Вот есть мнимая единица i = sqrt(-1). И ещё есть мнимая единица в квадрате i^2 = -1. В связи с этим
Аноним
09/04/24 Втр 15:49:05
№
1
В связи с этим у меня есть вопросы.
1. Почему i^2 определяют как -1, ведь sqrt(-1) sqrt(-1) = sqrt(-1-1) = по идее sqrt(1), но почему-то sqrt(-1).
2. Мы знаем что у корней всегда есть в ответе пара чисел, например sqrt(4) = -2 и 2. Тогда почему нет +-i, а равенстве только i.
Да и в целом как в это всё вкурить, зачем нам несуществующие числа на практике. Ничего не понятно, но очень интересно. Может книги есть какие по математике, где всё это подробно описано.
Посмотри "как комплексные числа математику спасли" и "реальность торвальда"
1) Но sqrt(1) так же равно и -1, тк (-1)(-1)=1
2) С комплексными так же работает, проверь сам (-i)^2 = (-i)(-i) =i^2 = -1, значит (-i) так же корень из единицы.
ты сам понял, о чём спросил?
а вообще пиздуй тех учи, потом к людям обращайся и треды созадвай
Проблема в том что квадратный корень неоднозначен. Потому результат $\sqrt{-1}\sqrt{-1}$ может быть разным. Ты сам знаешь что $\sqrt{4}=\pm2$
$i$ же это число, а не операция, потому $i^2$ вполне определенно.
Исторически они появились при решении кубических уравнений. Сначала уравнение решили в общем виде. А затем заметили следующее. Если взять уравнение с заранее известными действительными корнями и попытаться его решить по общей схеме, то может случиться, что в промежуточных вычислениях используются корни из отрицательных чисел. Другими словами какой-нибудь действительный корень r раскладывался в сумму/произведение чисел, где были корни из отрицательных. Потому пришлось их исследовать и принять.
>зачем нам несуществующие числа на практике
Оказались нужны для решения куб. уравнений. Прямо практическое применение не так давно нашли, пару веков назад, в картографии. Оказалось что с помощью компл. чисел легко записывать повороты плоскости.
> 4√=±2
Это конечно же неверно, если только ты не переопределил стандартное употребление.
В российских школах есть "арифметический квадратный корень" - когда из двух значений квадратного корня из положительного числа выбирается положительное. Стандартным это не является.
>Стандартным это не является.
Ну если по ютюбу учиться, то конечно не является.
https://www.youtube.com/watch?v=kicp_odjsRs
Мне после этого видоса стало понятно.
Там что-то типа: они нужны чтобы замкнуть поля относительно операций корня или типа того.
Как, если даже в предметной области имеют смысл только положительные числа, типа сколько я кому занял, сколько мне кто занял, имеет смысл ввести отрицательные числа, чтобы замкнуть поле относительно операции отрицания, даже если отрицательные числа не имеют физического смысла в этой области, они типа хранят промежуточный результат. Та же хрень и с мнимыми.
Числам наплевать, сколько ты кому занял и какой ты вкладываешь в них "физический" смысл
Как раз таки является: знак корня принято считать функцией. А функция должна выдавать одно значение, если не оговорено обратное.
Ну вот корень и выдаёт одно значение, просто значение - не число. Хардкорное пояснение есть у Дьедонне в его типа-школьном учебнике.
Множество чисел, в общем случае имеющее кардинальность больше единицы, обладающее небезынтересными геометрическими свойствами.
>>114385
Не функция, коль скоро ты не берёшь фактор. А если берёшь, то приходим к общепринятому соглашению.
Попробуй /sci/ или трэд по основаниям, там близкие тебе по знаниям постеры.
>Да и в целом как в это всё вкурить, зачем нам несуществующие числа на практике. Ничего не понятно, но очень интересно.
Нотация для упрощения записи и расчетов. Отрицательных чисел тоже в реальном мире не существует, это означает примерно "такая-то величина в противоположном направлении". С комплексными числами аналогично, они удобны для математических моделей.
Да и положительные тоже не особо где-то реально существуют, кроме мозга человека, который может обобщать и абстрагировать.
>они удобны для математических моделей
Конкретно с отрицательными и комплексными была обратная ситуация. Это модели подгоняли под них, а не их под модели.
>"такая-то величина в противоположном направлении"
Причём, кстати, не так уж давно. Это объясннеие придумал Валлис в 17 веке. Он же ещё продемонстрировал, что $i$ не лежит на числовой прямой. Не помню деталей, но он использоывал геометрический метод построения среднего геометрического двух чисел.
Но хоть он и придумал координатную прямую, до координатной плоскости он не додумался. Координатную плоскость придумал какой-то другой чел спустя пол века, соединив работы Декарта и Валлиса. У Декарта координат вообще никаких не было.
Кто именно первым додумался до интерпретации $i$ в плоскости сказать сложно. Формально считается, что Вессель, но поскольку писал он на датском, то заметили не сразу. Но на самом деле идея витала в воздухе, было много полемики (особенно среди французских математиков), просто особо известные математики в этих дискуссиях участия как-то не принимали (пока в 1810х не навыходило куча статей), поэтому прошло всё мимо. Ещё до Аргана (и полагаю, что до Весселя) эту же идею обсуждали Буэ, Жергонн, Лакруа, Гомперц, Гильберт (другой).
Так что про
>соединив работы Декарта и Валлиса
не всё так однозначно в истории, как впрочем и всегда.