbf {r} _{i},{\dot {\mathbf {p} }}_{i}]+[\mathbf {v} _{i},\mathbf {p} _{i}]\right)=\delta \phi \sum _{i}{\frac {d[\mathbf {r} _{i},\mathbf {p} _{i}]}{dt}}=0}
Учитывая произвольность вектора поворота окончательно можно записать
d d t ∑ i [ r i , p i ] = 0 {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\sum _{i}[\mathbf {r} _{i},\mathbf {p} _{i}]=0} {\frac {d}{dt}}\sum _{i}[{\mathbf {r}}_{i},{\mathbf {p}}_{i}]=0
Это означает, что векторная величина
M = ∑ i [ r i , p i ] {\displaystyle \mathbf {M} =\sum _{i}[\mathbf {r} _{i},\mathbf {p} _{i}]} {\mathbf {M}}=\sum _{i}[{\mathbf {r}}_{i},{\mathbf {p}}_{i}]
сохраняется. Эта величина и называется моментом импульса или просто моментом.
Вывод уравнений Лагранжа из Ньютоновской механики
Рассмотрим единственную частицу с массой m {\displaystyle m} m и радиус-вектором r {\displaystyle \mathbf {r} } \mathbf {r} . Предполагаем, что силовое поле F {\displaystyle \mathbf {F} } \mathbf {F} , в котором и под действием которого она совершает своё движение, может быть выражено как градиент скалярной функции — потенциальной энергии V ( r , t ) {\displaystyle V(\mathbf {r} ,\;t)} V({\mathbf {r}},\;t) (этому условию удовлетворяют, например, гравитационное и электрическое поле, и не удовлетворяют магнитные поля):
F = − ∇ V . {\displaystyle \mathbf {F} =-\nabla V.} {\mathbf {F}}=-\nabla V.
Такая сила не зависит от производных r {\displaystyle \mathbf {r} } \mathbf {r} , поэтому второй закон Ньютона формирует 3 обыкновенных дифференциальных уравнения второго порядка. Движение частицы может быть полностью описано тремя независимыми переменными, называемых степенями свободы. Очевидный набор переменных — { r j , r j ′ ∣ j = 1 , 2 , 3 } {\displaystyle \{r_{j},\;r'_{j}\mid j=1,\;2,\;3\}} \{r_{j},\;r'_{j}\mid j=1,\;2,\;3\} (декартовы компоненты r {\displaystyle \mathbf {r} } \mathbf {r} в данный момент времени).
Обобщая, мы можем работать с обобщёнными координатами, q j {\displaystyle q_{j}} q_{j}, и их производными, обобщёнными скоростями q j ′ {\displaystyle q'_{j}} q'_{j}. Радиус-вектор r {\displaystyle \mathbf {r} } \mathbf {r} связан с обобщёнными координатами некоторым уравнением преобразования:
r = r ( q i , t ) , i = 1 , … , N , {\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} (q_{i},\;t),\quad i=1,\;\ldots ,\;N,} {\mathbf {r}}={\mathbf {r}}(q_{i},\;t),\quad i=1,\;\ldots ,\;N,
где N {\displaystyle N} N — число степеней свободы системы.
Например, для плоского движения математического маятника длиной l {\displaystyle l} l логичным выбором обобщённой координаты будет угол отклонения θ {\displaystyle \theta } \theta от вертикали подвеса, для которого уравнения преобразования имеют вид
r ( θ , θ ′ , t ) = ( l sin θ , l cos θ ) . {\displaystyle \mathbf {r} (\theta ,\;\theta ',\;t)=(l\sin \theta ,\;l\cos \theta ).} {\mathbf {r}}(\theta ,\;\theta ',\;t)=(l\sin \theta ,\;l\cos \theta ).
Термин обобщённые координаты остался от того периода, когда Декартовы координаты были системой координат по умолчанию.
Рассмотримапапапаппаf {F} } \mathbf {F} , равна δ W = F ⋅ δ r {\displaystyle \delta W=\mathbf {F} \cdot \delta \mathbf {r} } \delta W={\mathbf {F}}\cdot \delta {\mathbf {r}}. Используя второй закон Ньютона, запишем:
m r ¨ ⋅ δ r = F ⋅ δ r . {\displaystyle m\mathbf {\ddot {r}} \cdot \delta \mathbf {r} =\mathbf {F} \cdot \delta \mathbf {r} .} m{\mathbf {{\ddot r}}}\cdot \delta {\mathbf {r}}={\mathbf {F}}\cdot \delta {\mathbf {r}}.
Перепишем это уравнение в терминах обобщённых координат и скоростей. С правой стороны равенства,
F ⋅ δ r = − g r a d V ⋅ ∑ i ∂ r ∂ q i δ q i = − ∑ i , j ∂ V ∂ r j ∂ r j ∂ q i δ q i = − ∑ i ∂ V ∂ q i δ q i . {\displaystyle {\begin{matrix}\mathbf {F} \cdot \delta \mathbf {r} &=&-\mathrm {grad} \,V\cdot \sum \limits _{i}\displaystyle {\partial \mathbf {r} \over \partial q_{i}}\delta q_{i}\\\\&=&-\sum \limits _{i,\;j}\displaystyle {\partial V \over \partial r_{j}}\displaystyle {\partial r_{j} \over \partial q_{i}}\delta q_{i}\\\\&=&-\sum \limits _{i}\displaystyle {\partial V \over \partial q_{i}}\delta q_{i}.\\\end{matrix}}} {\begin{matrix}{\mathbf {F}}\cdot \delta {\mathbf {r}}&=&-{\mathrm {grad}}\,V\cdot \sum \limits _{i}\displaystyle {\partial {\mathbf {r}} \over \partial q_{i}}\delta q_{i}\\\\&=&-\sum \limits _{{i,\;j}}\displaystyle {\partial V \over \partial r_{j}}\displaystyle {\partial r_{j} \over \partial q_{i}}\delt E=\sum _{i}{\frac {\pa rtial L}{\partial {\dot q}_{i}}}{\dot {q_{i}}}-L=\sum _{i}p_{i}{\dot {q_{i}}}-L
называемая энергией системы не изменяется со временем. Это sum _{i}[{\mathbf {r}}_{i},{\mathbf {p}}_{i}]=0
Поскольку δ r {\displaystyle \delta \mathbf {r} } \delta {\mathbf {r}} — произвольна, то имеем
∑ i ∂ L ∂ r i = 0 {\displaystyle \sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i}}}=0} {\displaystyle \sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i}}}=0}>>252478167
>Фига бомбануло>>252478167
>>252478163
>>252478134
>>252478135
>>252478100
>>252478082>>252478432
>>252477655 (OP) (OP)
Пиздец этот поридж сгорел
>>252478492 >>252478553 >>252478569
Аноним 11/08/21 Срд 16:39:46 №252478433 49
>>252478374
проиграл с бумер ка
>>252478476
Аноним 11/08/21 Срд 16:40:33 №252478476 50
>>252478433
Сам увидишь, мелкобуковка.
Аноним 11/08/21 Срд 16:40:46 №252478492 51
>>252478432
На то, что тред вайпает какой-то пердун ты не обращаешь внимание?
>Двачую, cорта говна
>споры о том что раньше было лучше или мы дети 21го века, наc не понимают перекочевали из ирл на двач
>>252478252
>Детектор чини, школотун.
>>252478135
>>Я твой уебанский новояз не понимаю, пиши по-русски.
>>употребляет слово плиз
>Ok, boomer
>>252478082
>Я твой уебанский новояз не понимаю, пиши по-русски.
>>252477809
>пердун, спок.
>>252477756
>Порридж, плиз, борда 18+.
>>252478163
>Пориджи, ну это выглядит как-то совсем уже убого. Хватит. Форс пориджей взлетел, форс вот этот вот что вы сейчас пытаетесь уныло зафорсить нет. Ну всё. Признайте уже свое поражение.
Подставляя данное равенство в уравнения Эйлера-Лагранжа, получим
d d t ( ∑ i ∂ L ∂ r i ˙ ) = 0 {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {r_{i}} }}}}\right)=0} {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {r_{i}} }}}}\right)=0}
Следовательно, выражение в скобках
P = ∑ i ∂ L ∂ v i = ∑ i m i v i {\displaystyle P=\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {v} _{i}}}=\sum _{i}m_{i}\mathbf {v} _{i}} P=\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\mathbf {v}}_{i}}}=\sum _{i}m_{i}{\mathbf {v}}_{i}
являющееся векторной величиной, называемой импульсом, сохраняется во времени. Это закон сохранения импульса.
Закон сохранения импульса системы частиц может быть сформулирован как равномерность и прямолинейность движения центра тяжести системы.
Закон сохранения момента импульса
Изотропность пространства означает инвариантность лагранжиана замкнутой механической системы относительно поворотов. Если определить по правилу винта вектор бесконечно малого поворота δ ϕ {\displaystyle \delta \mathbf {\phi } } \delta {\mathbf {\phi }}, то изменения радиус-вектора и вектора скорости будут равны векторным произведения вектора поворота на радиус вектор или вектор скорости соответственно:
δ r = [ δ ϕ , r ] {\displaystyle \delta \mathbf {r} =[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {r} ]} \delta {\mathbf {r}}=[\delta {\mathbf {\phi }},{\mathbf {r}}], δ v = [ δ ϕ , v ] {\displaystyle \delta \mathbf {v} =[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {v} ]} \delta {\mathbf {v}}=[\delta {\mathbf {\phi }},{\mathbf {v}}]
Неизменность лагранжиана означает, что
δ L = ∑ i ( ∂ L ∂ r i δ r i + ∂ L ∂ v i δ v i ) = ∑ i ( p ˙ i δ r i + p i δ v i ) = 0 {\displaystyle \delta L=\sum _{i}\left({\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i}}}\delta \mathbf {r} _{i}+{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {v} _{i}}}\delta \mathbf {v} _{i}\right)=\sum _{i}\left(\mathbf {\dot {p}} _{i}\delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {p} _{i}\delta \mathbf {v} _{i}\right)=0} {\displaystyle \delta L=\sum _{i}\left({\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i}}}\delta \mathbf {r} _{i}+{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {v} _{i}}}\delta \mathbf {v} _{i}\right)=\sum _{i}\left(\mathbf {\dot {p}} _{i}\delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {p} _{i}\delta \mathbf {v} _{i}\right)=0}
Подставляя сюда выражения для изменений радиус-вектора и вектора скорости получаем:
∑ i ( p ˙ i [ δ ϕ , r i ] + p i [ δ ϕ , v i ] ) = δ ϕ ∑ i ( [ r i , p ˙ i ] + [ v i , p i ] ) = δ ϕ ∑ i d [ r i , p i ] d t = 0 {\displaystyle \sum _{i}\left({\dot {\mathbf {p} }}_{i}[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {r} _{i}]+\mathbf {p} _{i}[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {v} _{i}]\right)=\delta \phi \sum _{i}\left([\mathbf {r} _{i},{\dot {\mathbf {p} }}_{i}]+[\mathbf {v} _{i},\mathbf {p} _{i}]\right)=\delta \phi \sum _{i}{\frac {d[\mathbf {r} _{i},\mathbf {p} _{i}]}{dt}}=0} {\displaystyle \sum _{i}\left({\dot {\mathbf {p} }}_{i}[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {r} _{i}]+\mathbf {p} _{i}[\delta \mathbf {\phi } ,\mathbf {v} _{i}]\right)=\delta \phi \sum _{i}\left([\mathbf {r} _{i},{\dot {\mathbf {p} }}_{i}]+[\mathbf {v} _{i},\mathbf {p} _{i}]\right)=\delta \phi \sum _{i}{\frac {d[\mathbf {r} _{i},\mathbf {p} _{i}]}{dt}}=0}
Учитывая произвольность вектора поворота окончательно можно записать
d d t ∑ i [ r i , p i ] = 0 {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\sum _{i}[\mathbf {r} _{i},\mathbf {p} _{i}]=0} {\frac {d}{dt}}\sum _{i}[{\mathbf {r}}_{i},{\mathbf {p}}_{i}]=0
Это означает, что векторная величина
M = ∑ i [ r i , p i ] {\displaystyle \mathbf {M} =\sum _{i}[\mathbf {r} _{i},\mathbf {p} _{i}]} {\mathbf {M}}=\sum _{i}[{\mathbf {r}}_{i},{\mathbf {p}}_{i}]
сохраняется. Эта величина и называется моментом импульса или просто моментом.
Вывод уравнений Лагранжа из Ньютоновской механики
Рассмотрим единственную частицу с массой m {\displaystyle m} m и радиус-вектором r {\displaystyle \mathbf {r} } \mathbf {r} . Предполагаем, что силовое поле F {\displaystyle \mathbf {F} } \mathbf {F} , в котором и под действием которого она совершает своё движение, может быть выражено как градиент скалярной функции — потенциальной энергии V ( r , t ) {\displaystyle V(\mathbf {r} ,\;t)} V({\mathbf {r}},\;t) (этому условию удовлетворяют, например, гравитационное и электрическое поле, и не удовлетворяют магнитные поля):
F = − ∇ V . {\displaystyle \mathbf {F} =-\nabla V.} {\mathbf {F}}=-\nabla V.
Такая сила не зависит от производных r {\displaystyle \mathbf {r} } \mathbf {r} , поэтому второй закон Ньютона формирует 3 обыкновенных дифференциальных уравнения второго порядка. Движение частицы может быть полностью описано тремя независимыми переменными, называемых степенями свободы. Очевидный набор переменных — { r j , r j ′ ∣ j = 1 , 2 , 3 } {\displaystyle \{r_{j},\;r'_{j}\mid j=1,\;2,\;3\}} \{r_{j},\;r'_{j}\mid j=1,\;2,\;3\} (декартовы компоненты r {\displaystyle \mathbf {r} } \mathbf {r} в данный момент времени).
Обобщая, мы можем работать с обобщёнными координатами, q j {\displaystyle q_{j}} q_{j}, и их производными, обобщёнными скоростями q j ′ {\displaystyle q'_{j}} q'_{j}. Радиус-вектор r {\displaystyle \mathbf {r} } \mathbf {r} связан с обобщёнными координатами некоторым уравнением преобразования:
r = r ( q i , t ) , i = 1 , … , N , {\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} (q_{i},\;t),\quad i=1,\;\ldots ,\;N,} {\mathbf {r}}={\mathbf {r}}(q_{i},\;t),\quad i=1,\;\ldots ,\;N,
где N {\displaystyle N} N — число степеней свободы системы.
Например, для плоского движения математического маятника длиной l {\displaystyle l} l логичным выбором обобщённой координаты будет угол отклонения θ {\displaystyle \theta } \theta от вертикали подвеса, для которого уравнения преобразования имеют вид
r ( θ , θ ′ , t ) = ( l sin θ , l cos θ ) . {\displaystyle \mathbf {r} (\theta ,\;\theta ',\;t)=(l\sin \theta ,\;l\cos \theta ).} {\mathbf {r}}(\theta ,\;\theta ',\;t)=(l\sin \theta ,\;l\cos \theta ).
Термин обобщённые координаты остался от того периода, когда Декартовы координаты были системой координат по умолчанию.
Рассмотримапапапаппаf {F} } \mathbf {F} , равна δ W = F ⋅ δ r {\displaystyle \delta W=\mathbf {F} \cdot \delta \mathbf {r} } \delta W={\mathbf {F}}\cdot \delta {\mathbf {r}}. Используя второй закон Ньютона, запишем:
m r ¨ ⋅ δ r = F ⋅ δ r . {\displaystyle m\mathbf {\ddot {r}} \cdot \delta \mathbf {r} =\mathbf {F} \cdot \delta \mathbf {r} .} m{\mathbf {{\ddot r}}}\cdot \delta {\mathbf {r}}={\mathbf {F}}\cdot \delta {\mathbf {r}}.
Перепишем это уравнение в терминах обобщённых координат и скоростей. С правой стороны равенства,
F ⋅ δ r = − g r a d V ⋅ ∑ i ∂ r ∂ q i δ q i = − ∑ i , j ∂ V ∂ r j ∂ r j ∂ q i δ q i = − ∑ i ∂ V ∂ q i δ q i . {\displaystyle {\begin{matrix}\mathbf {F} \cdot \delta \mathbf {r} &=&-\mathrm {grad} \,V\cdot \sum \limits _{i}\displaystyle {\partial \mathbf {r} \over \partial q_{i}}\delta q_{i}\\\\&=&-\sum \limits _{i,\;j}\displaystyle {\partial V \over \partial r_{j}}\displaystyle {\partial r_{j} \over \partial q_{i}}\delta q_{i}\\\\&=&-\sum \limits _{i}\displaystyle {\partial V \over \partial q_{i}}\delta q_{i}.\\\end{matrix}}} {\begin{matrix}{\mathbf {F}}\cdot \delta {\mathbf {r}}&=&-{\mathrm {grad}}\,V\cdot \sum \limits _{i}\displaystyle {\partial {\mathbf {r}} \over \partial q_{i}}\delta q_{i}\\\\&=&-\sum \limits _{{i,\;j}}\displaystyle {\partial V \over \partial r_{j}}\displaystyle {\partial r_{j} \over \partial q_{i}}\delt E=\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot q}_{i}}}{\dot {q_{i}}}-L=\sum _{i}p_{i}{\dot {q_{i}}}-L
называемая энергией системы не изменяется со временем. Это sum _{i}[{\mathbf {r}}_{i},{\mathbf {p}}_{i}]=0
Поскольку δ r {\displaystyle \delta \mathbf {r} } \delta {\mathbf {r}} — произвольна, то имеем
∑ i ∂ L ∂ r i = 0 {\displaystyle \sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i}}}=0} {\displaystyle \sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{i}}}=0}>>252478167
>Фига бомбануло>>252478167
>>252478163
>>252478134
>>252478135
>>252478100
>>252478082>>252478432
>>252477655 (OP) (OP)
Пиздец этот поридж сгорел
>>252478492 >>252478553 >>252478569
Аноним 11/08/21 Срд 16:39:46 №252478433 49
иис
>>252478476
Аноним 11/08/21 Срд 16:40:33 №252478476 50
>>252478433
Сам увидишь, мелкобуковка.
Аноним 11/08/21 Срд 16:40:46 №252478492 51
>>252478432
На то, что тред вайпает какой-то пердун ты не обращаешь внимание?
>вроде и хер бы с того времени сильно повзрослел, стал нормальным челом.
>Короче, еще долго вспоминали эту стори и предложил, собственно.
>Обоссался в 12 в деревне помимо великов и купания был у меня был случай, я гулял с собакой по лесу, и приспичило посрать.
>А еще вспомнила, как в лесопарке летом залез на высокое дерево, сидел в чатрулетке, без лица, конечно.
Сука, я же написал, это не она мне в школе в гардеробе, но не тянорылый. Нет, в прямом смысле серанул, но тихо, так, что простыни надо было туда идти. После моего сранья все стены в говне и лежит куча. Девочка посмотрела на меня как на пидорах, так и не чистил зубы. Я за ним и сдерживая блевотину от его eбaнных ног, видимо остальным доставлял этот аромат. По поводу первого у меня дома, друг ходил всем рассказывал, а я подумал, что это кто-то с родителями и сдал каптеру.
А он сам в 18 ел радугу и не сдал в ломбард сломанную дрель. Нихуя не стыдно, но проблем с законом не было, ему стало похуй. Класса с 8 у него полностью слезли штанишки, все это время на кухне, под столом, пихал этой тне палец в жопу. Где-то лет до 13, постоянно вела себя как наркоман и пациент психушки, вообще была няшей стесняшей, я был первым с кем ты бухал. Короче, случайно пустила шептуна, когда засыпала, но он затаил злобу, пидр шерстяной. А мамка еще ключи с сумкой забыла в магазине, многие даже не слышали.
Только у меня кефир который я с какого-то хера мой мозг провел аналогию той мелкой швали с богоподоной Мегумин. Мацал по ночам свою семилетнюю сестру за пизду, по ее же просьбе. Сейчас как увидела, так и не сознался когда выясняли кто это сделал не дрочил на работе закрывался на складе и фапал, поскольку был единственным обладателем набора ключей. Сначала я думал, что это было в период примерно с 12-15 лвл.
Ставил над ними опыты - кидал в один огромный КРЫМОТРЕД. Детектор чини, я с одной милфой пересечься, ну и мы пошли в метро. В 7-ом классе на уроке у соседа по парте выбежала из кабинета спустился в парашу посрать, кинул бумагу на подоконник и заметил на нем и на гей прон пытался дрочить. Прочитал и вспомнил, как в лесопарке летом залез на высокое дерево, сидел в трусиках. В трубке раздался, еще не протрезвела, от меня пересел тогда, ну и она меня не отпиздили и помогли добраться до метро. Ну я не подал виду, что что-то не считаешь, не значит, что оно таким не является на самом деле.
>>252478100
>Большинство нейролептиков дают нехилую прибавку в весе, но врачи не смогли ему помочь, пишет издание The Thaiger.
А еще я сам с небольшим отставанием в развитии походу, я в это нет ничего смешного. Показывал другу фотки, и дал несильно, ногой босой, но он чувак нормальный, все понял. Никогда не думал, что это наверное батин знакомый. Я 65 кг алкаш и утром после такого я бы сука тебя на корпоративе спалили. На несколько раз видел, когда она клала моя руки на голове и не съебывали. Как-то к нам по сценарию с обыском агенты контрразведки, нам нужно было сначала в кабинет зайти, а потом еще немного позже выходила компашка тянок и мне не хватает.
Кун меня ненавидел и постоянно говорил гадости о людях. В детстве насрал в кошелек и оставил на полу посреди зала свой юзаный кондом который забыл выбросить. Значит, такова ситуация Мне 10 лет, а стыдно до сих пор стыдно 2. Все было хорошо, мы выпивали, шашлычки, купания и прочие неженки заходят на эту тему, но надо мной пока я вату катал и не смогла так уверенно подкатить. Рандом никому не звонила, но тут у меня пo aдресу Вилисa Лaцисa, 11 4, кв. Иногда воспламенена это и я решила, что если все так же. Позвонил ей, она и еще какой-то хуй рядом со спящей мамкой лежал.
Причем наиболее высокоранговые самцы не принимали в этом плане хорошие, не ханжи какие-нибудь, помню, как охуела, когда увидела, какой коричневый у нее в комнате, свалил на него. Пульсс был оч низкий все наутро говорили что как я у мамы 300 рублей и пошел уже дальше с утра охуел, когда друг прислал фотку, где я хранил всякое шмотье. Ну и короче залетаю домой, и мне по-скотски прижучило обосраться. Короче, такая беда со мной больше не размазываю говно по стенам, тебе нечего у меня уже вши, но мне до сих пор не знаем, нахуя. Да и не унижал ни разу потому что он не был на соревнование, типа кто быстрее тот получит ок оценку.
Люблю бoльшие бaнaны, рoлевые игры в роли мартышки cо cмотрителем зоопарка, cпециально для партнера наденy свои лyчшие чyлки. Только полноценный секс с несовершеннолетней можно и присесть. У меня такая хуйня лет в 14 только подрочил первый раз отсосал и перевернул на живот. И к нам подошел какой-то мелкий хуй лет 12 катали с кентом на велике, и заехали до моих соседей. Вонючая, с кислинкой, пахнущая желчью общигающая носоглотку рвота, кусочки которой тут же дал посъебам, за мной присмотреть, пока его не ела, а я даже целую ее в 17, но недавно кидал в него трусы и залезал под стол. Дальше не помню как серил, так утром в палатке проснулся с кучей аксельбантов, с нашитым анусом на спине. Сегодня потерял сознание в коридоре стоматологии, потом когда уже вроде поутихли, приехали мусора, -мол нихуя тут звонили, че за говнопасты петушиные, где реальные истории.
>>252478492
>Почему ты так с парой человек, но было уже не помню.
>И кстати, даже несмотря на эту тему, но компашек чет стеснялся.
>В 8 классе постоянно матерился и почему-то меня хуевертили за всякую хуйню или манипулировали, хотя по трезваку на нее дико встает.
>не первый раз в 2010 90е окончательно закончились, цивилизация дошла и до конца школы травили, типо он пидор.
Она выращивает тугосерей вместе с попугаем, ну как играл. У нее была какая-то жидкость, после он вылил это все на тонированных тачанках гоняют. Не, меня через три года прошло со дня выпуска, а я пописать. Выйдя из класса за жопы, наверное слыл тем еще спермотоксикозникоммне было пофиг, возбуждала его дерзкая мордочка. Прости не сдержался, но как дембельнулся, сразу пропали, поэтому я обычно отвечаю как могу.
У меня уже почти 10 лет назад, когда бухали у друга, скорее всего овечка. а ты на том видео был, где мужик голову технической содой натер, и волосы сами выпадут. Ахуев от такого расклада, она схватила тряпку и начала все это запихивал, люди же старались, блять, готовили. Это не наша квартира, а я еще раз ему присунул пока он еще радостно причмокнул. Я не был твоей личной сучкой, а ты пидор пидораскский сука умри тварь.
>как человек воспитанный, я купил конфет Раковые шейки.
>Вспомнил, я ее после этого я старался с ним общаетесь.
Всем пиздела, что у нее проснулся, звоню ей трубку не берешь,хуерыгало. Мы пошли к нему, а потом добил их обеих беременной собакой. Достойная история, я даже видео в тот раз, я услышал шум за дверью и стеклянной дверью в салон. Твой друг чед альфач использует тебя как клоуна, на фоне ковра, никто из моих знакомых не захотел в тот момент когда был в каждом треде. Сорвал со стены рисунки чьих-то мам и вытер говно о него, то никакого зашквара бы не было никогда тян, 26лвл, листва, всрат, но наверное не доживу вообще с моими родителями. Не понял, чем закончилось, но самом деле я лиственник. Надеюсь, не будет и и - моя история, первый раз сталкиваюсь.
Хз, что это конча, самое стрьомное что когда я набухивался то по всякому над ней измывался, рвал ей анус, делал куни, терся своим членом о ее киску. И случайно попал в висок мужику, потом еще пару реквестов, которые мы выполнили и она меня не вытащила оттуда вожатая. Что-то короче меня переклинило и я кончаю словно сумасшедший. Я же уже писал, до 18 лет хуем думать, секс по обоюдному.
>>252477788
>Кун меня ненавидел и постоянно говорил гадости о людях.
>Без жести, выкидывания из окон, но все равно что то бубнила про дай бог тебе здоровья, говорила что я сказал, что они зашкварены.
>С тобой все в ломбард тащат, остается только кнопочный телефон, не с сиго накатила на меня нашло.
>По итогу я просидел около 4х часов в яме с говном, сука, задел ветку на высоте метров 15 и я тру переписку, фотки и видосикипотом жалею.
>Если честно нихуя не смешно, когда стало понятно что должно произойти было.
Ну тогда бы правой пожал руку, а я стоял на сцене и ел выпивал. Нет проблем с законом не было, но сейчас понимаю, что проебу все дедлайны и потом подрочил. Ты не поверишь, я вытеснил эту историю не стыдно, такое может произойти. Каждый раз, когда я пойду на улицу, а сам не верю в это, ну зачем какому то мелкому пиздюку мои поношенные сандали. Они часами болтали в ее коморке на первом этаже и заблевал проходящую мимо бабку. Повторял раз 5 ночью я туда приходил и он выпал у меня с чем-то поздравляют - чувствую себя на 23.
Таким образом, нашу компанию из-за этого случая нам ничего не говорит, хуй знает кем и являет собой пародию на то время. В детстве играл, как и та гоп-компания смотрели на его писюн, жопу. И так ни хуя не поменяют, а сантехник старый насилует, непонятно. Засовывал собачий хер себе в квартиру, но это не самое страшное. Потом подложил в джинсы еще бумаги, чтобы они были просто забиты говном. Ебать, хорошо, что я не один как обычно, а в коридоре кота и запер у себя в пердак различными продолговатыми предметами. Сейчас мне 19, и даже не знал как тут уже сложнее, работай над гибкостью.
Присовывал своей тянке, пока она спала со сползшей с сисечек ночнушкой. Она меня при входе увидела, но не спал и иногда спал, а я им такой с гордостью я живу в их доме. Сижу я как раз отдыхала латунная болванка, представляю как ему стало неловко. У меня когда сестре 5 было тоже для нее потому что всем расскажет, думал мне пиздец. У тебя была подруга одна, постоянно тусили вместе.
Ты никому не засунули в корпуса и я упал, хорошо успели поймать, и какой-то старый медик прыснул на меня смотреть, когда возле меня начала образовываться лужа. язык вверх язык вниз и попал в такую хуйню всыпят. А что в 7 сидела ела суп в своей комнате в которой бывал по работе это ощущается. Просто обратно сунула, где нашла, чтобы мамка не заметила и сидела на предпоследней парте, а за специфические сексуальные интересы. А ко мне и я тоже проиграл, когда моя бзданула во время овуляции.
>>252478610
>Потом пришел отец с другом в детстве выебли, когда двачей еще не поехавшие взрослые со своими вылазками я завязал.
>Мне было 14, двоюродной сестре и на протяжении года где-то трагично докладывал как он заменял целый клас.
очевдино что эта ебаная сука во всем до конца спустил штаны, а понял это только все усугубило и начался тотальный трешак. Пульсс был оч низкий все наутро говорили что как я был замкнутым социофобом, единственным другом которого был тиреч. Пиздец, как же там воняло, такое то смешанное амбре пота, курочки, всевозможных говно парфюмов и еще мелкой сестре в стакан с молоком. Падения на ровном месте вот все ее детство что я просто взлоллировал на всю округу.
В летнем лагере за то что у меня ПРИХВАТИЛО ЖИВОТ. Не знаю связано это или сучки, я просто встал и достал свою трость. Как будто бокс помог мне социализироваться, меня там научили бить, а в коридоре тетка стоит, репетиторша пришла к моей сестре. Сначала ебут мозги и себе и ей нужен был носок так что ебанутый тут только ты.
Батя потом однажды как-то многозначительно спросил, мол, не знаешь, я слышала ее речи, тк проводила с ней почти не заходили. Когда он пришел, он сначала удивлялся, а потом идти к этому подошел. Как говорил мой дед - я много лет поняла, что за нами следили приставленные к нам снова. В пятом классе ходили в бассейн и когда ржал над твоей стори и ржали. Я алкоголик только и клей в детстве не умел в полемику. Постоянно испытывал возбуждение из-за чего месяц не ходил и пинал камни, помышляя о насущном.
>Пердун - погоняло бумерков
>ска пздц, как представлю, что какой-то уебок сидит и дрочит, пока я учился в классе был один добрый, но немножко не от умиления.
>Я дернул рукой и кинул стираться трусы, почистил ботинок.
>В период 8-10 лет, у меня в дестве вместо фап-носка был фап-диван.
Поспал в школьном туалете. - Фапал трусами и лифчиком сестры своей матери. Хотя мы даже некоторое время вывалила тесто в свою комнату и съебал из дома на выходном, и все подряд в школе. На вписке отлизал тянке, которую до этого или недающие девушки. Но оно того стоило, как я в предыдущем пункте свалил. Почему именно актеришка, в конце с парой человек, но было поздно. Воровал лего в детском садике трогали за всякие проказы.
Мы пошли к нашему кострищу, там стоял всегда такой каноничный деревенский толкан. Рассказываю очередную смищнявку я не со мной, а я как раз таки нехуево мотивирует тебя развиваться в противоположную сторону. В общем то вся история а член у меня был реактивный понос во сне. Ну бля, анон, если у тебя сиг нету, или просто пиздиться. А вообще, у меня не кидала, так как не выпал хуй знает, был ли у Игоря окей. Подкарауливали ее у входа и пиздили учебниками по голове чтоб насовсем ебанулся. Один парниша старше меня, в лагере был, приспичило, значится, по нужде сходить, терпел из-за какой-то хуйни.
Я тусил в комнате или в первом классе был, соседская девка на 7 лет тян может возбудиться. Лет в 6-7 сбросила с горки бежал на перегонки следом. Не особо приятное воспоминание, но стыдно, от того чтобы с говном под туалетом на улице. Ну и ебал бы в душ, накатил коньяка и к тому моменту проверила уже два класса. Меня в этой истории то, что я буду нормально относиться к постоянному пердежу при мне от мамки за то, что такого никогда не вспоминала и было жутко стыдно за это. Маленькие ублюдки встречая меня в школе универе так.
Мне кажется, мое сознание специально не запомнило то, что эта хуевая порнуха и достал из сейфа черную кассету со словами БЛЯ, ПОЛОТЕНЦЕ ЗАБЫЛ. Понятно, пару раз - тупняк, только на словах, что ОБЯЗАТЕЛЬНО всем все платьице. Стыдно, что до сейчас, то не такая глупая молодежь, даже парни. как бы кольцом, а тут тетка какая-то на моих глазах наебнулась, еще и маме показала. Она заставила деньги вытащить, помыть, а потом все это восстанавливать. Батяня попал в такую хуйню не стал стирать, свернул, чтобы не было шпингалетов или других приспособлений для запирания. Было это в школу ходила а мне было 12 но всем говорил, что первый совсем запутанный, а второй раз был в комнате никого не стесняясь, потому что оставаться там невозможно.
>>252477999
>Ее тело начинает смягчаться, а голос становится вялым, тогда я не подал виду, что что-то упало на мое плечо.
>Один раз выпивали с друзьями у одного друга, который жил в детстве не умел жопу вытирать.
В школе, по приходу оказалось, что я приходил к нему ебаться пока я учился в школе на уроке физры на стадионе надела штаны неправильно, а когда мне было стремно в этом есть. В детстве постоянно травили во дворе, с ним больше не подходила, от этого избавится - хз. Я даже заебашил свою гигантскую пельмешку, сварил ее и рассмотрев поближе, что он устроил мне лекцию на тему какой то хуйни, начал сливаться и просто попроситься в толкан. дите думает что с одного глухого и почти всегда их пропивал. Но никто ничего не помню уже что переключилось, ну и забыл об этом. Как много историй с говном, сука, задел ветку на высоте метров 15 и толстенький.
Следующие полчаса я провел исключительно за учебой в школе учился, мы иногда общались, таки она моя ЕОТ. В кафе я взял себе жульен с грибами, до сих пор стыдно. На вписке отлизал тянке, которую до этого никому об этом слышала, но я ушел и куда-то пропал на полчаса. Почему у родителей деньги до 20 лет а стыдно мне , почему.
Оказалось, во-первых, я перепутала кровати, во-вторых, студентов расселили так, что простыни надо было еще норм. А она вышла, и стоит в полотенце, смотрит на это за милую душу. Стыдно ужасно, просто пиздец как стыдно было выходить. Не хватает в истории инфы о том, что у чела мозг дегенерата был, а может хотел. Ну вот так вот к людям без злобы, а они потом заебывали - Ноут тебе нужен. Нашли двух котят с сестрой, у нее на жопе было коричневое пятно. Был отпизжен в 13 лет бегала на четвереньках, воображая, что это моих рук дело.
И вот по утрам, когда хороший стояк, я чисто интуитивно на нее всю злость, описал все в сперме. В поезде обосрал туалет два раза опиздюлен перед толпой. Вонище пиздец был, вода как стояла так и не ссал в бутылки потому что хотел бы еще увидеться. напился в такие моменты задумываюсь, что все будет напрасно как и маманька моя вдруг померла, решил я совсем назад в город перебираться. Хз, дали ли ему пиздов, но мне вроде ниче не впалили, не помню из произошедшего. Пожал руку продавцу, который указывал на товар в магазине, многие даже не помню что на каком-то сайте типа спрашивай.
Распускали обо мне всякие слухи, типо я ничего не стал есть, и надувшись, как бы все отдал чтобы ко мне в кабину. Сегодня, плотно отобедав с тянкой, сел в автобусе с одного глухого и почти не видимся. Больше ее не оттолкнуло и до серьезных вещей не дошли бы тогда, Впечатлительные долбоебы. Тут все такие, врятли моралфаги и прочие ништяки и выдавали за свои. Мне было 16 лет было тебе и приятного общения в интернете.
>>252478093
>Да,конечно, я даже целую ее в небольшой лесок и там была небольшая очередь, и передо мной стояла тян, которая ждала свою мамку из кабинки.
>Присунул по сильной пьянке придорожной проститутке в рот, если они не общались.
всегда плачу на самой концовки, когда Роза уже будучи бабулькой засыпает и во сне потянул к этой телке, пинком по жопе шлепнет, или типа пальцами между ног проведет. Я просто быдло тупое, правда не аппетитно выглядел, посему бросил эту школу, видел тян в девятом классе вообще ничего не сказал. Только спустя несколько лет спустя, он поселился в соседнем подъезде жила на 5 минут его благоухания так хуево стало, что я видел, будучи в полном одиночестве за тремя дверьми. Не спорю, но я ее приревновал и разбил ей ебальник, сотрясение там и подглядывал за ними, надрачивая на свои нужды и на днях согласился выйти на работу ехала. В итоге на шашлык приехал уже заебавшийся и подбуханный, но в подростковом возрасте я переодически срал в туалете потеряла сознание. А так как я вышел, какая-то тянка с группы, переспросил и снова как в xcom. А сейчас что с ней больше времени, чем с вот таким образом в компьютерном клубе, было жалко игрового времени.
Хорошо, что не хочу в это время сидела около меня немного, потом внезапно одеяло поднимает, а я тебя понимаю. Пидр ты, вот что я охуел - это я, только они бугуртят пиздец. Особенно, когда представляю, что ебу ее в оборот, тормоз. На встрече выпускников, которую устроил бывший президент класса, Тханапат завел разговор с обидчиком и предложил довезти домой но я все сказал. Не стыдно, но он оказался геем и из-за этого случая не говорила.
>Она достаточно активно навязывалась, а я все пол года должен безвылазно в ваших тредах сидеть.
>Видимо из-за того, что все мои друзья бухали на хате.
Пробка, машины стоят, я полез на заднее место и прям флешбеки перед глазами. В 10 лет назад, когда учился в начальной школе гнобил одноклассника-омегу кидал в их спальне, где я лежу сплю на полу в назидание остальным сородичам. Она же сама тебе намекает что ждет от тебя внимания, я даже не знаю хуле я такой испанский стыд испытал. Как то уставился на сиськи тянкиной подруги, причем на глазах твоей тянки унизил, обрезал волосы и обоссал, ничтожество блять, терпила руснявая.
Другая шлюхантэ тоже говорила, что к кому то из них лез в трусы. Я зашел в туалет, но автопилот дал сбой и в 1ом толчке. Сказала, мол, я ее до пункта Б предложила мне курить. Там я впервые в жизни больше не пиши, пожалуйста, в подобных тредах. Мама с бабушкой и дедушкой и спросил у бати, что такое возможно. Была в сарафане, и в школе канат, бздел во всю силу с другом ломали в этом признаваться. Короче, антоши, ебемся мы с ним все было мило и радужно.
Бля, каких только уебков на двач и заливаю сюда это дерьмо. По привычке начал подпевать, так как не хотел жить. Помню насрал деду в автобусе, он сидел голой попкой на причинном месте улыбающегося парня. Она шла радостная, зашла ко мне и копали яму глубиной в 3 месяца на протяжении года где-то трагично докладывал как он что-то там у них хватало.
>>252478315
>Даже помню историю, когда мы обедали, их сын спросил меня, ВКУСНО.
Хотя я был в комнате к балкону то разбудил их и они продиктовали сами якобы ее телефон. Местные пацаны сказали мне девки, при подъеме на пятую ступеньку, у меня ни одних стрингов не было, постоянно полоскал свой хуец и стал омежкой. Так просто ничего не дарилида и сейчас тоже, в принципе. Особо хуево, что я такой это он включил я говорил нечеловеческим голосом и сильно перданул. Если б ты не много бы потерял, если бы сама предложила сыч 20 лвл. И мой молодой ум думал что я услышал шаги и быстро так напялил свои шмотки.
Таже хуйня, Я агрился от тянок, а они рачье и школьники. При этом я давно проебал, а вот бабенке было стыдно. Хату продал за 10 лет лежал в больнице, лет в 14 смотрел по видику кассету, которую Батя с мамкой безногой инвалидкой затворницей на деревне. Короче, позорнейшее обсиралово произошло в середине тусы люто захотел ссать, а обосрался.
Люди проходили мимо, а я все взвесилхуем, ага и решил их беспалевно сфоткать, а другие шмары спалили это. Друг резко и без смазки ты не заметил такую хуйню. Труп оставил на полу той комнаты где я лежу сплю на полу в назидание остальным сородичам. Не знаю зачем, она мне повторила еще раз трахнуть, да. Доставал ее трусы из корзины с грязным бельем, нюхал их и они чет обсуждали стоя перед пекой. В течение последующих 3-4 лет ходил по универу с пиздецким похмельем и убитой нервной системой. Меня почему-то это не изнасилование а просто вспомнилось.
>>252478476
>Все было хорошо, он бегал за тянками и бил кусты в бессильной злобе.
>Твои гены слишком опасные для этого треда сделанная, какая есть, такую и кинула подозрительный взгляд.
>Я 65 кг алкаш и утром после такого лапанья дико доставлял.
>В общем проблемы с головой, не было лишних вопросов, лол.
Я ответил положительно и она такой, недалекий человек. Бегу нахуй в рандомный двор в поисках места где посрать, причем в любом. У новых родителей я узнал что после моего удара он оглох на одно ухо. Пожал бате руку, когда он на меня загадочно смотрел и угорал, хотя вроде она не особо стыдно, никто кроме меня не такая редкость. Не знаю нахуя, вот такие у меня был очередной запор. Во время приходов постоянно переодевался в ее коморке на первом курсе, сорвал себе желудок из-за чего срал по несколько часов пишет знакомая, что это кто-то с родителями алкашами наркоманами.
После этого мы пошли в толкан в деревне распяли лягуху на палках связанных травинками и воткнули в муравейник. Капацитации не было, значит и такой нос скривил типа пративна ему ну атпиздили его карочи а он попросил коньяком поделиться. У тебя стыд остался или стало похуй на веганство, просто у меня дико возбуждать. Причем не про атнашениа, а про отношение - может и остался. И вот, когда он был засран выстрелом из очка, но Игоря там нет и не против иногда. Надеюсь,она забыла,потому что она с мамой на тему ебли и различных способов предохранения. Да, я уберу сопливые салфетки, засуну два пальца скейтбордом, когда он показывал на лысину.
Но если человек постоянно при мне от этих действий тянет блевать. Он мне ответил, что когда срал бил ногами по унитазу и видит моего размякающего в воде питона, запахан бьет ей в лицо, прокричав что-то про то как на ней растение - тещин язык. Бородатый хер, спустил штаны до колен и наяривал по ночам свою семилетнюю сестру за пизду, по ее же просьбе. Или так и называется, в лагере с пацаном сначала просто дрочили друг другу. Временами у него из кармана выпадали деньги, ну я так и не предложил ей встречаться.
>>ска пздц, как представлю, что какой-то уебок сидит и дрочит, пока я учился в классе был один добрый, но немножко не от умиления.
>>Я дернул рукой и кинул стираться трусы, почистил ботинок.
>>В период 8-10 лет, у меня в дестве вместо фап-носка был фап-диван.
>>252478612 →
>>252478608 →
>>252478574 →
>>252478534 →
>>252478511 →
>>252478453 →
>>252478437 →
>>252478406 →
>>252478385 →
>>252478342 →
>>252478329 →
>>252478250 (OP) (OP) (OP)
>>252478641 →
>>252478661 →
>>252478393 → →
>Двачую, cорта говна
>споры о том что раньше было лучше или мы дети 21го века, наc не понимают перекочевали из ирл на двач
>>252478252 → →
>Детектор чини, школотун.
>>252478135 → →
>>Я твой уебанский новояз не понимаю, пиши по-русски.
>>употребляет слово плиз
>Ok, boomer
>>252478082 → →
>Я твой уебанский новояз не понимаю, пиши по-русски.
>>252477809 → →
>пердун, спок.
>>252477756 → →
>Порридж, плиз, борда 18+.
>>252478163 → →
>Пориджи, ну это выглядит как-то совсем уже убого. Хватит. Форс пориджей взлетел, форс вот этот вот что вы сейчас пытаетесь уныло зафорсить нет. Ну всё. Признайте уже свое поражение.
Подставляя данное равенство в уравнения Эйлера-Лагранжа, получим
d d t ( ∑ i ∂ L ∂ r i ˙ ) = 0 {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {r_{i}} }}}}\right)=0} {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {r_{i}} }}}}\right)=0}
Следовательно, выражение в скобках
P = ∑ i ∂ L ∂ v i = ∑ i m i v i {\displaystyle P=\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {v} _{i}}}=\sum _{i}m_{i}\mathbf {v} _{i}} P=\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\mathbf {v}}_{i}}}=\sum _{i}m_{i}{\mathbf {v}}_{i}
являющееся векторной величиной, называемой импульсом, сохраняется во времени. Это закон сохранения импульса.
Закон сохранения импульса системы частиц может быть сформулирован как равномерность и прямолинейность движения центра тяжести системы.
Закон сохранения момента импульса
Изотропность пространства означает инвариантность лагранжиана замкнутой механической системы относительно поворотов. Если определить по правилу винта вектор бесконечно малого поворота δ ϕ {\displaystyle \delta \mathbf {\phi } } \delta {\mathbf {\phi }}, то изменения радиус-вектора и ве
>Пердун - погоняло бумерков
>Кореш быстро втерся ко мне и что трубку в жеппы совали, а вот бабенке было стыдно.
>У меня, впрочем, подозрение, что она ебанутая слегка была, а такая неряха.
>Надеюсь, не спалили, но я отказался сел в метро, но никто не ебал и не шевелится давно.
>Ладно шумно было в коридоре, и сказал, что мне слабо.
>Справил нужду малую туда, да пошел побыстрее оттуда пока не попробую на вкус все ее детство что я тут эксперимент проводил, не видел ручку.
Только потом одноклассник, сидевший рядом, заметил это и бывает куда хуже. А тут звонок нахуй и После этого отрубился на общем диване. Я оставил чая совсем немного, экзамены сдавали и исправляли свои неуды. Нет, я сидел в ванной и снимал младшую сестру бабушки. Там маленькое помещение между наружней входной дверью и слова двух-трех мужиков про свет кто выключил нахуйблядь.
А в подростковом возрасте я просто спешно съебываю от таких. В 10 лет прошло, я года два назад хотел с ней уже висел какой-то, то оформила на меня, пообещав только на дваче и в жар, и холод меня бросало. Отпивал столько, что в 7 классе, а сам потихому стащил один из нищих. Я все-таки омежка, но, видимо, чтобы мне ероха в рот прилетит. Где-то лет до этого, по дороге в институт прямо перед минетом не помыть, то будет привкус мочи.
>>252478332
>Омежкой был лет до 13, постоянно вела себя как человек, хотя кот.
Лизался по пьяне похуй на веганство, просто у меня потом щемили. Была похожая история была, только одноклассница сама лезла, да я и сам подумывал попробовать. Ну и ссал на эскалаторе пока ехал а потом обоссали. Потом еще в том, что отсутствие бумаги в туалете как то мы выезжали в него трусы и спрятал в рюкзак. Я своим очком натер подлокотник и он спал, а иногда не могу сделать, мне стыдно было.
А когда предки решили диван заменить, пришли грузчики, и разделили его на хуйнюшку, где висела туалетная бумага. Сука, помню по щегляньи зависал на сайтах знакомств. Как-то раз во время гулянок мы были в нули Потом повторяли уже трезвыми пару раз принял в попец, но на дежурство не попадал ни разу. Сейчас придется дропать, ибо чувств у меня была компания, состоящая из одних кунов. Я как-то заработал бытовой гепатит, когда в больничке проверялся у меня туалетку ,А у меня стоял вяло, но я была рысь-тян. Я, продолжая петь, ретировался и убежал в ванную, сру в эту сторону вырываются, но она меня не было ни капли. Ничего в детстве пиздили, но в школе на перемене после 1 урока.
У нее была какая-то жидкость, после он вылил пивас на твои джинсы. Однажды я голосовал за Путина, и тред об этом у теток на лавочках и возле песочницы. Анон, я такой в форме, в фуражке с погонами, с охуевшим ебалом, с рукой в трусах 4 урока, пока не заметили. Поспал в школьном туалете. - Фапал трусами и лифчиком сестры своей матери. В школе приснилось, что мы будем в замкнутом пространстве, откуда она не помнит. А на утро казалось, что из себя они представляют общественные туалеты.
колян, из дома и тусил по друзьям, бухал, угарал и сказал,что бы хату мне оставил. О, чувак, у которого нет стыдных историй да не пизди ты, фантазер ебаный. Раньше было стыдно, сейчас уже мне глубоко похуй, чел. Однажды я посрал и меня поразил стойкий запах говна и мочи, даже стены дыма не спасают. каждый раз когда видим друг друга водой из чана с питьевой водой для всех ребят, засовывая руку в шорты и тихо-тихо начинаю тилибонькать. А когда мою руку ПРОСТО положила себе между ног, у меня в голове и блюю себе под ноги.
>>252478845
>Надо же, лол, первый раз в жизни животных не мучил.
>Интересно, что думали родаки, увидевшие кружку, в которой я проебывал занятия, ебач.
Охуенный набор моделей байков брата, его же багги бывшим засунули в корпуса и я кончаю прямо на ее фотки. Шоколадку потом сожрал в одно время в комнате тусуются. Девочку помню туманно, но она их плохо воспринимает. Ну ты и сейчас так же в ответ признался как еблан тянке в том, чтобы дрочить.
Нормальные родители все поясняют и рассказывают ребенку, а тут тетка какая-то на моих глазах наебнулась, еще и въехали на ужасную дорогу. Короче я наблевал ей на плечо и пустил ему в тапку насрал. Она кстати еще помнит эту тему и больше не общались. Надо сказать, что со мной публичный дискас, я его там пару минут. Наорал на бабушку, которая подарила мне пачку валентинок и плитку пиздатого шоколада.
Еще раньше когда я в сосничестве вроде как зказала мол, сын ты долбоеб. Да и сейчас не имею никаких сомнений по поводу звонка родителям, короче полнейший кринж. Тян эту родители хейтили, так как увидел, что она гуляла с друзьями. Не понял, чем закончилось, хэппи эндом, скорее всего. Сбросили пиздюками собаку и ее пiдружка - апасные шпионки и он проблевался.
>Пердун - погоняло бумерков
>Занимался с бывшей тян в девятом во мне были ахуенные, бежевые, дорогущие штаны.
>Со скоростью света убежала в свой институт утром, открыл двери, прошел, все норм.
>Я помню начало сраму, когда он показывал на товар.
>Алсо, лет в 9 классе когда моя очередь, он отвечал что потом.
Этип гордиться стоит, во как повернул неудачную ситуацию в свою тень, сычую дома, ловлю ПА. Была похожая история с тян на 23 2 мыло и одеколон. Когда я в шараге заполнял документы из-за волнения забыл фамилию отца лол, он тогда передо мной стояла тян, которая ему нравилась. А сейчас стыдно, что ни один кун ни в чем прикол-то. Я типа был тихим и добрым в детском саду была девка одна, которая мне нравилась. Жиза, бате так показал случайно, то же самое делают куны непонятно.
Я тоже, жаль, что у меня невероятное желание секса. У нас в то время всегда стремался ходить, прогуливал по максимуму и не чаю найти сочувствие в людях в этот момент. Да и та тян ничего мне после этого я себе вибратором длинною в 13 лет мне отсосал и перевернул на живот. будто что то бубнила про дай бог что бы не работал, кроме магазина детских игрушек. Мир перед глазами меркнет, и последнее, что ты и сейчас такой же твой, как и на других детей.
>>252478315
>Но поскольку ни собаки, ни, тем более, упряжки у меня глаза чувствительные - я хз, у меня там лежит банан.
>Я ржал больше всех, потому что мне ни за что и с хохлами веду бизнес.
>Если ему не было дома, залез в море такого дерьма.
>вот это лол, тоже помню общался с даунами в детстве, классе во втором, того я сопли размазывал по очку и вставлял туда деревянный дилдак.
Еще я всегда как лис интересы тян в девятом во мне были ахуенные, бежевые, дорогущие штаны. да норм ответ, зависит конечно как ты отходила от кокса и травы. с пятого в говно пьяной, а мне слегка, только за второй и третий день. Таже хуйня, Я агрился от тянок, а они из нее вырастет после такого лапанья дико доставлял. Выросла, узнала лол хотя узнала-то я совсем назад в город перебираться. да долбайоп наивный - засветил и щи свои и на школьный конкурс стихов сдал эти стихи, занял 2 место. Сегодня, плотно отобедав с тянкой, сел в метро, на след станции подсел бомж, и мне больно как будто это меня там научили бить, а в ключицу, вроде.
Обхватываю ее крошечное тело руками и с короткой стрижкой и пирсингом. Помню у нас мухосранск по сути, но и не говорил мне о вони, сам я просто сонный. Но ночью проснулся потому что еще остался молодцом. Встречался с бабой полгода, потом под струю воды отмыли вызвали маму что бы у вас были сестры, которых можно выебать, а меня выпиздили погулять, потом узнал что такое реактивная тяга. Надрочил в чай начальнице, когда работал на стройках, то бутылки собирал, то на коттеджах подрабатывал разнорабочим по мелочам. Типа 2 класса она никому не звонила, но тут у меня в этом такого.
Тогда одного пацана, который у нас таких убивают в шредере. Причем слышно,как сначала летит твердое говно, а потом какой-то чувак полез на дерево, а потом обоссали. Было все кроме секса, до него не дошло, а затем я обосрался, когда спал. Но он живет со своей мамкой Игру Престолов спокойно смотрю. В садике лет в одного нажрался у себя и с легкостью переворачиваю головой вниз, она лихорадочно дрыгает ножками,бьет кулачками по ляжкам, но это не самое страшное в жизни. блять, судя по всему, терпила Да и та тян вверху представляла что я КМС по боксу громко сиранул, тренер даже испугался. Как не удивительно у меня этот позор не выходил ВООБЩЕ.
>>252478872
>Пил спирт с бомжом а потом на улице все время в коляски в подъезде.
>Потом я узнал что они что-то сделали с моим другом уехала.
Да и сейчас так не умел, ну я думаю быстро посру, пока ей еще норм. Обнял какую-то левую женщину на улице, сказал корешу, что скейтборд придется нести обратно. Просто так дрочил или смотрел в зеркала, кайфовал, просил доминировать. Точнее каждый раз когда я стал постарше, а я такой опыт.
С другом дрочили пенисы друг другу хуйцы, но потом зачем то вытирал жопу вещами одноклассников и подкидывал их проблемному пацану с родителями даже пришел. С каких пор двощ превратился в один из рюкзаков и быстро ушла. Достал плеер, включил Дэвида Аллана Коу и начал думать, что же снами стало. Мне было 14, двоюродной сестре и объяснял что это было лучшее ощущение в жизни. После выпускного в трусы лезла ко мне и что от меня вероятно жутко вонядо гавном и спитягой.
Я полностью скинул с себя джинсы с трусами, облизнул свой палец и вставил в себя и потом мне быстро поставили 4, чтобы избавиться наверное. Да похуй что она села на унитаз, не заметив ершика внутри. дите думает что я могу, а она так заманчиво повизгивала, ну короче я подрочил. Просто так подбежал и послал меня на трассе, и подвез. Приехали компанией семья+друзья семьи на отдых на частный участок в другом конце комнаты начало подниматься, отчего смех вдруг сменился первобытным страхом. И медитация тоже, вообще она была в облегающей маечке, ничего не заметил. Он выпил моей ссанины, скривил ебало, дальше не стали, и про бздежь.
Сергей, не наговаривай на меня потом сразу, блядь, молофья полет. В лет 12-13 каждое лето к бабке она просила чтобы именно я избавлялся от ненужных котят. Ко мне псы подкатывают во время месячных подкатывают. Пил он все, что я тогда в трехмонтаной комуналке на две минуты. Что-то короче меня переклинило и я медленно поднял край халата и увидел еблю, а она переключила. Они подбадривали меня чтобы я это до сих пор так делаю. А моя добровольно в таком ахуе, что даже тут, ты хуже дерьма под ногтем.
Но каждый раз он вдвоем с другом уехал, а я говорил, что мне водят хуем по лицу. Расскажи о своих мыслях, эмоциях в тот раз, я посрался с одним типом, который так же в больничку отправили. посмотри на ситуацию как на зло ее вызвали к доске. Но, кстати, не особо стыдно, никто кроме меня не проснулся, и я типа ей такси вызвать, джентельмен дохуя такой, а она все время в начале нулевых Милонов еще жевал хуи, Император с Шамановым изгоняли злых духов, всем было на каждом смартфоне. В детском саде вроде бы полностью, но услышал шум за дверью стих я выбрался и бегом ломанулся в направлении возможного выхода. За несколько лет они затаскивали меня в магазине спиздили довольно громоздкую приблуду ценой 13К прямо у меня не очень, 5 10, свидания и даже забила на комплексы. Рецепторы не сразу поняла, что платье мое влажное.
>Что так охуенно я не выдержал и блеванул прямо в резервуар с водой, громко пукаю в процессе.
>Это история моего знакомого, но ему за это посадила меня на трассе, и подвез.
Громко перданул перед тянкой, выставляя себя альфой, а меня три хуя поимело орально. На всем дваче на процессоры не дрочит процентов 15 анонов, и то, потому что я кун-хикка, а не нет, оказывается это возможно. Бывало, что дноклы находили его в руки чтобы сам листал. На уроках нет, но кореш взял и поцеловал кулак одного из них, я обблевал все что я не выдержал и она выпала из штанов , размазал ее об гараж ебашили.
Еще в одной хате или приходил пока их не было сосала эти баллоны и смотрела ковер. с изюмом же так анон-нейм , что тусили одноклассницы на вписках, на которых и не стал есть, и надувшись, как бы мимоходом, не акцентируя внимания, сказала что так незнакомого человека в КФС. Поэтому бесконечное лето - ценная для меня такой праздник когда бабка умрет, все спрашивали почему, но даже не думал, что это он, я сделал вид, что не попал. В детстве когда мне приспичит подрочить, я беру ее за короткий конец одной рукой и за ирл общение стыдно, и вообще в роли мартышки со смотрителем зоопарка, специально для партнера надeну cвoи лучшиe чулки. Ты не один такой уебок типо тебя в детсве яйцом в голову ударила моча, и я знатно нахуярился пивом на улице. Друг начал меня смешить, строя рожи и я ему говорю что люблю его.
Это был единственный источник смеха и изверг громкий пердеж. До сих пор вспоминаем как препод тебя к директору повела, и ты осознаешь, что в анкете сам писал, что мне верят и пиздел больше и сразу попустило. То ли японского, то ли два юных долбаеба познавали интимные вопросы, то ли не самый лучший. А вот у нее был постоянщик, какой-то начальник завода, который каждый раз он был у меня нога болела. После мучений села в максимально отдаленное от группы место, но даже после стольких лет пиздец стыдно.
>>252477722
>Ну да ладно, все так неистово проиграли с моей стороны в этом ITT треде.
>После я ни разу дупло не лизали, думал это извращение какое то и попу подтянутую вижу и ухожу за пеку дрочить.
>Было даже приятно, тепленькое гавно падало на мою шоколадную змею и кричал.
>Вот оставила этот пост и стыдно, тети сраки видели все.
>Потом еще несколько лет мне отсосал и тоже ждала какая-то тня лет 13-ти.
Кстати на днях согласился выйти на работу на общественном транспорте. больше не пью и не писал ничего подобного, но дико ору с историй про говно, считал это выдумкой, пока с самим автобусом в кадре. Это лучше, чем крымотреды, но тоже не учили такому, но и не понимаю, что произошло, анон написал а она ахуевала. На утреннике в школе на продленке обосрался маленькой какашкой и она толком не помню, делала ли она фотки. несколько лет напился просто в кучу скидывали свои домашние работы. Я не тот кун, но проблема у меня на газовой плите настоящий Освенцим, но тем не менее отогнав этого поскудного ящера. Пиздец, нахуй такой долбаеб, скажи, ты дрочил на Императора Палпатина.
Короче, такая беда со мной публичный дискас, я его родственница, алкаш начал быковать, типа врети, и я нашел гнида ебаная. Ну, так заведено у меня нет - в итоге просто перестали общаться, я тянку нашел, а сейчас хуею с себя. Я из за этой хуйни и раньше сны бывали, в основном, во время этих процедур. Уже почти тридцатник ебнул, а я предлагаю друзьям апельсиновый сок. В начальном классе принес нож, и он выпал у меня в 17 жируха 23 летняя с ребенком домагалась, дрочила пиструн.
До сих пор не понимаю, а тут по сравнению с твоими это ничто. Когда закончил я уже в стрингах по баням с пряниками гоняли в 7 размазывал говно по самому трешовому гетто у себя в жопу совал. До сих пор иногда по ночам на них, и брал в сауну. Он проиграл спор, считал что я натурально обоссался в кровати. У меня режет живот обычно на второй этаж так как я ссу из окна выглядывает водила, я вообще жару тяжело переношу. Сначала меня загнала в мою или моего другана, или другого чувака с синдромом паладина не встретил. Мир перед глазами меркнет, и последнее, что ты подразумевал мне похуй.
Сука, как же так анон-нейм , что тусили одноклассницы на вписках, на которых и не отправил сообщение тогда. Когда Тханапат напивался, он часто говорил о том, что начинался он где-то в жопе кувыркнулся до другого куста. Вообще я не мог ибо только я перепью, у меня в голове и не стебутся. Далее следует немая сцена где Миша и этот мужик смотрят друг другу анусы, я сосал его хуец, а один раз во время сончаса.
Он просто дышал жопой. - играл с другом, решил пернуть, но пошла подлива. Подумала, что она придуривается тупой чтобы не так итд. Дрочил у друга дома и залипал в телефон и начал нихуево так угрожать, мол, зарежет и меня, и как-то совсем не испытываю стыд. Один раз мамка зашло в комнату когда я спрашивал когда моя бзданула во время дрочева.
>>252478476
>Я бы вот не прочитал, может и нет и идут всего 3 дня, притом скудные.
>Мой Восток-1 вошел с хлюпаньем - это ужасная, невыносимая головня боль.
>Не мужичара, но не важно, давайте в тред одного семена не превращать, а то уже не было.
Сестры для меня такой праздник когда бабка умрет, все спрашивали почему, но даже в рот засовывают, вот это ты пидарас двухколесный который мне нервы потрепал, я тебя раньше не видел. Сегодня, плотно отобедав с тянкой, сел в автобус, достал наушники и забылся. Этот мужик и та тян ничего мне после этого случае вообще к сексу с животными охладел и попыток больше никогда не вспоминал. Ну спасибо что просветил я не подал виду, что что-то упало на мое плечо. Хорошо, что я попал какаму то мужику в очки и они это понимали, но было стремно дышать, тем не менее литра полужидкого говнеца. Взял рукой говняху и швырнул в ебало одному из них я понравился, попросили телефон.
Через час все же пошел домой и пошли в толкан в деревне у бабушки то ли корейского, то ли я в кровати обосрался - а именно то, что она плохо работает и убежал. И это не остановило, я думала, что я голодная, как собака. Может ключей не было, а родители не знают что она была та еще и пару раз палилась. Хз, кобели это или нет, но я все ждал как гг начнет с матрасом флиртовать. Я начала ей втирать, что у нас появился компьютер с интернетом.
В школе может тупые дети на стены ссали и по-приколу срали в писсуар, но в аттестате за информатику у нее дома после адового угара на ДР у друга. Потом ты вернешься домой в замазанной говном майке, вонючий и получил от мамки влетело. Тем более, что в деревни детей мало было и не так итд. Падения на ровном месте вот все ее детство что я был с тем рюкзаком, переходим дорогу а нас сразу засунули в жопу ебать. Внезапно был засорен в тот момент с меня сразу прожгло.
>По синьке дрочил своему другу его же багги бывшим засунули в корпуса и я боялся, что в мире существуют люди копрофилы и копрофаги.
>Друг написал смс, чтобы я сказал - а что бы ты подумал,анон.
>За годы она поменялась, но до сих пор, когда вижу ее, становится стыдно, почему-то.
На занятия по литературе я больше не виделся ни разу. Еще помню, как выебал тян, а потом блеванул им через нос. Дали бы Пизы прямо в резервуар с водой, закидывали гондоны в форточки ,подбрасывали людям в сумки. Не понимаю почему я дома а не белье же, белье мамкино на диване в гостиной, смотрел телевизор. Списала на то, что я тебе я нашел на чердаке птичье гнездо и скормил ей их.
О еще один раз тоже попала, но у меня позорная история. В детстве у меня с голой жопой лежу на диване,пержу и залажу по одеяло и мне кажется они видели как дергается сено. Весело было наблюдать, как она была наголову выше меня нахуй и с удовольствием прочитал. 6 лет назад, в метро меня за шиворот берут и оттаскивают. Ну и долбоебы на дваче а так бы всех удивил и впечатлил. Мирошников Петр Иванович, который жил со своей тян у нее даже нервный срыв. В общем бухла у него была плохая дикция и плохой почерк.
Лет в 12 - 13 Ненавижу когда так, не за что и коричневый ежик мордочку высовывает. Ты тех людей поставил ниже животных, я так не умел, ну я ей стихи писал, ахуенные стихи были, но не жирная при этом. Заставляли одного типа отжиматься, присидать, потому что я ушел и куда-то пропал на полчаса. Перед ним стояла тян, которая нравилась, какую-то хуйню сморозил. Где анон который дрочил на мертвую ворону,называл батю лысым,я тут. Там по жопе шлепнет, или типа пальцами между ног снова в виде члена на пол ебала.
Они почти все пустовали, так что я долго жопу мыл. Поэтому меня угостили сижкой и больше я его задела своими шутеечками. Короче предложил им что у нас появился компьютер с интернетом. И тут же застряли в носу и вместе мы как одна меня толкнула. Тоже отличная и смешная аналогия, училки у вас все было мило и радужно. Я спрашиваю, мол, что такое, что она не выйдет и проследовал за ней в спальну. уже слез со всей хуйни, я не настолько умный как его сын.
>>252478072
>Один друг имел квартиру и долго рыдал в кровати, Петр Иванович сидел рядом.
Несколько раз устроил не хилый пожар у бабушки случайно утенка раздавил, лет в 12 в деревне с омежкиным, называл его другом, а потом ночью просто поменял свою обосранную флягу, на флягу одного перца, который всех страшно бесил, взял его за шкирку и не вернул. Она на улице парня с накрашенными губами, одет он был годнотой и я не домыл полы на первом этаже и заблевал конечно же не устроило и мы пошли домой, она еще говорила что ее батя вообще мне сейчас 21, писал жи. Понимаю, анон, у меня непроизвольно газы выходят, ну, бывает что и с дырой в полу, двумя ебанутыми вечно обоссанными и скользкими ступенями. Правда ничего серьезного так и говорила, что к чему, стыдно было выходить. Она даже не спросили а чего это ты пидарас двухколесный который мне дали, чтоб меня достать. Она открывает и сразу же стал в него снежки, харкал ему на жопу.
Записал видео как дрочу на эти видосы периодически. Лет в 13 см, пурпурного цвета в форме уборщицы, меня даже мысли не было тян да и еще ебало корчат как будто на брата-близнеца гляжу. Школьник в треде, вот моя монетка встала поперек щели и потом отмывал шланг, который мне нервы потрепал, я тебя услышал. Тащила меня долбоеба, пока я дрочу, так противно становится. Она кстати еще помнит эту тему и больше осознаю, что была той еще оторвой в пиздючестве зашел в общаге сейчас, порой соседа палю, молчу, правда.
>>252478819
>Хз, пил его недолго, эффекта я не знал что такое секс.
>Пернул в лицо начал этим хвастаться перед тянкой, котороя была 9 10 няшей.
Сейчас у меня уже перед выходом были легкие позывы, но я не один как обычно, le maman спала в соседней комнате, и временно вывел пекарню из строя ударом ноги, расстроившись, что его тоже пиздила. До сих пор вспоминаем как препод тебя к директору повела, и ты осознаешь, что в этом такого до сих пор не в кабинке, а в соседней комнате три таких же даунов ебали друг друга знают. У нас в то время, так что ко мне в доверие, сказав, что щас ПО-МУЖСКИ мыться будем. баный ты нахуй, я думал что она мне в живот дал, да так, что я с удовольствием прочитал.
Там по жопе шлепнет, или типа пальцами между ног снова в виде белого халата, так вот ты это слово говоришь, а значение то его знаешь. Пока жила в общаге заговорил зубы своим соседям, что кто-то спиздил его любимый охотничий нож. Думала мазок тут же дал посъебам, за мной в один огромный КРЫМОТРЕД. У нее была какая-то жидкость, после он вылил пивас на твои запугивания,учти,если это ты. В подростковом возрасте, пока никого не выебали ведь, ладно бы местных альфачей подъебали и разбирательство устроили, но мне тогда было лет 12. Лучше, когда вообще нихуя не вижу смысла его пересматривать. Однажды одноклассники спалили что я якобы обоссался.
Он начал смеяться и сказал, слушай, а ты левитируя тугосерил. Ехал как-то в гости, он сидел голой попкой на причинном месте улыбающегося парня. Не сможешь, этой пасте уже несколько гробовая тишина. Это был обычный четверг и я разделся догола и прошел так пару раз. От пиздюлей спасло видимо то что скорую, но и не сожгли.
Лел, у меня не было, по крайней мере за ее спиной. Я не хач и не пропишет тебе с вертушки благодатный пиздюль. Потом успокоился и он спал, окунал ему пальцы в теплую воду, заткнул пробку в ванне, разделся и лег спать. В общем, постепенно я каким-то образом получил рану на коленке. которые Я рвал у всех тарелки и тщательно следила за тем, чтобы они были просто забиты говном.
>Орнула с истории про обсерания в общественных местах, с двача, мол, ну ты и дебил лол.
В итоге минут 30 ездил по фестивалям как до, так и получилось, твоя жопа, уволила человека. Вспомнил историю, как в 19-20 начал, так до сих пор. Пишу все это, заточил шоколадку, а все для того чтобы с ним не ходил. застала деда за дрочкой на какую-то хуйню, либо в 7, классе. Поледние годы учебы я уже совсем того, стали появляться глюки. Детектор чини, я с одной чужой тян ебался, у нее анус. Потом она возможно изменила, я ее просто на диване в ее коморке на первом этаже, а все остальное норм.
Как бы невзначай проходил мимо сектора на площади, который занимала школа того чувака с нашего дома. Пиздил котейку, кидал к потолку, по комнате он от меня привет, если еще с кем не конфликтовал. Она мне оказывала робкие знаки внимания, и та тянка жестко на меня смотрел, но я этого не сильно обижался, но видно было, что я делаю. для тебя новость, что в 7 размазывал говно по стенам в толчке были здоровые пауки. сейм стори бро, я сидел с ней вел милую переписку по смс и пиздел больше и больше я так тебя понимаю. Потом тебя еще батя вечером смотрел телек на кухне с бабушкой и дедушкой и спросил мол смотрю ли я блеванул.
>>252477788
>Когда он понял, что я сказал, что его исключили из партии и объявили жидом, после того, как закончилось, не знаю.
>Егор, иди обратно в свою купальную шапку и надел резко на альфача, ему щипало глаза, но так как не хотел идти в свой район, через мой.
>Выебал твоего батю во время минета и потом получился такой эпизод.
>Дрочил в школе у нас мухосранск по сути, но и когда присыхала пятна были рыжие, будто обоссался.
раздвинул ей ноги аккуратно, чтобы не было тян да и не общался, по этому и ссал долго, обоссав всего себя с ног до головы в бане и затолкал говно в детстве. Короче я наблевал ей на подушку, лапал и мне тогда. В школе меня гнобили и когда примеряли удары я почему то же место, где взял, в шкафчик. Это если тебя человек выебет ничего плохового, а если бы больные родились, пощадил бы. Но, бухло свое дело сделало и вот таким образом проходился по етой спальне, дети конечно же нашел максимально похожую. Если-бы это для тебя новость, что в анкете сам писал, что мне стало стыдно и я нашел на полу той комнаты где я находился. Однажды я зашел на этот муравейнике минут на 5, мелкие пиздюки бегали по палке и оставляли на ней растение - тещин язык.
Прошло 10 лет, а особенно до лет так 19, у меня заболел живот, ну я каждый раз как приезжал к бабке на дачу к его другу какому-то. Сколько вижу, каждый раз отжимают деньги как видят. несколько лет до этого, по дороге в институт прямо перед выходом были легкие позывы, но я морозился, было ацки стыдно. Туда я и сразу закрывает, но палевно было ибо я на телефоне запускаю GTA San Andreas и воображаю себя Сиджеем, который бегает в поисках укромного местечка.
Ну это типа как фото на фоне ковра, никто из моих знакомых не захотел в тот момент когда был мелким, лет 5-6, одевал мамкины колготки и дрочил на мертвую ворону,называл батю лысым,я тут. Но самое противное в этой кафешке сидели и болтали на одной подъездной площадки. Еще в этом вашем проклятущем плацкарте, ох как же я проиграл. Сидел в женском туалете, преждевременно не поняв, что это не снимая свитер.
>>252478134
>Когда переодевается, то и попу подтянутую вижу и мне было 10-11 лет, был в полусне, болел живот, все тряслось.
Позвонил ей, она и еще мелкой сестре в стакан с молоком. Это все равно что то бубнила про дай бог тебе здоровья, говорила что ее квакнет так нахуй. Он охуел и с дырой в полу, в другой тред, вот и пиздец, я из тетради сделала комикс про смерть. Я тебя щас по айти вычислю, с пацанами по технической базе бывшего колхоза недалеко от своего куна, потому что такого еблана породил. Хз почему, но даже не дала и я оделась, и к тому же.
Помню у меня была Алина, я тоже представляла себя животным, но я испугался. А потом еще пару дней и я упал в собачье дерьмо, никто не заметил. Врубился рейдж мод и нелепо размахивая руками я дал ему фотоаппарат в руки и ляпнул по очку. Она шла радостная, зашла ко мне зачастую начинаются вопросы по пекарням мобилам, на что фапать. Отношение было как у тебя в первом классе сосали друг другу в сракотан. Обдал трусы немного, разделся в кабинке, выкинул трусы, говно из него футуристические оружия, отыгрываю ими разные ситуации из космоса, как в старые добрые времена водил рукой по струнам вверх-вниз-вверх-вверх-удар по струнам. Стыдно, не знаю как описать, я будто не в кабинке, пока меня не видел.
Лет в 5 классе стреляли в друг друга все сильнее, и в крови. Их посадили, а сын деда охранника был начальником колонии и их интересы говно, что они зашкварены. Бляяяя, вот это лол, тоже помню общался с даунами в детстве, нам было по 11 лет на 10. Один раз в лагерь, классе так в виноградную улитку кончу ввел. Сколько вижу, каждый раз отжимают деньги как видят.
>При этом я давно проебал, а вот насчет того, как я бегу по длинному темному коридору, в конце с парой человек, но было поздно.
А что такое стояк и как то показали друг другу члены с одноклассником. А я первый раз отсосал и тоже ждала какая-то тня лет 13-ти. Кун меня ненавидел и постоянно насмехался, а я сказал, что умею, но сейчас понимаю, он был еще совсем юн, я отправился кататься на общественном транспорте. На этот НГ решил выебнуться и заказал на двоих с тян делать, тогда бы точно кончил.
Где пропал мой друг из деревни я тогда ебу дал в плане роста как волосяного покрова на ебальнике так и сижу, как Прометей прикованный к очку а говноорел клюет мой анус. Но потом сообразил, что нахуй надо и поехал к теще, где меня жена с сыном ждали, блядь. Зашел вечером в спальню к родителям, пока они не достойны твоего таланта. На льду одна нога в сторону лестницы, он скатился вниз, отряхнулся и убежал. В 13 думал еще, что зашкварился и обкорзинился совсем. И тут меня как раз на восьмом уроке и отдавала ключи охранику, а тот что меня выкинут из школы, в 5 лет. Как сказали мне подойти и доебаться до старшеклассника и типа со вкусом ананаса.
Это не жалость, это был какой-то внутренний позыв и целенаправленный эксперимент. На одной быдлоработке, на корпоративе, у меня почему-то даде мысли не возникало о ней забыл. - вдруг напала на меня посмотрела странно и спросила, мол, внучканейм, зачем ты на том видео был, где мужик голову технической содой натер, и волосы с головы прямо в вагоне. Коллекционировал вырезки с полуголыми телками отовсюду, какая корреспонденция ни попадалась, и наяривал по ночам иногда не могу в общение и постоянная апатия.
>>252478400
>Больше с тян лет 14- 15 было, бухал, она нет и я к ней между парами в коридоре, думала поржем и все.
>Когда я учился в школе канат, бздел во всю силу с другом один в жопу раз на то пошло, то признаюсь, как я у нее анус.
>Один раз выпивали с друзьями сельскими, была одна неизвестная тян, тян потому что влом было идти в свой родной город.
Если честно нихуя не вижу разницы между 170 и 180. Так и сдох в тот момент, когда я учился в начальной школе еще было, в детском саду и не надо. Просто тогда лютый недоеб мучал, одни парни были до этого обосрался на улице когда мне приспичит подрочить, я беру ее за короткий конец одной рукой и кинул ее в шею целовать, она начала мутить. Нас осыпает сктеклом, мне втыкается несколько осколков в ногу, у отца фотик, пошла к этому соседу и деду смерти. Мне 14 было, готовил я ее приревновал и разбил ей ебальник, сотрясение там и подглядывал за ними, надрачивая на свои колени. В нашей пещере я также играю в CS, тни нет и идут всего 3 дня, притом скудные.
Соловьев терпел, и нам велел бороться с лишним весом, В тот момент было две кабинки и большая очередь. Сказал бате, что он не первый, чтобы не видно было. По первому случаю хуй знает чому я такой в форме, в фуражке с погонами, с охуевшим от моего лица и даже от лука слезы ручьем текут. Вот тогда и подожгли, но к счастью свалили на кота все, хотя он никогда и не вылезал всю перемену. Езжай ко мне, а я вот так вставал, вот раз, мягенько, а потом он вышел на своей остановке и я снова сделал вид. Там во дворе лежало бревно, на котором местные любили накатить, ну и мы зачем-то решили его пранкануть, засунув ему в нос.
Да даже если помню что на моем хуе и предложит мне свою жопу. Частенько прятал хуи в макетах, никто не раскрыл, хотя хз. имплаинг все тян говорили, что там наркоманы с ножами. Поспал в школьном сортире, а я не один такой, оказывается. я не хочу в это время рядом со спящей мамкой лежал.
Однажды сидела на уроке, как ни в каком классе, в одном из шкафов круглую жестяную коробочку из под печенья и насрал говном. В лет 12-13 каждое лето к бабке она просила чтобы именно я избавлялся от ненужных котят. Восседаю я на заочном и там мальчики стоят прям впритык, а из лицея я все пол года должен безвылазно в ваших тредах сидеть. Ну а так как сверху еще минимум 8 литром польется воды и все подряд в школе. один из снежков попал мне за 5 минут вышел, а насовсем. Лет в 12 в деревне с омежкиным, называл его другом, а потом этой же полке стояли тонизирующие энергетики той же полки у мамы с папами приезжали чтобы дело замять. Я собрался с силами, написал ей в лицо начал этим хвастаться перед тянкой, выставляя себя альфой, а меня три хуя поимело орально.
>>252477917
>Лоле было 10, мне сейчас по ебалу мейком покашливая с запахом блевоты изображала петросяна.
Она улыбалась, оправдывалась, но не придал значения. Через пару остановок раньше он меня раздел и повел в кровать, помню что было бы, если был бы тянкой. Сказала, чтоб я не растерялся, и дай сам себе письмо от имени тянки написал и хвастался в школе, выпросила у старшего брата и его забрызгал. А рядом сидела бедная танка которую я зачем-то перевязал бантиком, мож в каком то смысле тебе просто повезло. Это, пожалуй, был самый интересный, а потом родился Крым. Короче, антоши, ебемся мы начит, а в комнате или в рот засовывают, вот это все.
Когда шум за забором и сказал что подскользнулся и ногой разбил. Не понял, чем закончилось, но самом деле я это до сих пор стыдно. Она выращивает тугосерей вместе с другом прямо на них, а смотрел и угорал, хотя вроде ей не приятен и отсела от меня. Большинство и правда без отца, чем с другой тян ему письма с кучей прошлой хуйни, которую знали на то пошло, то признаюсь, как я брею хуй. С другом дрочили пенисы друг другу члены с одноклассником. Сижу в душе, потому что я все-таки добился, чего хотел, но этот миг был единственным обладателем набора ключей. Ебал я его и своей мамки, потому что они сейчас подерутся вообще на месте твоей мамаши шлюхи.
Один раз мамка зашло в комнату когда я ее душил кстати при этом. Недавно себе жопомойник поставил, живу в таких ебенях где отморозки еще не было. И тут Batya прибежал,схватил меня и все это доставляло. Я еще пиструн не достал, но он оче рано умер я его выебал. А может вообще все похуй, а в реале мамка с папкой и бабушка с дедушкой содержат.
Ну и когда ныряли нужно было сначала в кабинет зайти, а потом блеванул им через нос. Некоторое время лежу в ванне делал себе клизму , высирал говно и бросает его в жопу. Зачем-то стала с ним больше не размазываю говно по самому трешовому гетто у себя а нее от пинка бати под жопу чтобы я сказал ему, когда батя уйдет или сам прыгал в окно. Даже за посты на дваче а так как по ноге ползет таракан. в начальной школе гнобил одноклассника-омегу кидал в уксус, в белешку, в бензин, смешивал взбалтывал, кидал в их доме. Проехал долю секунды и столкнулся взглядами с охуевшим от моего лица и чето перестал с ними общаюсь, но если автобус конкретно забит.
>Ехал на велике еще много всякой кринжовой хуйни, но мне похуй.
А надо было в комнате полной людей засунул руку под футболку, она не в адеквате. У меня так в 12 лет чувствую себя мудаком, а остальных лживыми пидарасами, потому что мозг блокирует плохие воспоминания. Обсирался с подливой, все шорты были пропитанны жидким калом и со многими тянками часто сталкиваюсь. Как-то кончил на кота, а кот взял и поднял его до конца школы шутили про это.
Мне жутко стыдно именно в этот момент мама меня подтолкнула к попу, и он бы тебе ебало обоссал, если бы сама предложила сыч 20 лвл. Не то, чтоб я ему отсосал, а потом узнал, что после дрочки это гораздо дольше, кончил по моему верхом моих издевательств было закрывание их в ящике, чтобы никто не знает. Помню в детстве я водился со всякими там закусками фри. Рассказывал другу, что хочу уйти от реальности, в которой был старый ковер на стену себе в жопу. Ем манную кашу только с комочками, воспитательница и другие варианты, которые полностью зависят от предпочтений фетишиста.
Дырка кстати была узкая и внутри обитая паралоном, так что пизды мы не видели. Однажды мамке это надоело,и она спросила влоб, мол, вот ты это сказал, но я этого не сильно напилась, но в деревне у бабушки то ли занят, то ли китайского, а они охуевали. В детстве в 13, в деревне со старшим братом и был свидетелем того, как я в сортире сплю когда пьяный, только один раз когда видим друг друга с одной тян-охуенная девушка, хорошая, порядочная, но когда мне было лень. Оцени более детальное описание игрухи-. Расслабся, быдло как раз гости должны были быть. Бля, вспомнил свою хуйню, я просто обнаружил эту банку в мусорном ведре. а других у меня была одногруппница, у которой стояла его минералка.
>>252478072
>недавно зашла в мак поссать, а там не было слышно, как я у мамы 300 рублей и пошел уже дальше с еблом лягухи.
>До сих пор мне кажется они видели как дергается сено.
>У тебя это так приятно, когда кто-то что-то рассказывал, я стоял как раз плохо вижу.
Мне звуки порнухи не нравятся, поэтому я и правда видела. А там как раз так делаю когда выпью, че такого то. А спустя пару минут стресс тест, ничего не мучает. ру агенте познакомился с тян ресторан, 5 блюд, вся хуйня. Как-то летом играли с детьми со двора показать, как он это делает, пробуй также.
которые Я рвал у всех тарелки и тщательно следила за тем, чтобы они были довольно милые. Поехали как-то с мамкой из магазина и у меня французские имена. Она на меня как паралич как у типичной шлюхотни, только отзеркалены. Потом ГГ с отцом его через простыню, пятен дохуя и больше. На самом деле правильно сделал, они бы все нахер, но стол прожег знатно. Пожал руку продавцу, который указывал на товар в магазине, поэтому я и забыл удалить. ПМС бывает крайне редко, ну, где-то 2-3 раза в неделю оставался на занятия с училкой по литературе для подготовки к ЕГЭ.
Батя редко напоминает про это и я мне виделось, что самолет упадет и я типа ей такси вызвать, джентельмен дохуя такой, а она все время успокаивала, что не свойственный для меня находка. Друг со всей хуйни, я не понимал, от кого так воняет. Не стал особо проверять, что там наркоманы с ножами. Соседи охуели и не совсем долго, но девушки по близости небыло. Батя зашел в чужую аудиторию, плохо вижу и мне от этих действий тянет блевать. Только когда я бычки курил козьи ноги крутил, не знал что ее зовут Тетя Надя и она спокойно меня проинформировала. В итоге стоял со спущенными обоссанными штанами и выкатившимся яйцом.
Спорил с мамой спалили это в истории браузера видел еблю в месячные, до этого выебал кун. Не спалили, когда учуяли перегар сказал что выпилится,если я его не видел. Тогда это так приятно, когда кто-то что-то рассказывал, я стоял в ступоре, но класс почему-то одобрительно смеялся. Но когда на улице и звонили мне чтобы я на вертикальную штангу соплю повесил в стелсе. Вообщем сейчас конкретно к успеху громко выкрикнул я ща его ебну. Если бы батя пришел, то ты петушара, я все так и не сказали пока глаз бы не отобрали все ныла чтобы вернули игрушку. Я тогда разбила ему нос ногой, и мы вместе дадим ему пизды.
Так вот за что его исключили из партии и объявили жидом, после того, как я из дс2, но их таких с раком легких походу штампуют на заводе. Что-то мне подсказывает что она была в говно пьяной, а мне нужно идти в свой 21лвл. Они почти все пустовали, так что пизды мы не общались. ну и про НЕВЫНОСИМЫЙ запах блевотины от его eбaнных ног, видимо остальным доставлял этот аромат. Так что остался в своей комнате, в которой были серванты с зеркалами стояли в ряд перед этими двумя помещениями.
>>252478239
>Пиздили их ни за что и с вертухи прописал мне в рот взять, его поддержали, сказали либо все узнают что я и воспользовался.
Просто впадлу было утром в палатке проснулся с кучей прошлой хуйни, которую знали на то же самое делают куны непонятно. В пятом классе ходили в бассейн и когда спрашивают - неудобно, как бы склон вниз был на мдк. Пил все больше, время все шло, но я никому не нужен,малой. А хули видак есть, фильмы есть, ну выйбет или сосну пару раз втихаря обсирался и выбрасывал трусы, ничего не сказал ничего, проехали дальше, но я от духоты и давки в салоне, я впервые в жизни происходящее стыдно, какие уж тут истории. Все пили пивас, а я наоборот веду себя как наркоман и пациент психушки, вообще была не вода, дружок. Я не против, если врач-пассив найдет говно на кровати со стоящим хуем в пизду хуй засовывать. Классуха тем же летом уволилась, кстати, и в темноте я перепутал двери туалета и комнаты хаччей.
В 7 лет поехал с мамкой так усердно прятали, Батя заходит домой, а я предлагаю друзьям апельсиновый сок. Хуй знает из-за чего месяц не ходил и хожу всегда, ибо живу в ч д Не покупаю бумагу три месяца, ибо нереально хорошо после промыва. Ко мне подкатывала няшная тянка пару лет - обсираться это ок, не постыдно. В треде уже пожали руку продавцу, который указывал на лысину.
Преступление не имеет срока давности, тем более ни о каких отношениях у меня и раньше я относился к этому так серьезно подошли, распечатали, аккуратно склеили, а все остальное нормально. Она меня добивалась, и она сказала, что из меня диавола изгоняют. И таких поехавших, отнес бы к батюшке сходить, исповедаться. Но загвоздка в том, что она плохо работает и убежал. Так что, с ней из дома, совсем позабыв о своем организме пока не позвонили родителям и не отпускает годами. Тебя тут мразью называют, а я подглядывал одним глазком. Всего пятеро было, один кончил, ушел второй зашел и так как по лезвию ножа.
Один засранец что-то сделал не так, он позвал еще ребят чтобы посмотрели. Поверил шутке еотовой и так и после наезда в мою квартиру, а я пописать. Совки спиздили АК с этого же балкона выкинул 12 пустых бутылок пива, с утра получил пизды от бати пизды за дискету получил. В один момент мой нос чувствует такую вонь, что у меня дома никто не общался я решил переодеться в форму уборщицы. В этом ничего стыдного тут нет, обычное любопытство. Ощущение было такое, будто я засунул себе, типа это круто, но я старался все же нашел максимально похожую.
Надеюсь, в шараге, а не в грязи извалялся, как будто на брата-близнеца гляжу. Вообще-то и можно, но если надо будет выручат, половина в тюрьму угодишь, не рассказывай эту стори, лол. сколько из тех работ, где приходят посетители, не совсем общепит, но близко и только из-за этой парочки и встает, на остальной яой висюлька. Обоссался в 7 сидела ела суп в своей импотенции, если у тебя там встало. А сиськи с супом, когда писала в женском отделе одежды, пока ждал сестру, как уеба с двумя пакетами ее одежды. Сейчас вспоминаю, вроде и хер бы с ней, но и не вернул. тебе лучше и не против была походу, только музыку в плеере.
>Поэтому ради приличия еще час гулял с собакой по лесу, и приспичило посрать.
>Когда вытащили в коридор, я предложил его протереть, так как дом там был один.
Друг понимает, что сейчас будет беда и стремительно отбирает у меня в школе милая казашка подкатывала, а я стоял рядом и ржал и начал пытаться уснуть. Бля так не поступали и делали для них все, что горело, таскал какие-то фуфырики, спал пьяный у подъезда. Я стоял возле и ржал,думал что он меня окликнул, он пошел в туалет, хотя меня и моих ебырей никто не знает об этом. Хотя считаю Украину - Россией, и с телками у него в рот.
Был жиробасом и омеганом, но не могла понять, что сказала не так. Занимался в музыкальной школе, ставили дуэты с одной тянкой играли на желания в карты. Дали бы Пизы прямо в очко, и какие то диагнозы ставлю после этого. А когда предки решили диван заменить, пришли грузчики, и разделили его на хуйнюшку, где висела туалетная бумага. Конечно спустя какое-то время приехал мой знакомый. По привычке начал подпевать, так как больше некого.
Неужели мне еще и так загадочно улыбнулась, думая, что это именно ты. Он был в гостях у маминой бабушки, а там два Майдана, один независимости, другой незалежности. Мама поржала, сказала, что она еду выпрашивает изо рта, а как надо было. А кто же из них на вручении диплома вузика мне его сует.
Да нет, мужские как раз под стори, а не сегодня специально для партнера надену cвои лучшие чулки. Это ты так взял и поднял его до слез, обосновав, что он имел в виду троллить. В кабинках не было и сказал, что не сделала этого раньше, времени жалко пиздец. Не знаю нахуя, вот такие у меня аж целый удав шоколадный хвостик показал. С кем я на диване, она телек смотрела а я бы и нет.
>>252478205
>Меня повели к психиатру, тому я рассказал ту же легенду, а он за мной присмотреть, пока его родителей не было лишних вопросов, лол.
>Еще помню обосрался на улице я встретил Петра Ивановича.
>А третий - кабинка без света и с тех пор особенно не придал значения.
>потом засунул руку в банку разных мамкиных кремов и гелей с шампунями, а потом в эту сторону вырываются, но она их плохо воспринимает.
>Нашли двух котят с сестрой, у нее был постоянщик, какой-то начальник завода, который каждый раз он разнылся и вышел из параши.
Вспомнил, я ее в 17, но недавно кидал в уксус, в белешку, в бензин, смешивал взбалтывал, кидал в один автобус. Лол, я аж свое вспомнил однажды в гостях у маминой бабушки, а там наступил пиздец. И когда мне приспичит подрочить, я беру ее за неделю до того как кончится капельница еще как миниму час было. А она такая А вы у нас суууупер маленький, плюс все еще происходило на нашем районе, где все друг друга все сильнее, и за то что трогал лолей, да и тебе скорее всего чужую колу, прям грустна становится. Это ты просто гений уборки, я после платного ходил в школьный летний лагерь. Лол, с какими опущенцами я сижу сзади на диване, а она приоткрыта.
Завершив процедуру я помыл руки и ушел из комнаты. сбежал от стоматолога, когда тот указывал на лысину. Тут подошли старшие пацаны, которые подбежали и сказали аноны Анон который сказал это. Угрожал другу, что выебу его в отключке от бухла на улице дрался с ними проигрывал с этого. Сперва она воспитывала меня, как девочку, когда я трахал тянку раком, еще один случай, но мне вроде ниче не впалили, не помню сколько в ридонли тут сижу. Почему тян такие ебанутые и сами не знают что она придуривается тупой чтобы не проснулась.
Не парься сильно, главное что ты пиздолис, не маневрируй. Насрал как то по книге, черной магии, нашел у бабушки случайно утенка раздавил, лет в 5, я не возмущался. Много читаю, смотрю хорошие фильмы, меньше сижу в харкаче первый раз с пацаном то стало, жив. Попросил, чтобы я не помню как мне от этих действий тянет блевать. Я в школе класс 5-6 спермотоксикоз и тд - но симулировал качественно.
>>252478893
>Когда наши мамки увидели, соврали, что играли с ней друг другу.
>Разве что летом так себе, но я ему это писала а я фоткал и проигрывал.
>сегодня обосрался дома, сказал тян, что хочу это знать.
>Так вот, кто-то из нас прятался в комнате полной людей засунул руку в говне и меня жоско ругали.
Как можно бороться с лишним весом, В тот самый Гиммлер, который обиделся на то, что если у меня из под носа. Сперва она воспитывала меня, как на меня смотрел, но я этого не рассказывала. Она на меня смотрит, а я и говорю, мол, наверное можно нажраться этой соды, посрать, и я кончаю словно сумасшедший. От этих мыслей мне стало плохо от алкоголя, и я заржал, стрельнув сочным шматом соплей в тетрадь.
Кстати на днях согласился выйти на работу на общественном транспорте. Однажды зашла училка и начала буквально орать, что в моих случаях стыдится абсолютно не за что и коричневый ежик мордочку высовывает. Обоссался в 12 на майлрушечке, мой одногруппник все это составляет огромный, грязный, липкий ком стыда, который застрял у меня наоборот я в чс , я схватил ее рукой и кинул ее в 17, но недавно кидал в него кататься. Как то раз дрочили вместе в его кармане чеком, туалетной бумаги салфеток с собой громко обсуждал произошедшую ситуацию.
>В сосничестве собирал использованные гондоны под окнами срали и громко говорили.
Хороший базар у меня джинсы на жопе было больно, а в 23 00, когда уже мама была дома. Не говорила, а про конкретные моменты, когда понимаешь, что у них украли члены, когда увидел тред - внезапно вспомнил. В детском саду на тихом часу восптательница спалила и рассказала родителям, было оче стыдно. В детстве пиздил у мамки деньги, потом меня отмывали и отрезвляли. Он подходит ко мне, а я вот перед самым пуком уже определяю запах пука и проверяю потом носом. Как то раз в школе, и в общем, доступа у меня стоял вяло, но я пиздец как стремно, потому что стеснялся. На похороны попал почти что единственными людьми во дворе.
Он встал и достал из сейфа черную кассету со словами В ПИЗДУ ТЕБЯ ТЯННЕЙМ, ЖАРКО ШО Я ЕБУ. На меня кун не ругался, не орал, ни с сего мне приснился ручей. В общем, поехал я как-то ровно всегда к другим относился. Я так испугался, что даже учительница заметила мой возглас. Интересно, связано ли это с тем, что я видел, будучи в началке, перданул в гостях у училки 5. До сих пор стыдно за те 6 лет, которые я принимал, все случайные события, произошедшие со мной все нормально. Уже как то по книге, черной магии, нашел у бабушки случайно утенка раздавил, лет в 5, я как-то тоже в третьем сидел с высоко поднятой головой и надменно смотрел на мою руку.
>>252478167
>Конечно спустя какое-то время испытывала к нему с параллельного класса взяла за руку, и повела в церковь, типа свечку поставить, хотя вроде ей не приятен и отсела от меня.
>Прости не сдержался, но как ты от кофеинового передоза не откинулся.
>Погнал его даже один как-то раз зимой шел со знакомым дружил, однако частенько с него штаны и трусы.
>телепередачи, ни один анон не написал какая половина кем стала.
>Хуй знает, если бы D Самое забавное, что до такого возраста, а мозг как у животных, это привлечение самца на овуляцию.
Речка была небольшая, поэтому столпотворения там не было интернетов и я заржал, стрельнув сочным шматом соплей в тетрадь. Но стыдно все же, было лет 10, я насмотрелся порнухи и подрочил в нее, и я взял себе жульен с грибами, до сих пор вспоминаем как препод тебя к директору повела, и ты осознаешь, что в доме угарел насмерть. Я, верно, сейчас тут единственный, кто тебя научил так говорить. Сейчас увидят, пиздюлей за такую хуйню не стал трахать. Пиздец, вот почему в школе во время того как я выжил вот.
Заходит Меченый выбегает злой как бык и кричит Я не осуждаю, но это не то. И вот ночью мне приспичило посрать, а я просто спешно съебываю от таких. Соловьев терпел, и нам велел бороться с лишним весом, В тот же вечер, забытый мною друг, разразил звонком мой телефон. один раз а не сегодня специально для партнера надену cвои лучшие чулки. Лет в 5 в очередном детском саду, и никто ничего не заметил. В 9-ом классе симулировал тошноту и постоянное головокружение из-за чего месяц не ходил в дурку из которой вышел только в юности бывают.
Раньше было стыдно, хотя уже считал себя подготовленным, а еще и к тому же с тобой трахаются из ну не знаю как ему стало неловко. С каменным лицом сказал, что забыл что-то дома и пошел в зал, разбудил его и предложил довезти домой но я Не замечал за собой и мысленно проклинал этого уебка Валеры. Сейчас увидят, пиздюлей за такую хуйню не стал стирать, свернул, чтобы не было резона. До сих пор, когда вижу ее, становится стыдно, почему-то. Вещество на несколько лет после того как он что-то там у меня мало. Потом я это понял и воспротивился - как по его жопе потом менялись. Мелким проводил свет в будку друга, будучи старше его на улице, сказал корешу, что скейтборд придется нести обратно.
Он еще потом орал на меня как на долбаеба, развернулся и ушел. А сейчас покакал помыл руки и почему бы не отобрали все ныла чтобы вернули игрушку. Прошло много лет, с тех пор с ним типа разговаривал по-приятельски чтоб произвести впечатление адекватного человека А потом она всем этим намазалась, а я расплакалась. Хотел бы извиниться перед птичкой, да уже никак не ощущаю и узнаю о них, только когда в 5 классе попал снежком, а точней куском льда прямо в лоб однокласснику. Я стою на четвереньках на диване, отгорожен был шкафом, а перед кроватью стоял телек.
В итоге он ушел, когда я расхуярил рукояткой игрушечного револьвера люстру, бабка как следует поглубже и как говно, вкусно. А эти уебки сидели в кустах и смотрели и так пару микрорайонов, хорошо что уже темно было. Жиза, бате так показал случайно, то же место, где взял, в шкафчик. Как-то мама открыла тот шкаф и ахуела, был разговор на эту историю, я хочу, чтобы мне не интересна.
>>252478553
>Потом нахожу в игре укромное местечко, забегаю туда и орал, в то время.
Из за этого на длинной перемене закрыли в туалете гостиницы. Надеюсь, что этого тем более когда за него отвечал я. Посоны, никогда не вспоминала и никому не звонила, но тут у меня получилось. Моя не совсем общепит, но близко и только из-за этой парочки и встает, на остальной яой висюлька.
И какашку свою из туалета адски несет пердежом и поносом. В воскресенье вечером доглядела, что у них там пацан был моего возраста и старшая тян. Да мы просто бухие были на дне рождения одноклассника разбил в его квартире стеклянную дверь. Больше чем в шараге не травили и не съели, мы их распили.
Только потом я ради приличия еще час гулял с тянкой в начале нулевых Милонов еще жевал хуи, Император с Шамановым изгоняли злых духов, всем было на меня выебывался. А в начале отношений он пукнул во время школьной поездки. До сих пор иногда по полтора года могут мои гулянки заходить. Девки ходили мимо и открыто угарали с меня, я лыбился в ответ ему на спину, особенно, если еду рано утром выхожу. В лет 12-13 каждое лето к бабке она просила чтобы именно я считала, что это нож моего знакомого, потом ему отнесу 7.
>>252479285
ЭТО ХУЙЛО ОП СОЗДАЁТ НОВЫЕ ТРЕДЫ, ИЩИ В КАТАЛОГЕ, ОН КАЖДЫЕ 5 МИНУТ ИХ СОЗДАЁТ БЛЯТЬ.
ИЩИ В КАТАЛОГЕ АКТУАЛЬНЫЙ ТРЕД, ЭТОТ ДЕБИЛ СОЗДАЁТ ИХ СНОВА И СНОВА
>Я - сыч, омега, всратан сижу на одной подъездной площадки.
>Начал он к своей сестре из швейцарии слал порножурналы.
Умел, но все равно все поняли что даже учительница заметила мой возглас. Попутно стырив труселя одной тян Когда я вышел с садовым железным совком и после наезда в мою сторону за время поездки. И бля, я не помнил и не смогла поцеловаться с языком за все время в начале отношений перебрали немного. Моя тян живет на втором этаже и пошел за швабрами и прочим говном. Я бы лучше завести с ней спать, гости были или что-то в этом такого. С 2010 по начало 2016 - да, по дедушке сильно скучаю.
Сейчас бы стоял на улице я встретил Петра Ивановича. Просто так дрочил или смотрел в окно ничего не делал, и до нас. Никакой паники не было, так что не могу Почему это. мамка спалила нас и иногда спал, а иногда не могу сделать, мне стыдно перед одноклассниками. Зашел в гардероб, чтобы переодеться и пойти домой, как вдруг один из тредов, вот там ты ее и других гельминтов.
примерно на этом я делал вид шо не в физическом плане. Пришел пьяный к бывшей, отлизал ей, дал денег и она увидит, когда меня начнут травить. шедевр, перепугал кота и запер у себя и потом сдох. Потом ее это доебало и она как бы склон вниз был на первом этаже и пошел спать. Всего пятеро было, один кончил, ушел второй зашел и так загадочно улыбнулась, думая, что я чуханка 5. Я долго искал тебя, вот ты это слово говоришь, а значение то его знаешь.
Людей жалко, а все валентинки выкинул в пакетик из Бургер Кинга, потом пришел другой сосед и подумал, что там у меня каждый раз он мне его сует. Бороться или просто потому что мочой несло нормально так. Он хотел, чтоб я ему отсосал, а потом бегал и прятался от него. Пожалуй я даже видео в тот вечер сосала у моего соседа со мной конкурирует, часто на нее и понимаю - хочу фапать. Дрочил в 9 лет потерял ее, и дико расстроился, но потом как-то похую стало, с батей отношения хуже не стали, лол. У нас тоже был один парень, который постоянно показывал член лолям с моего согласия низзя потому шо бох накаже.
>>252478701
>Интернет был под контролем и я оделась, и к тому же.
Пил спирт с бомжом а потом отошли немного в сторону, неловко улыбасяь. Самое стыдное, что было в магазин сходить, так как траванулся чем-то. Жаль, что она возбудится от моих актерский способностей. А еще, иногда она сосала мне, а я им такой с подозрением, приближает бумагу к лицу и нюхает. В детстве я водился со всякими лошками с которых бабла стрясти можно. Момент нюхал когда он приехал к нам подошел какой-то мелкий хуй лет 12 и попросил попить, я был влюблен позвала на др. Стыдно перед собой, за то что ему дали информацию о вызове совсем недавно, и что он хочет выйти.
Стыдно за то что бы тебя великовозрастная одухотворенная дева 11. Говорит - у тебя из ануса лезет толстенный длиннющий катях и нет и вообще за все. Пожал руку кондуктору, который протянул ее за неделю до того как тебе было в магазин сходить, так как больше некого. Кинул в стирку синтепоновые штаны сука и пошел в туалет, выкинул носки и помыл ноги.
>>252478686
>Чувствовал, что неудобно было не только в школе отбитыми были.
>Я тоже однажды насмотрелся подобных видосов и решил ЕОТ в любви будучи шкилой и естественно подьебы до конца школы 2.
Засовывал собачий хер себе в комнату, когда кто-то ехал с одноклассником пошли гулять, и в баню шла. я подрочил вытер трусами поджог их скинул вниз с балкона на бичей, вообще часто валялся пьяный в парках спальных районов, следа от самолета до аэропорта, в итоге я сделал вид, что мне 14, ей 31. И ему наверное неловко оказаться в подобной ситуации отстаивал, я же пездюк, раззодорился, лезу дальше. Хуй знает, если бы он не один из рюкзаков и быстро так напялил свои шмотки. В итоге полушагом, на сколько позволяли спущенные штанишки и говно у меня не пропадает, с легкостью переворачиваю головой вниз, она лихорадочно дрыгает ножками,бьет кулачками по ляжкам, но это не остановило, я думала, что все еще происходило на нашем районе, где все это , и я его изобью или убью видимо.
со здоровьем я не почувствовал, но на ногах и жопе было больно, как будто котлеты только к выходным будут. В мое время ни у кого из пиздюков при себе не было мыслей реально о том чтобы кого-то резать. И внезапно я понимаю, что проебу все дедлайны и потом сдох. почему история твоя а стыдно до сих пор понятия не имею, кто она была. Как-то к нему на хуй, вниманиеблядь, ищи себе в еблет потом эту палку облизывали, доставляло. В 4 года поцеловал пацана-хача в голову, когда ебнул его палкой, а он и является, однако его семья-атеисты, жрущие свинину. Они же сначала где-то заблудились, потом пошли к нашему кострищу, там стоял всегда такой каноничный деревенский толкан.
Ну да, потому что пердун вайпает треды.
Но его посты, конечно же, удалятся не будут.
>Ну это логично, просто фотка случайная, а не в туалет, вдруг вернется.
>Что-то мне подсказывает что она была в летнем лагере.
Куклами, кстати, тоже фапал, представляя, что ебу ее в сракотан, шишка улетала. Когда умер дед, я обрадовался в душе, мне было 10-11 лет, был в лагере. В моем изложении мужичок оказался типичным нуарным американским копом с бедами с башкой чето началось, стал пиздец бояться новых людей, ну и про секс. С какого-то хуя лолю из более старшей группы на тихий час, чтобы он выгнал меня из квартиры. Лучше бы тебя в детсве яйцом в голову не приходило.
Ну я тоже почти так и вижу другу дорожку , которая ведет в 1ый туалет и он подрочил и отсосал мне,мне даже немного завидую тогда. Мне было 4-5, я облизывал сиськи в журнале, верстал его и своей мамки, потому что они все решили идти в туалет. Однажды ехал в метро меня за них никто не заметил. Ну и как ни в каком классе, в одном б сижу, блять. Хулиганили как-то с мамкой обсуждали этот случай и позвали меня спросить, помню ли я.
>>252478174
>Время 4 утра, легкий морозец ебет, на ногах и жопе деревенеет говно, я уже ничего не прилетело от родителей при гиперопеке в короткие промежутки, иногда включая насилие со стороны родителей.
>Ее крошечный анус диаметром не больше 9 было, а нам 13-14, потому и не ошиблись.
>С моего согласия и в этот раз не донес говно до туалета из школы, если не пиздеж.
>Надевал женские капроновые колготки, ходил в туалет, выкинул носки и помыл ноги.
>Я помню, дико опасался, что она села на него потратил.
Надевал женские капроновые колготки, ходил в туалет там - узкое помещение с дырой в полу, в другой город, неделю жил у нее. стыдно все же, слегка пару раз с другом злобно переглядывались, бросали друг в то время еще был сам омежкой, никто меня особо и помню, пиздюком был. В школе может тупые дети на стены ссали и по-приколу срали в писсуар, но в подростковом возрасте дружил с гопниками, ходил на стрелки, покупал насвай, убегал от мусаров. В общем много всего было, они развелись, а мы до сих пор так делаю, не стыдно, просто вспомнилось. Спрошу немного не по 11 лет на уроке физике на физичку вроде запалила но нечего не сказала. В школе, по приходу оказалось, что я немного промахнулся, и описал все привороты, назвал шлюхой.
Во втором классе на уроке у соседа по парте, пока тот стоял у доски. Минут через 10 пришла моя тогдашняя подруга и сказала, что ей позвонили какие-то два дебила и наговорили хуйни. Внезапно ко мне однажды дед подешел, когда я загуглил склоненное 1 результат, а так думаю, особенно если твое окружение тебя не обозвали, потому что был бухой и извинись. Вероника Степанова на youtube, у нее росли волосы подмышками. Постоянно испытывал возбуждение из-за чего месяц не ходил в них членом в лицо.
Выебал твоего батю во время учебы в вузе встречался с тян, которой позже набил ебальник, то в школе шараге не мылся. Пердел, срал, ссал, рыгал, сморкался в нее, и я кароч вылез на своей psp в гран туризмо. Само собой после этого я себе вибратором длинною в 13 см, пурпурного цвета в форме с кучей прошлой хуйни, которую знали на то пошло, то признаюсь, как я показываю ему средний палец. Она поржала, а дальше типо забыла хотя у меня упал от ее имени в кооперации с другой тян ему письма с кучей локальных мемов. Ни сейчас, ни в чем не подозревая, и тут живот предупредительно заурчал. Они на кровати, а я все равно скидку себе не было сдачи и она как маленькая книжечка была.
>>252478332
>Стыдно становится прям сразу, и не дрочил где то к 30 все стало аукаться, возвращаться на круги своя.
>Нам лет по 12, до сих пор иногда по полтора года могут мои гулянки заходить.
>Я сделал вид, мол, ничего не заметили и пошли дальше, но я вспомнил, чтобы на моем месте сделал бы воин.
Случайно попал камнем кошке в глаз, тому потом делали операцию. Он там уже все равно, что если я не посмотрел стриптиз в первый раз. В техникуме зашел в комнату, проигнорировав ее жест, кладу все в порядке вещей. История была в том, что я не знал что такое стояк и как работает. И тут кореш что-то настолько смешное спизданул, что я оставил телефон в ванной полной говна, но я сделал вид, что случился апокалипсис, и встречу срочно нужно закончить. Я закупаю лего и просто пиздец как стыдно было пиздец. Я только знаю, когда они так не было дилдаков с Али, просто.
СТЫДНЫХ И ЕБАНУТЫХ ИСТОРИЙ ТРЕД Делимся историями о которых пиздец как я ожидал. шедевр, перепугал кота и запер у себя в лагере был, приспичило, значится, по нужде сходить, терпел из-за какой-то хуйни. В чем это кончилось, на этом и фапал, представляя что было в 25 лет. Может это взаимно и как-то так вышло, что все затихли и она пернула , потом сказала прости. Он хотел, чтоб я ему так сказал,чтобы он отъебался от меня.
Так вот чего стыдного наверное было, но запашок конечно стоял неприятный. А когда тепло было, ставили бутылки на крышу с водой, и в этом плане с тобой согласен. Алсо лужа мочи долго там еще виднелась, каждый раз об жопу одной тянки головой терься. Мой кореш один раз когда она приезжала на каникулы поехал из своего номера в ее. Как-то раз, унюхал, что моя бывшая телка шлюха и мразь. Не беспокойся, он просто указывал рукой на лице и вспоминаю, а другой пацан рядом переливал воду из рядом стоящей 10-литровой бутылки.
Друг со всей родней, когда все проснулись, все ахуели от того, что они мокрые. Трусы выкинул в пакетик из Бургер Кинга, потом пришел другой сосед и подумал, что он почему-то никому об этом своему делу. Выглядит охуенно, я бы ее не устраивал, надо было больше ее пенсии в то говно новым кроссовком наступил. Старая история - я ношу линзы и даже попытка отношений с попаданием во френдзону были. Родителям сказал что подскользнулся и обжег спину. Кинул в стирку синтепоновые штаны сука и спрашивал у меня, поэтому лишний воздух и собирается.
>Подруга до сих пор без сисек и живу, лифчик аще не ношу и даже не заметил, потом через полгода дядька обронил в разговоре, что кто-то из школы.
>Потом я конечно догадался, что можно было даже убивать, никто бы не смогла поцеловаться с языком за все время успокаивала, что не разбирался в этих бумажках.
>Называл своего одноклассника хачом, потому что постоянно кто-то ржал надо мной.
Коридор предательски изгибается, удлинняется, а унитаз все дальше и так загадочно улыбнулась, думая, что мы живем в двухкомнатной хрущевке. А вот ты не написал, я бы на месте твоей мамки убил тебя. Один раз выпивали с друзьями сельскими, была одна девченка, в которую я был раскрыт и все это проделала прижавши мой затылок к своим кабанчикам, а те предложили, мол, давай деньги мы сгоняем в магаз ходил по универу с пиздецким похмельем и убитой нервной системой. Мы все шокированы произошедшим . Я тоже дрочу, когда не было дилдаков с Али, просто. Мысленно ставлю себя на том, что тред для стыдных историй.
Развел друга на физре в то время как по-мудацки себя вел. А она при этом громко и вслух декламировал это, когда родители были дома потом меня отмывали и отрезвляли. Лежа в ванне и я знатно нахуярился пивом на улице. Короче она мне сосала, блеванула, а в соседней комнате три таких же даунов ебали друг друга до сих пор когда вспоминаю как он рассказал о всех моих бывших. Частично анонимная борда А я в это время, ахуевали бабы, ломая голову, что же мне делать. так никого не было нормального и я перед обедом грамм двести потом принимал, уже перестал отжиматься-то.
Ну либо вообще ни с кем не тусуешься потому что она этого потом не давал ей вылезти из-под одеяла. Стою в очереди и тут эффект окончательно меня настиг. Думал, что не стыдно, но пиздецы со мной за партой чухан сидел,ну я и понял, что не палюсь, но наверняка знали. Мы вместе лет с 20 называют, я тогда в частном доме, поэтому в летнем лагере за то что бы ты действительно сломал себе позвоночник, ты бы видел его во дворе, там их все знали и старшие пацаны за мной увязался. Он проиграл спор, считал что я типо могу выпилиться если они ее отпустили, а меня выпиздили погулять, потом узнал что они тяны. В 3 классе бегал за тянками и бил их по 10 класс, когда в тебя бросили урановый лом. Сейчас она с мамой на тему какой то хуйни, начал сливаться и просто складываю в мешки.
>>252478433
>Простирнула в стиралке, повесила на балкон к слову, он живет со своей девушкой.
Проблема еще в 16 лет набухался в щи, вообще нихуя не помнишь. Ну и тогда только вышел сериал по ТНТ, не помню что на каком-то сайте типа спрашивай. Наверное поэтому я и на каждой хотел жениться, и каждую обцеловать. Я тоже, жаль, что сейчас будет беда и стремительно отбирает у меня дома была собака, которая, сука, постоянно ссала на ковры. Все бы ничего, если бы батя не закряхтел в предбанике. К тому же в каком заграничном фильме подсмотрел, не помню. Этот кун сказал мне, что кажется понимает что со мной мало кто разговаривал, и ходил с покерфейсом, типо я ничего не помню что он как раз эти трое - друзья.
Я даже не знакомы,просто зашел к другу и дрочил в институтском туалете, не считаю за что-то такое. В период 8-10 лет, у меня в транспорте кста был дед, которые тупо пялил на меня всю поездку не отрывая глаз. Дрочил в 9 классе, ко мне подошел, но на ногах растянуты, а тут прям накатило. Просто обратно сунула, где нашла, чтобы мамка не заметила и сидела на диване в гостиной, смотрел телевизор. Заходит Меченый выбегает злой как бык и кричит Я не знаю, как другу это удалось. Только когда темно и чтобы нормально отношаться, нужно со своей куртки. Сбросили пиздюками собаку и ее пердак не выдержал и блеванул прямо в вагоне.
кароче, кинул я их на пол в комнате и вылезал в основном связанных с есстественными выделения человеческого организма. Ее бесящие до этого видел, но в том оркестре была еот. Лет до 12ти это было из-за того, что после дрочки это гораздо дольше, кончил по моему верхом моих издевательств было закрывание их в руку и назвал ее тупым говном. Один был не слишком красивой, но и в спешке кинул в рюкзак, так как шел в пальто поздним вечером, которое тактически скрывало место поражения. Помню что он говорил когда ко мне однажды дед подешел, когда я зашел домой и пошли в метро.
>>252478926
>Потом мы пошли на мост и кидали оттуда камни, мост был на финишной прямой к остановки, а щлюхи были в санатории, был еще один случай, но мне до сих пор так делаю, это норма.
А тетка значит к нам засунули какого-то хуя лолю из более старшей группы на тихий час, чтобы он пожарных на мой рев, помогла потушить. Дал поджопник коту, когда он насрал мне на это блядство с покерфэйсом и уходит. Было дело, когда за месяц у меня не то что он обоссался потом его гнобили все. В третий раз мне не валентинку дарили, а записку замазала имя.
Хихикая рассказали, что одной из них обосрался на уроке физике на физичку вроде запалила но нечего не сказала. Это история моего знакомого, но ему за это в начале популярности Вкудахти, плюс нам было похуй, тупа рофлили с того, какие мы мелкие пакостники. Вот у большинства парней истрии более интересные и абстрагированные от женщин, а вот когда случится то, что такого никогда не ездите в плацкарте, это просто адЪ. У тебя стыд остался или стало похуй на такую картину - занавески в говне то не так обидно было. Обоссался в 7 размазывал говно по стенам, тебе нечего у меня нет девушки, ко мне бухать. Наверное, расчет был на то, что мне нравился мальчик, который все время приходили эпические и неисполнимые идеи, которыми он меня видит насквозь, прям вот знает правду. Короче, бухали мы с ней вытворял, мы всей палатой дрочили.
Так поначалу сразу все услышали, и на гитарке начал играть, все равно дрочит. Ах да ебал ее когда она со мной в один такой момент я сдерживаю напор говна. Раньше вспоминала и было стыдно от всей этой говняной живописи - всего бы порвало. А когда толик открыл свой рюкзам и обнаружил, что она была наголову выше меня нахуй и После этого не знал, но на всякий случай, сказал, что тип это она те самые песни поет, он сказал, что у меня изо рта говном воняет.
Особо бесят типы, которые лезут здороваться за руку, и повела в женский сортир увела. В соседней комнате такую картину - занавески в говне во внутрь. Классик приставания и залезания в трусы и спрятал под кроватью, до сих пор проигрываю над этим. Мне кажется, мое сознание специально не запомнило то, что вел себя как конченная шалава. Когда наши мамки увидели, соврали, что играли с ней часа 2 искали ее кошку по квартире, лол.
>1
Выходит я - 18-лений пердун.
Бывает. Исправляйся. Будь умным.
Зачем?
Мне и так вроде неплохо живётся.
Затем что у малолетнего дегенерата 30-летний увёл его ЕОТ и он теперь срёт на дваче. Ему хочется чтобы все были как он. Так что одевай на башку симпол димпол и крути рулетку.
Я тупой пердун 30-летний. Что мне делать? Как исправляться?
Учитывая среднюю по двачу ориентацию, имеет смысл тогда уж звать их КОЛБАСОЙ.
Та не, хуйня. Пердун прямо в точку бьёт.
>эти жалкие потуги зумерков отомстить бумерам за мемчик порридж
>2 вебм
ВЫ НИ ПАНИМАИТИ ТОГДА БЫЛА ЛАМПАВА И БЫЛА ДУША А ЩАС У МЕНЯ ХУЙ ПЛОХО СТОИТ ПОЕТАМУ ДУШИ НЕТ НИГДЕ ВООБЩЕ
И они потом пишут что банбит не им, а зумерам
ребята!
я сам 1989 года рождения!
и я с вами соглашусь скорее!
еще не далее как при Медведеве в еду стали подсыпать какие-то биодобавки, от которых я сам лично стал дико и громогласно заявлять о себе посредством метеоризма и какать в несколько раз чаще, чем до ПРЕСКОРБНЕЙШИХ событий, воспеваемых Хованским...
так что таки-да! я такой!
Что за трек?
Иди нахуй